宁夏银川名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份宁夏银川名校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、焦点在y轴上,且长轴长与短轴长之比为,焦距为的椭圆方程为( )
A.B.C.D.
3、在空间直角坐标系中,直线,的方向量分别为,,则( )
A.B.C.与异面D.与相交
4、已知动点满足,则动点M的轨迹是( )
A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支
5、圆关于直线对称的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
6、双曲线的离心率为2,则此双曲线的渐近线倾斜角可以是( )
A.B.C.D.
7、过点,且圆心在直线上的圆与y轴相交于P,Q两点,则( )
A.3B.C.D.4
8、如图所示,用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O,在平面上形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的( )
A.长轴长为3B.离心率为C.焦距为2D.面积为
二、多项选择题
9、已知双曲线的焦点分别为,,则下列结论正确的是( )
A.渐近线方程为
B.双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足,则的周长为28
D.若从双曲线C的左､右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
10、有关圆与圆的下列哪些结论是正确的( )
A.圆的圆心坐标为,半径为5
B.若M,N分别为两圆上两个点,则MN的最大距离为
C.两圆外切
D.若P,Q为圆上的两个动点,且,则PQ的中点的轨迹方程为
11、如图,在平行六面体中,,且,则下列说法中正确的有( )
A.B.
C.D.直线平面
12、若实数x,y满足曲线,则下列结论正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.直线与曲线C恰有1个交点,则实数
D.曲线C上有4个点到直线的距离为1.
三、填空题
13、已知直线,,当时,a的值为__________.
14、若椭圆的对称中心在原点,焦点在坐标轴上,且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为______.
15、设,分别是椭圆C的左,右焦点,过点的直线交椭圆C于M,N两点,若,且,则椭圆C的离心率为_________.
16、已知,是圆上的两个不同的点,若,则的取值范围为___________.
四、解答题
17、已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
18、已知圆,直线l过点.
（1）当直线l与圆C相切时,求直线l的斜率;
（2）线段AB的端点B在圆C上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
19、如图,在直三棱柱中,,,,点D是线段BC的中点,
（1）求证:
（2）求D点到平面的距离;
20、椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆C经过点且短轴长为2.
（1）求椭圆C的标准方程:
（2）过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中垂线与x轴交于点Q,p是椭圆C上的一点,求的最小值.
21、如图,在四棱柱中,,,平面平面ABCD,.
（1）求证:平面ABCD;
（2）若E为线段BC的中点,直线与平面ABCD所成角为,求平面与平面的夹角的余弦值.
22、已知圆,点M是圆E上的动点,点,N为MF的中点,过N作交ME于S,设点S的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）过点的动直线l与曲线C相交于A,B两点.在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析:设直线的倾斜角为,
由可得斜率,即
故选:A
2、答案：D
解析:因为焦点在y轴上,故设椭圆方程为,
则,且,
解得:,,所以椭圆的标准方程为.
故选:D
3、答案：A
解析:由,故,
所以.
故选:A
4、答案：A
解析:设,,由题意知动点M满足,故动点M的轨迹是射线.
故选:A.
5、答案：D
解析:圆的圆心为,半径为2,
设关于直线对称的对称点为,
则,解得.
关于直线对称的对称点为,
圆:关于直线对称的圆的方程为.
故选:D.
6、答案：B
解析:由于双曲线的渐近线为,
且注意到双曲线的离心率为,
又在双曲线中有平方关系:,
所以离心率为,
又由题意,
所以有,解得,
即双曲线的渐近线的斜率为,
由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或.
故选:B.
7、答案：C
解析:因为圆心在直线上,所以设圆的圆心,半径分别为,r,
则圆的方程为,
将,代入圆的方程有,解得,
所以圆的方程为,
在圆的方程中令得,解得,
所以
故选:C.
8、答案：C
解析:
由题意知:,,,
椭圆C的长轴长,A错误;
椭圆C短轴长为球O的直径,即,
,
,
椭圆C的焦距为,C正确;
椭圆C的离心率,B错误;
由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积,
椭圆C的面积大于,D错误.
故选:C.
9、答案：CD
解析:由题意可得,令,故A错误;
易知双曲线和椭圆的离心率分别为,
显然它们不互为倒数,故B错误;
由双曲线的定义可知,
若,则,
又,故的周长为,故C正确;
由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点,故D正确.
故选:CD
10、答案：ABD
解析:对于A,将圆的方程化为标准方程得,
由此可知圆的圆心坐标为,半径为5,故A选项正确;
对于B,将圆的方程化为,如图所示:
不妨设M,N分别为两圆,上两个点,四个点,,,共线,
则由三角不等式可知,
而,分别为两圆,的半径,即,,
是指两圆圆心,之间的距离,即,
所以,
由等号成立的条件可知,当且仅当点M与点重合,点N与点重合时,,故B选项正确;
对于C,由B选项分析可知,
故两圆相交,而不是外切,故C选项错误;
对于D,如图所示:
由题意不妨设,P,Q中点为R,则,
又由于的半径为,
所以由垂径分线定理可知,即,
所以点R的坐标为,又点的坐标为,
所以,故D选项正确.
故选:ABD.
11、答案：ACD
解析:由平行六面体可知,所以,即A正确;
设,,,则为空间的一个基底,
因为,,
所以,,
,
可得,故B错误;
即,所以,故C正确;
在平面上,取,为基向量,则对于平面上任意一点P,
存在唯一的有序实数对,使得.
又,,,
所以.
所以是平面的法向量.故D正确.
故选:ACD.
12、答案：AB
解析:
对于A:曲线即图象是以为圆心,2为半径的半圆,如图,,选项A正确;
对于B:代表曲线半圆上的点与的斜率,由图可知,曲线取点时,斜率最小,,选项B正确;
对于C:直线过定点,由图可知,当直线位于PA,PB之间,或者直线与曲线C相切时恰有1个交点,,
相切时,解得:或,故实数,选项C错误;
对于D:如图,曲线上最多有2个点到直线的距离为1,D错误;
故选:AB.
13、答案：
解析:因为,所以,解得或.
当时,,,此时与重合,不符合题意;
当时,,,此时,符合题意.
综上,a的值为.
故答案为:.
14、答案：或
解析:由于直线与坐标轴的交点为与.
①当焦点为,顶点为时,
此时椭圆焦点在x轴上,且,,
所以
所以椭圆的标准方程为.
②当焦点为,顶点为时,
此时椭圆焦点在y轴上,且,,
所以
所以椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
故答案为:或.
15、答案：或
解析:如图,设,则,.
又由椭圆定义可得.
则在中,由余弦定理可得:
.
则,,
则在由余弦定理可得:
.
又.
故答案为:
16、答案：
解析:由题知,圆C的圆心坐标,半径为2,因为,所以.
设P为的中点,所以,所以点P的轨迹方程为.
点P的轨迹是以为圆心半径为的圆.
设点M,N,P到直线的距离分别为,,d,
所以,,,
所以.
因为点C到直线的距离为,所以,
即,所以.
所以的取值范围为.
故答案为:
17、答案：（1）
（2）3
解析:（1）椭圆的焦点坐标为,
设双曲线的方程为,,
所以双曲线的半焦距.
又由,得,
所以,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知,双曲线C的焦点坐标为,渐近线方程为,
所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）已知C的圆心是,半径是,
设直线斜率为k,
则直线方程是,即,
则圆心到直线距离为,
解得直线的斜率.
（2）设点,则,
由点M是AB的中点得,,
所以①
因为B在圆C上运动,所以②
①代入②得,,
化简得点M的轨迹方程是.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）中,,,,所以,
在直三棱柱中,平面ABC,平面ABC,所以,
又因为,平面,平面,
所以平面,平面,所以.
（2）由（1）知,平面ABC,平面ABC,平面ABC,
所以,,又,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
设平面的一个法向量为,
则,解得,令,则,
设D到平面的距离为d,由得.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意设椭圆C的方䄇为,
因为椭圆C经过点且短轴长为2,所以,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得直线l的方程为,
设,,将直线代入,
得,解得或,不妨设则;同理得,,
即,,所以线段AB的中点坐标,
所以线段AB的中垂线PQ的方程为,
因为线段AB的中垂线PQ与x轴交于点Q,所以令得,得,
因为椭圆的标准方程为.
所以设椭圆的参数方程为,,因为P是椭圆C上的一点,
所以,
所以,
因为,所以,
当时,取得最小值为.
21、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）连接BD,设,
由,,得BD是线段AC的垂直平分线,即有,
平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,于是平面,
而平面,则,又,AB,平面,,
所以平面ABCD.
（2）
由,得,又,,,则,
于是,又,,则以为正交基底,建立空间直角坐标系,
在中,E为BC中点,即有,
由平面ABCD,得为与平面ABCD所成角,即,有,
则,,,,,
由平面ABCD,平面ABCD,得,
又,AE,平面,,则平面,
于是平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,,,
则,取,得,
设平面与平面的夹角为,则,
所以平面与平面的夹角余弦值为.
22、答案：（1）
（2）存在点满足题意.
解析:（1）依题意可知圆E的标准方程为,圆心,
因为线段MF的垂直平分线交ME于点S,所以,
动点S始终满足,故动点S满足椭圆的定义,
曲线C是以E,F为焦点的椭圆,设椭圆方程为,
因此,,解得,,
椭圆C的方程为.
（2）存在与点P不同的定点,使得恒成立.理由如下:
当直线l与x轴平行时,由椭圆的对称性可知,
又因为得,则,从而点Q必在y轴上,可设,
当直线l与x轴垂直时,则,,如果存在定点Q满足条件,
由,即,解得或,
若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是;
当直线l不平行于x轴且不垂直与x轴时,可设直线l的方程为,
联立,消去y并整理得:,
,设A,B的坐标分别为,,
,,
又点B关于y轴对称的点的坐标为,
又,,
,则Q,A,三点共线,;
故存在与点P不同的定点,使得恒成立.