2023-2024学年度高一暑假预习讲义第9讲：函数的概念及其表示(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：函数的概念
模块2：区间与无穷大的概念
模块3：函数的定义域
模块4：函数的值域
模块5：函数的表示方法
模块6：同一函数的判定
模块7：分段函数
【重要考点讲解】
模块1：函数的概念
【知识精讲】
函数的概念：一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
，．
其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的三要素：定义域，对应关系和值域．
【夯实基础】
题型1：对函数概念的理解
例题1．集合，与对应关系如图所示：
是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
例题2．判断下列对应是不是从集合到集合的函数．
①，，对应关系：对集合中的元素取绝对值与中元素对应；
②，1，2，，，，对应关系，，；
③，1，2，，，2，，对应关系，，；
④是三角形，，对应关系：对中元素求面积与中元素对应．
例题3．已知集合，集合，下列图象能建立从集合到集合的函数关系的是
A．B．
C．D．
模块2：区间与无穷大的概念
【知识精讲】
设，是两个实数，且，
实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”．
实数集也可以用表示．
【夯实基础】
题型2：对区间与无穷大概念的理解
例题4．（1）用区间表示数集 ．
（2）集合或用区间表示为 ．
（3）集合，且用区间表示为 ．
（4）用区间表示数集：且 ．
（5）若，为一确定区间，则的取值范围是 ．
模块3：函数的定义域
【知识精讲】
1．概念：使函数有意义的自变量取值范围．
2．常见形式：．
3．复合函数的定义域：此类型题目最关键的法则就是法则下的定义域不变．
①已知的定义域为，则的定义域为；
②已知的定义域为，则的定义域为．
【夯实基础】
题型3：函数定义域的常见求法
例题5．（1）若函数的定义域为集合，则
A．，B．C．，D．，，
（2）函数的定义域为
A．，，B．
C．，，D．，
（3）求函数的定义域 ．
（4）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
（5）若函数的定义域为，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【能力提升】
题型4：抽象函数定义域的求法
例题6．（1）（1）已知的定义域为，，求：
①则的定义域为 ；②则的定义域为 ；③则的定义域为 ；
（2）已知函数的定义域为，，则的定义域为 ；
（3）已知函数的定义域为，则的定义域为 ；
（4）已知函数的定义域为，，则的定义域为 ；
（5）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为 ．
模块4：函数的的值与值域
【知识精讲】
方法和策略：
①与二次函数有关的值域问题，可用配方法；
②形如的函数，可用换元法，即，转化成二次函数再求值域（注意）；
③形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用分离常数的方法求值域，这种函数的值域为；
④形如的函数值域，可用判别式求值域，也可分离常数后换元．
【夯实基础】
题型5：直接代入求函数值
例题7．已知，．
（1）求（2），（2）的值；
（2）求（2），（2）的值；
题型6：求函数值域的常用方法
例题8．求下列函数的值域：
（1），，2，；
（2）．
（3），，；
（4）；
（5）；
（6）；
（7），，．
（8）
（9）；
（10）；
【能力提升】
例题9．（1）已知函数，则（1）等于
A．0B．C．D．4
（2）已知函数，若存在实数，，使函数在上的值域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（3）（多选）（2022秋•南宁二中期中）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素
A．B．0C．1D．2
模块5：函数的表示方法
【知识精讲】
1．列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．
2．图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
3．解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如．
4．解析式的求法：
①直接代入法：已知和的解析式，求的解析式常用代入法；
②待定系数法：已知函数类型；
③换元法：已知的解析式，求时，可用换元法，注意“元”的取值范围；
④配凑法：已知的解析式，求时，可从的解析式配凑出“”，即用来表示，再将解析式两边的用代替即可；
⑤解方程组法：若已知成对出现或类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
【夯实基础】
题型7：求函数解析式的常用方法
例题10．（1）已知，则 ；
（2）已知是一次函数，且，则 ；
（3）已知为二次函数，且，，，则 ；
（4）已知，，则 ；
（5）已知，求 ；
（6）已知，求 ；
（7）已知，，则 ；
（8）已知，则 ．
【能力提升】
例题11．设是上的函数，且满足，并且对任意实数，，有，求的解析式．
模块6：同一函数的判定
【知识精讲】
方法和策略：
①定义域不同，两个函数也就不同；
②对应关系不同，两个函数也就不同；
③当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数．
【夯实基础】
题型8：同一函数的判定
例题12．（1）下列四组函数中，表示同一函数的是
A．与B．与
C．与D．与
（2）在下列四组函数中，与表示同一函数的是
A．，
B．，
C．，
D．，
模块7：分段函数
【知识精讲】
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成， 但它表示的是一个函数．
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决．
【夯实基础】
题型9：分段函数及其应用
例题13．（1）设，则（5）的值为
A．10B．11C．12D．13
（2）（多选）已知函数，若（a），则实数的值可以是
A．3B．C．4D．
【能力提升】
例题14．（1）已知则满足不等式的取值范围是
A．B．C．D．
（2）已知，，用表示，中的较大者，记为，，当，时，的值域为
A．，B．，C．，D．，
【高考真题体验】
1．（2022•北京）函数的定义域是 ．
2．（2022•浙江）已知函数则 ；若当，时，，则的最大值是 ．
3．（2021•浙江）已知，函数若，则 ．
4．（2017•新课标Ⅲ）设函数，则满足的的取值范围是 ．
5．（2013•大纲版）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A．B．C．D．
6．（2008•江西）若函数的定义域是，，则函数的定义域是
A．，B．，C．，，D．
第9讲：函数的概念及其表示课后巩固
模块1：函数的概念课后演练
1．下列说法中正确的是
A．函数的定义域和值域一定是无限集
B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
模块2：区间与无穷大的概念课后演练
2．用区间表示下列集合：
； ； ；
；，或 ．
模块3：函数的定义域课后演练
3．函数的定义域为
A．，B．，C．，，D．，，
4．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，，
5．若函数的定义域是，，则函数的定义域是
A．，B．，，
C．，D．，，
模块4：函数的值域课后演练
6．下列函数中，值域为，的是
A．，，2，3，4，B．
C．D．
7．函数的值域是 ．
8．（多选）若函数的定义域为，，值域为，，则实数的值可能为
A．2B．3C．4D．5
9．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，，已知函数，则函数的值域为
A．，B．，C．，D．，0，
模块5：函数的表示方法课后演练
10．已知，则 ．
11．已知是一次函数，且，则的解析式为
A．B．
C．D．或
12．已知函数的定义域为，且满足，则
A．B．C．D．
模块6：同一函数的判定课后演练
13．下面各组函数中表示同一个函数的是
A．，
B．，
C．，
D．，
14．设取实数，则与表示同一个函数的是
A．B．
C．，D．
模块7：分段函数课后演练
15．已知函数，若，则实数 ．
16．已知函数若，则的值为
A．或B．或C．D．
17．函数，若关于的不等式的解集 ．
【思维拓展训练】
1．定义在上的函数满足，，（1），则（3）等于 ．
2．（多选）（2021•清华大学强基计划）设为常数，，，则
A．B．恒成立
C．D．满足条件的不止一个
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
一类特殊的区间