2022-2023学年浙江省北斗联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省北斗联盟高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对称性的特征，得到点关于坐标轴的对称点

【详解】设点关于轴对称的点的坐标是

则的中点为，

由中点坐标公式可得：

所以，

故选：D

2．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由给定等式两边同时除以再经计算即可得解.

【详解】因，则.

故选：B

3．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断即可.

【详解】解：因为与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，由，

所以在上存在唯一零点.

故选：D

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，结合正弦函数值的正负性进行判断即可.

【详解】因为，，，

所以，

故选：B

5．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是

A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

【答案】B

【详解】∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，

而xn+1为世界首富的年收入

则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，

故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，

但中位数可能不变，也可能稍微变大，

但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.

故选B

6．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（    ）

A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

B．若lm，mn，l⊥α，则n⊥α

C．若lm，m⊥α，n⊥α，则l⊥n

D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则lm

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据线面垂直的性质结论可判断B,C；根据线面垂直的性质结合空间直线的位置关系可判断D.

【详解】由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：

在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m,n不一定相交，

则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；

在B中，若lm，mn，则ln，又因为l⊥α， 故n⊥α，故B正确；

在C中，若lm，m⊥α，n⊥α，则ln，故C错误；

在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．

故选：B．

7．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.

【详解】设，

则，

，

，

，

设，，

所以，

解得，

故选：B

8．如图，在平行四边形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，然后以为轴建立平面直角坐标系，求出圆的方程丹凤　出点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最小值．

【详解】由题意，所以，即，所以，

以为轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，．

直线方程为，即，

所以圆半径为，圆方程为，

设，

，，

所以，

显然其最小值为．

故选：A．

二、多选题

9．正方体中，是正方形的中心，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．与平面的成角大于

C．平面平面

D．三棱锥的体积是正方体体积的

【答案】ACD

【分析】对于A：由平面，即可判断；

对于B：为与平面所成的角，求出角度的正切值即可判断；

对于C：由平面，即可判断；

对于D：由等积法即可判断

【详解】对于A：在正方体中易知，

所以平面，

又平面，

所以，故A正确；

对于B：因为平面，所以为与平面所成的角，

不妨设正方体的边长为2，则,

则，

所以，故B错误；

对于C：因为平面，平面，

所以平面平面，故C正确；

对于D：，

所以三棱锥的体积是正方体体积的，故D正确；

故选：ACD

10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ）

A．与互斥 B．

C．与对立 D．与相互独立

【答案】BD

【分析】根据互斥的意义判定A；利用对立事件和独立事件概率公式可求得，从而判定B；根据对立事件的概念和结合题意判定C；利用独立事件的概率公式判断D.

【详解】解：若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于4，

而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4，故与不一定互斥，故A错误；

“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”，所以，故B正确；

由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”.故B与D不是对立的，故C错误；

先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况，

第二次掷出的点数为偶数的情况有，，共18种不同情况，

两掷出的点数相同的情况有：，，，，，共6种，两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有，，，3种情况，

所以，，，所以，所以独立，故D正确.

故选：BD.

11．下面四个结论正确的是（    ）

A．已知向量，若，则

B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线

C．已知向量，，若为钝角，则且

D．已知，，为非零向量，满足，则向量，共线

【答案】ABC

【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．

【详解】对于A：因为，则，故A正确；

对于B：因为，则，即，

又与有公共点，所以三点共线，故B正确；

对于C，，若为钝角，则，且与不共线，

由得，当时，，即，

由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C正确；

对于D，若，，则，，但向量，不一定共线，

故D不正确.

故选：ABC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若正实数a，b满足，则的最小值为

C．关于x的不等式的解集是，则

D．函数（且）的定义域为R，则实数m的取值范围是

【答案】BC

【分析】A由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B应用基本不等式“1”的代换求最值；C由一元二次不等式的解集求参数a、b，即可判断；D由对数函数、二次函数的性质有即可判断.

【详解】A：当时，显然，故错误；

B：由，当且仅当时等号成立，正确；

C：根据不等式的解集可知1,2是方程的根，所以，可得，则 ，正确；

D：由题意，在R上恒成立，则，解得，错误.

故选：BC

三、填空题

13．古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”.设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高.则球的体积与圆柱的体积之比为___________.

【答案】

【分析】由球的体积公式和圆柱的体积公式分别计算即可.

【详解】由题可知，圆柱的底面直径和高以及球的直径均为2，

即，所以

则，

所以球的体积与圆柱的体积之比为.

故答案为：.

14．若，则___________.

【答案】

【分析】利用诱导公式，直接计算即可求解.

【详解】由，得，

故答案为：

15．在扇形中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】连，以角为变量，建立函数关系，可得最值.

【详解】

设，则，，四边形为矩形，

得，，，

则，化简得，当，即时，面积取到最大值，此时的最大值为

故答案为：

16．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.

【答案】

【分析】解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，，，，，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可.

解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解.

【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，，

∴，，

由题意四点共面，有，其中，设，

∴

由方程组，即，解得：.

故答案为：.

解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，

连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，

在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，

由题意，,所以，，

设，则，

又由三角形相似得，,

所以，解得：.

解得：

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数.

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求B的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；

（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，

又，

所以，

因为，则，所以，

因为，所以.

（2）因为，，

由余弦定理可得，整理得，

又，解得，

所以.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

18．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：

(1)点到平面的距离；

(2)平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法求点到平面的距离即可；

（2）由向量法求二面角的余弦值即可.

【详解】（1）如图建系，则

，，

所以，

设平面的法向量为，则

取，得

又

故点到平面的距离为

（2）

设平面ACM的法向量为，则

取，得，

设所求角为，则

故平面与平面夹角的余弦值.

19．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.

（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；

（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.

【答案】（1），；中位数为；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可.

（2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，

在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则

，得，

又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人

则，解得，

中位数中位数为

（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，

由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，

在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，

从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种

抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种

所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.

20．某工厂有，，三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是非合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，生产线生产的汽车配件是合格品且生产线生产的汽车配件是合格品的概率为，记事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品．

(1)求事件，，的概率；

(2)随机从，，三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，求恰有2个合格品的概率．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）借助对立事件的概率公式，把相互独立的事件同时发生的概率表示出来，然后联立方程组求解即可得到每个事件发生的概率；

（2）随机从三条生产线上各取1个汽车配件进行检验，恰有2个合格品的情况分为、、三种，根据相互独立事件的概率公式求解即可.

【详解】（1）因为事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件，，分别为，，三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且，，相互独立，，，也相互独立．

由得

解得，，，

（2）由（1）知，，，

记事件为抽取的三个汽车配件中合格品为2个，则

21．如图1，在直角梯形中，，，，，，为上一点，且，过作交于，现将沿折到，使，如图2.

（1）求证：平面

（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析

【解析】(1)解法一:由,,推出平面,即有平面,故,结合即可推出平面;解法二:建立空间直角坐标系,利用向量推出结论;

(2)由(1)知平面,故以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,设是线段上一点,则存在,使,再利用向量,结合线面角公式列式求解即可.

【详解】(1)解法一:

∵,,,

由余弦定理得,

∵,∴,

又直角梯形中,,

∴,,,

则平面,

又∵,∴平面,∴,

又因为直线,在平面内,且相交于,∴平面.

解法二:

以为,,且,

则平面,所以平面平面,

以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作

的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

则,,,,

∴,,,

∴,,

∴,

∴,,

∵,是平面内的相交直线,

∴平面.

(2)由(1)知平面,∴平面平面,

以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,在平面内过作的垂线,以垂线所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

则,,,,

则,,

∵平面,∴平面的一个法向量为,

设是线段上一点,则存在,使,

∴,

,

如果直线与平面所成的角为,

那么,即,

解得,此方程在内无解,

所以在线段上不存在一点,使与平在所成的角为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定及应用,考查空间向量在线面角上的应用,需要学生具备一定的空间思维及想象能力,属于中档题.

22．设函数的定义域为，对于区间，若满足，则称区间为函数的区间.

(1)证明：区间是函数的区间；

(2)已知函数在区间上的图象连续不断，且在上仅有个零点，证明：区间不是函数的区间.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由题知，根据定义可取，满足条件，进而得证；

（2）先证在上存在零点，然后函数在区间上仅有2个零点，在上不存在零点，利用定义区间不是函数的区间．

【详解】（1）由，得，即，

可取，满足条件，所以是函数的区间.

（2）因为，，

所以在上存在零点，

又因为，所以函数在上至少存在两个零点，

因为函数在区间上仅有2个零点，

所以在上不存在零点，

又因为，所以，

所以

即因此不存在满足

所以区间不是函数的区间．