重庆市第十一中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第十一中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析），共23页。

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知两点，，则直线的斜率为
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接应用斜率公式计算即可．
【详解】已知两点，，由斜率公式得.
故选：C
【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
2. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 无法判断位置关系
【答案】C
【解析】
【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.
【详解】作出正四面体，如图，
因为平面，平面，，平面，
所以与是异面直线.
故选：C.
3. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.
【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；
选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；
选项：若，则平行关系不成立，错误；
选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.
故选：
【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.
4. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系，求出离心率，得到答案.
【详解】双曲线的渐近线为
因为两条渐近线均与圆相切，
所以点到直线的距离等于半径
即，
又因为
整理得到，
故双曲线C的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.
5. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的大小.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角的大小为.
故选：B.
6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
7. 已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ）
A. 、B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.
【详解】圆，圆心，半径为，
令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值，
∴，解得，
∴的最大值为，最小值为．
故选：B
8. 已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不妨取，再求得两点的坐标为，从而求得重心的坐标为，进而得到，解得，由此得解.
【详解】因为双曲线，则其虚轴上的顶点为，不妨取，
联立，解得，则两点的坐标为，
所以的重心的坐标为，即，
因为△ABD的重心在以为直径的圆上，而为直径的圆的方程为，
所以，解得，
所以的渐近线方程为.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
9. 在正方体中，点是底面的中心，则（ ）
A. 平面B. 与成角为30º
C. D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.由，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理判断；B. 根据，得到为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到平面判断；D.由判断；
【详解】如图所示：
A.因为， 是平行四边形，所以，因为 平面，平面，所以平面，故正确；
B. 因为，所以为所成的角，又平面，则，设棱长为a，则，因为，则，故正确；
C. 因为，所以平面，则，故正确；
D. 因为，，所以不垂直，则与平面不垂直，故错误；
故选：ABC
10. 设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（ ）
A. B. 离心率
C. 短轴长为2，长轴长为4D. 不可能是钝角
【答案】AD
【解析】
【分析】利用椭圆定义及性质逐一判断即可.
【详解】椭圆，
，
，A正确；
离心率，B错误；
短轴长为，长轴长为，C错误；
当点P在椭圆短轴端点处时，最大，
此时，得，
故不可能是钝角，D正确.
故选：AD.
11. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥；
B. 若平面α，β的法向量分别为，则；
C. 若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则；
D. 若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：通过计算以及线面平行的判定来判断；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算以及来得答案；对于D：求出对称点，然后利用距离公式计算．
【详解】对于A：，则，
又直线l可能在平面α外，也可能在平面α内，故∥或，A错误；
对于B：，则，B正确；
对于C：，向量是平面α的法向量，
则，解得，，C正确；
对于D：点C是A关于平面yOz的对称点，且，得,
则，D错误．
故选：BC．
12. 随着我国航天科技快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（ ）
A. C的渐近线方程为
B. 过点作，垂足为H，则
C. 点N的坐标为
D. 四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，如图，
，且满足，所以直线的方程为，
联立化简得，由于，
即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，
故B项正确；
对于C项，设，则，整理可得.
又，所以有，所以有，
解得，所以点的坐标为，故C项错误；
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为，故D项正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 两平行直线与之间的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两条平行直线间距离公式，即可得解.
【详解】将直线化为，
所以这两条平行直线间的距离为.
故答案为：.
14. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解.
【详解】方程，即表示焦点在y轴上的椭圆，
得，
解得.
故答案为：.
15. 如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】将侧面、侧面延展至同一平面，分析可知，当点、、三点共线时，取最小值，推导出点为棱的中点，再利用勾股定理可求得线段的长.
【详解】将侧面、侧面延展至同一平面，如下图所示：
当点、、三点共线时，取最小值，
在上图矩形中，，，则，即，
此时，点为的中点，
如下图所示，连接，
易知四边形是边长为的正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
又因为为的中点，所以，，
由勾股定理可得.
故答案为：.
16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得，
由正弦定理得，故，
由椭圆定义可知，，
故，
又，
由余弦定理得
，
即，解得，
故，
解得，
因为，所以，解得.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.
【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，
则边上的高所在的直线方程为，即.
（2）的方程为，.
点到直线的距离，
，
则的面积
【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.
18. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.
（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.
【小问1详解】
.
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设圆的标准方程为，
则，
所以圆标准方程为.
19. 直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．
（1）当D为线段AB的中点时．证明：平面
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用勾股定理可得，从而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得解.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，如图，
四边形为平行四边形，为的中点，
又为的中点，，
平面，平面，平面.
【小问2详解】
因为，
所以，故，
又在直三棱柱中，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
设，由得：，即，
解得，，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
又，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
20. 已知双曲线，点在E上．
（1）求E的方程；
（2）过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入，即可得出答案；
（2）设出的方程为，联立直线与双曲线的方程得出，根据已知求出的范围.设，进而根据韦达定理得出的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案.
【小问1详解】
将点代入双曲线方程可得，，
解得，
所以，E的方程为.
【小问2详解】
由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为，
则的方程为.
联立直线与双曲线的方程，
整理可得，
则，
解得且.
设，
由韦达定理可得，
则
.
21. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．
（1）求证：；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先得到面，则，再过作于，由勾股定理得到，由此可证明；
（2）分别以方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF．
【小问1详解】
平面平面，平面平面，
又，平面，
面，平面，
，
过作于，则
，
又，面，
面，又面，
；
【小问2详解】
由（1）知两两垂直，分别以方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，
则，
假设在线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF
设，
则，
设平面的一个法向量为，
由得
，取得，
设平面BCEF的一个法向量为，，
，得
，取得，
平面平面BCEF
，解得，
，即
在线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF，且.
22. 已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）当点为椭圆短轴端点时，面积最大，从而得到关系，结合离心率，，求出，，得到椭圆方程.
（2）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值.
【小问1详解】
当点为椭圆短轴端点时，面积的最大值为1，
此时，即，
又因为，，
所以，，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
联立，消得
，
由，
得，
设，，
则，，
因为，
所以，
所以，即，
即，
因为，即，
点到直线的距离为，
，
令，所以，，
，
所以当时，即时，面积最大，最大值为1.