2022-2023学年浙江省北斗联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省北斗联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的运算即可求得.
【详解】由已知，故
，故
所以
故选：B
2．已知且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由，得或，
由得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3．为了鼓励大家节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如下表所示：
假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为，则该户家庭2021年应缴纳的水费为（ ）A．1800元B．1400元C．1040元D．1000元
【答案】C
【分析】结合阶梯水价直接求解即可.
【详解】由表可知，当用水量为时，水费为元；
当水价在第二阶段时，超出，水费为元，
则年用水量为，水价为1040元.
故选：C
4．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析函数的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.
【详解】令，则该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除B选项.
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，函数的最小值为，排除AD选项.
故选：C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．已知函数 是幂函数，且 时，单调递减，则 的值为（ ）
A．1B．-1C．2或-1D．2
【答案】B
【解析】由题意可得，且，解出即可．
【详解】解：∵ 是幂函数，
∴，即，
∴，或，
又当 时，单调递减，
∴，
当时，，不合题意，舍去；
当，，符合题意，
∴，
故选：B．
6．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
7．已知函数满足对任意，且，都有成立，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，判断出的单调性，列出不等式组，即可求解.
【详解】由得，上，为增函数，得
，解得.
故选：B
8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
二、多选题
9．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可．
【详解】解：对于，
，所以，所以，所以，故选项一定不成立；
对于，不妨取，，则，故选项可能成立；
对于，不妨取，，则，故选项可能成立；
对于，，故，故选项一定不成立；
故选：．
10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
【答案】ABC
【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项.
【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；
易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；
当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.
故选：ABC.
11．若函数，分别为上的奇函数，偶函数，且满足，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】结合函数奇偶性的性质，可得，联立方程组可求出，的解析式，求出，根据的单调性可得结果.
【详解】∵函数，分别为上的奇函数、偶函数，
则， ，
又∵，…①
∴，
∴，…②
由①②得，，
故A正确，B错误；
∴，且为增函数，
∴，故D正确，
故选：AD.
【点睛】本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程，是解答本题的关键，属于中档题.
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13．计算：__．
【答案】
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求值．
【详解】原式，
故答案为：．
14．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
15．已知，函数，若恒成立，则的取值范围是______．
【答案】.
【分析】分与两种情况，参变分离后，结合基本不等式和函数的单调性求出最值，从而得到的取值范围.
【详解】当时，，
故等价于，
即，，
其中，
当且仅当，时，等号成立，
故；
当时，，
故等价于，
即，，
其中在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
故，解得，
综上：的取值范围是.
故答案为：.
四、双空题
16．写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数：______；的单调递减区间为______．
【答案】 和（答案不唯一）
【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数；
（2）根据复合函数的单调性规则计算可得.
【详解】解：不妨取和，
因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增，
函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意；
对于函数，令，即，解得或，
所以函数的的定义域为，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递减区间为.
故答案为：和（答案不唯一）；
五、解答题
17．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)条件选择见解析，.
【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；
(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.
【详解】（1）由题意得，．
当时，，
∴；
（2）选择①．
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
选择②
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
选择③
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数的取值范围为．
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断，的单调性，并证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）首先利用函数是奇函数，求的解析式，即可求解函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；
（3）首先判断函数在上的单调性，不等式转化为，转化为，讨论求解不等式.
【详解】（1）∵函数是定义在R上的奇函数，且当，．
∴当时，．
当时，则，．
；
（2）在上是单调递增的．
证明：，，且，
则
∵∴，，
又∵是增函数，∴∴，即
∴在上是单调递增的．
（3）由（2）知当时，因为，是奇函数．所以在上是单调递增的．
∵所以不等式可转化为，即化简得
∴当时，解集为
当时，解集为.
19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．
【详解】（1）由已知
（2）解：由（1）得
当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
20．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.
【解析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，
然后利用得出与，代入上式求解；
（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；
（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．
【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．
分档
户年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0-180（含）
5
第二阶梯
180-260（含）
7
第三阶梯
260以上
9