2022-2023学年浙江省A9协作体高一上学期期中联考数学试题

这是一份2022-2023学年浙江省A9协作体高一上学期期中联考数学试题，共18页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】，，，.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.
【详解】命题“”为全称命题，
则其否定为特称命题，即，
故选：B.
3. 已知函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知函数在上单调递减，由函数的单调性即可得出答案.
【详解】，
因为函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，所以，
当时，函数取得最大值，所以，
所以函数的值域是.
故选：D.
4. 已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例可判断A,B,D,利用不等式性质可判断C.
详解】对于A，取，满足，但，A不成立；
对于B,当时，，B不成立；
对于C，由，可得，故，则一定成立，C正确；
对于D，取，满足，但，故D不成立，
故选：C
5. 已知函数的图像关于直线x＝1对称，则实数a的取值为（ ）
A. -1B. 1C. -3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据的函数图象特点，直接求解即可.
【详解】因为形如的函数图象，其对称轴为，
故对，其对称轴为，解得.
故选：A.
6. 若是的充分不必要条件，则实数m的最小值是（ ）
A. 2019B. 2020C. 2023D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】由得或，设或，，由题意可得，即可求出实数m最小值.
【详解】由可得：
解得：或，
设或，，
因为是充分不必要条件，
所以，所以，所以实数m的最小值是2023.
故选：C.
7. 已知定义在R上的函数在上单调递减，且满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意判断出函数图象的对称轴以及在上单调递增，由可知,化简结合解一元二次不等式，可得答案.
【详解】定义在R上的函数满足，则函数图象关于直线对称；
又在上单调递减，则在上单调递增，
则由不等式可得，即，
即，解得或 ，
即的解集为，
故选：A.
8. 已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.
【详解】设，则原方程即，
的图象如图所示，
函数关于x的方程有5个不同的实数根，
则方程必有两根为，，，
且其中一个根为1，不妨设，
即与图象有3个交点，方程有2个根，
由图知，，即.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据解析式一一判断函数的奇偶性，并判断函数的单调性，可得答案.
【详解】对于A，定义域为，不是偶函数，A错误；
对于B，满足 ,且，是偶函数，
在时，单调递增，B正确；
对于C, ,,，即不是偶函数，C错误；
对于D，为偶函数，时递增，递减，
故单调递增，D正确，
故选：BD.
10. 已知为正数,且,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等式且均为正数,可以直接判断选项A正误,根据“1”的代换可以判断选项B正误,根据消元,用二次函数最值可以判断选项C正误,根据基本不等式和定积最大可以判断选项D正误.
【详解】解:由题知,
即,
均为正数,,
选项A正确;
,
故选项B错误;
故选项C错误;
,
,
故选项D正确;
故选:AD
11. 一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个都有，且，称非零常数T是这个函数的周期．已知是定义在R上的奇函数，且满足为偶函数，且不恒等于0，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称
C. 是函数的周期D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由为偶函数，可得， 推出函数的图象关于直线对称，判断A；利用函数的图象关于点对称，则可推出恒等于0，不合题意，判断B;利用函数对称性结合奇偶性可推出函数周期，判断C，利用周期性可计算的值，判断D.
【详解】由于知是定义在R上的奇函数，则， ，
由为偶函数，则，即，
则函数的图象关于直线对称，A正确；
若函数的图象关于点对称， 结合数的图象关于直线对称，
不妨任取 ,，则且，则 ，
则恒等于0，不合题意，B错误；
由可得,则，
故是函数的周期，C正确；
,因为函数的图象关于直线对称且，
所以,D正确；
故选：ACD.
12. 已知函数，若，记，则（ ）
A. 没有最小值B. 的最大值为C. 没有最大值D. 的最小值为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数解析式作出函数图象，确定时m的范围，进而可得，将m作为自变量，表示，结合二次函数知识，即可判断答案.
【详解】由题意函数作出其图象如图：
当时，或，
若，则 ，且，则，
故，该函数图象对称轴为，
故有最大值为，
当时，，当时，，即最小值为2，
故A错误，B正确；
，该函数图象对称轴为，
故在时单调递增，无最大值，最小值为，
故C,D正确；
故选：BCD.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则＝________；
【答案】1
【解析】
【分析】代入函数的解析式计算.
【详解】由题意得，
故答案为：1
14. 函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义以及分母有意义列不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，
所以函数的定义域为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.
15. 已知集合，集合;若 ，则 ________；
【答案】-1
【解析】
【分析】根据集合元素的互异性可判断且且，则由集合可得两集合元素的对应关系，即可求得答案.
详解】由题意知集合，集合B=,，
由，由集合元素的互异性可知且且，则，
故由可得，则，，故，
所以,
故答案为：-1.
16. 已知函数，当时，恒成立，则实数b的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的零点后根据因式的符号可求参数b的取值范围.
【详解】设，
因为当时，，而时，，
但当时，恒成立，
故时，，而时，，
因为二次函数，故，
的另一个实数解为，故即.
此时，
故，
若，此时在上恒成立，
故在上恒成立，此时，
若，当时，恒成立，与题设矛盾，
综上，即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：与多项式相关的不等式的恒成立，注意将多项式因式分解，结合各因式的符号来判断参数的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用分段函数的形式表示．
【答案】（1）偶函数，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，即可判断和证明；
（2）讨论的取值范围，在不同情况下，求得解析式，再写成分段函数的形式即可.
【小问1详解】
是偶函数，证明如下：
的定义域为，关于原点对称，且，故是偶函数.
【小问2详解】
当时，；当时，；
故.
18. 已知幂函数．
（1）若的定义域为R，求的解析式；
（2）若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，求解的值，并验证定义域即可求解；
（2）由（1）可知，，使成立，即，使成立，令，则，判断函数的单调性并求最值即可求解
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以，
解得或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意；
所以；
【小问2详解】
由（1）可知为奇函数时，，
，使成立，即，使成立，
所以，使成立，
令，则，
且，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是
19. 已知集合A＝，B＝
（1）若，求；
（2）若，求正数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意解得，再由补集的概念求解，
（2）解不等式后由集合间关系列不等式求解，
【小问1详解】
由题意得，而，故，
得，，
【小问2详解】
由得，即，
而，由得，
而，故，得，
正数a的取值范围为
20. 关于的不等式．
（1）当m＞0时，求不等式的解集；
（2）若对不等式恒成立，求实数x的取值范围
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）移项后因式分解，讨论与1的大小关系，即可写出答案；
（2）将不等式移项后，将看成自变量，即，则原不等式等价于，由一次函数的性质即可列出不等式组，即可解出答案.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
当，即时：不等式的解集为：或；
当，即时：不等式的解集为：；
当，即时：不等式的解集为：或；
综上所述：当时：不等式的解集为：或；
当时：不等式的解集为：；
当时：不等式的解集为：或；
【小问2详解】
记，则原不等式等价于
对不等式恒成立，
只需：，即
解得：
所以实数x的取值范围是.
21. 新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生的安全，拟借助校门口一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面为24平方米，背面靠墙的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，高为底边长的．为节省费用，此室的后背靠墙，无需建造费用，只需粉饰．甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧为每平方米300元，已有墙体粉饰每平方米100元，屋顶和地面报价共计12000元．设隔离室的左右两侧的长度均为x米( )．
（1）记为甲工程队报价，求的解析式；
（2）现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，是否存在实数t，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）,.
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;
（2）由题意可得不等关系,对任意都成立，进而转化恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.
【小问1详解】
由题意知隔离室的左右两侧的长度均为x米( ),则底面长为米,
则正面费用为 ,
故
, .
【小问2详解】
由题意知, ,对任意都成立,
即对任意恒成立,
令 ,则,
则,
而,当且仅当取等号,
故
即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.
22. 已知函数．
（1）若函数在上是单调递减，求a的取值范围；
（2）当时，函数在上的最大值记为，试求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）采用换元法，令，将转化为，结合二次函数的单调性，分类讨论，可求得答案.
（2）令,可得,则函数在上的最大值问题即为的最大值问题；然后分类讨论b的取值范围，结合二次函数性质，比较函数值大小，即可确定函数最值.
【小问1详解】
由题意函数在时单调递减，
令 ，则在时单调递减，
若，则在时单调递减，符合题意；
若时，需满足 ，即；
若时，需满足 ，即；
综合以上可知 a的取值范围为；
【小问2详解】
当时，,
令,则,
则函数在上的最大值问题即为的最大值问题；
当时，，
此时的最大值为；
当时，由，可得，
此时 ，
此时的最大值为；
当时，，
此时 ，
此时的最大值为；
当时，，
，
此时的最大值为；
当时，，
，
此时的最大值为；
综合上述可得的最大值，
即函数在上的最大值为，
当时，；当时，；
故的最小值为.
【点睛】本意考查了函数的单调性问题以及函数的最值问题，综合性较强，计算量较大，解答时要能综合利用函数的相关知识解答，解答的关键是能明确分类讨论的思路,确定参数的范围，进行比较函数值大小，确定函数最值.