2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（二）数学试题（解析版）

这是一份2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（二）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，四象限； 则的终边在三等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设集合，集合，则__________
【答案】
【分析】利用集合的交集运算直接求解.
【详解】，，
故答案为：
2．不等式的解集为______
【答案】
【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.
3．若复数满足（是虚数单位），则__________
【答案】
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：
4．设，则__________
【答案】
【分析】先利用同角之间的商关系，再利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
又，所以
故答案为：
5．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为______（cm2）
【答案】##
【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解.
【详解】因为，，
所以该扇形的弧长为（cm），
故该扇形的面积（cm2）．
故答案为：.
6．已知向量，．若，则________.
【答案】0
【分析】根据平面向量坐标运算的线性运算求得，再根据向量平行的坐标关系，即可得的值.
【详解】解：向量，，
所以，
若，则，解得.
故答案为：0.
7．若则tanβ=____．
【答案】
【解析】由，结合已知，应用正切的两角差公式即可求.
【详解】，
故答案为：.
8．函数的严格单调递减区间是______
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调区间的求法直接求解.
【详解】因为令
求得
可得函数的严格单调递减区间为
故答案为：
9．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为_____．
【答案】14.5
【分析】根据百分位数的计算方法求解即可.
【详解】∵75%×20＝15，∴第75百分位数为第从小到大第15，16位数的平均数，即.
故答案为：14.5
10．函数的定义域为_________．
【答案】
【详解】试题分析：要使函数有意义，必须：，所以；所以函数的定义域为：．
【思路点睛】首先，根据函数的性质，可知要使函数有意义，必须：，然后再解不等式，即可求出的取值范围；然后再写成区间或者集合，即可.
【解析】函数的定义域.
11．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_________
【答案】##
【分析】利用古典概型概率的求法求解即可.
【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，
又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，
所以取到白球的概率为.
故答案为：
12．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为__________
【答案】
【分析】函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果.
【详解】的对称轴为
（1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去；
（2）当，即， ，符合题意，故；
综上可知，的取值范围为
故答案为：
【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
13．已知x＞2，则y＝的最小值是_____________．
【答案】4
【详解】试题分析：因为，x＞2，所以x－2＞0，
y＝，即y＝的最小值是4.
【解析】均值定理的应用
点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可．
二、单选题
14．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数D．在上是减函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的知识可得答案.
【详解】在上是增函数
故选：C
15．已知，“且”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充要条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的定义直接判断即可.
【详解】且能推出，所以“且”是“”的充分条件；
取特值法当，时，满足，所以“”不是“且”的必要条件；
因此，“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
16．若，且，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
17．已知关于x的方程有实根n，且，则复数z＝（ ）
A．3＋iB．3－i
C．－3－iD．－3＋i
【答案】B
【分析】根据方程有实根n，代入可得n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，化简整理得n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，根据复数相等列出方程组，即可解出m，n的值，即可得结果.
【详解】由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以，解得，
所以z＝3－i.
故选：B
【点睛】本题考查根据复数相等求参数，考查计算化简的能力，属基础题.
18．已知，，若点满足，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设，由得，再由坐标求解.
【详解】设，由得，
即，
所以，
解得，
所以点坐标为.
故选：D
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
19．已知向量，若与垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由，可得，即可得到方程，解得即可；
【详解】，且，
，即，解得：
故选：B.
20．方程的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】利用正弦函数的图像与性质，即可得到答案.
【详解】由，则内的或
又的周期，所以或
即方程的解集为或.
故选：D
21．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
【答案】D
【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，
故选：D
22．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由球的表面积比得到半径比，再由体积比是半径比得立方得到所求.
【详解】设两个球的半径分别为，根据球的表面积公式，
因为两个球的表面积之比为，，即 ，
根据球的表面积公式，.
故选：C.
23．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简，由可得结果.
【详解】，其中，
最小正周期.
故选：B.
24．函数的最小值及取得最小值时的值分别是
A．1，B．3，0C．3，D．2，
【答案】C
【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值.
【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题.
25．如图，在直角梯形 ABCD 中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】结合平面向量的线性运算，利用求得，即而求得.
【详解】依题意：，
，
，
所以，解得.
所以.
故选：B
26．最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，下图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图像，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法:
①此指数函数的底数为；
②在第个月时，水葫芦的面积会超过；
③设水葫芦面积蔓延至所需的时间分别为，则有；其中正确的说法有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图像，求出指数函数的解析式，再对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】设面积与时间的函数关系为：
由图可知，函数过点，故可解得，则.
对①：由函数解析式的求解过程，即可判定底数，故①正确；
对②：令，则，即面积超过，故②正确；
对③：令分别为：，可解的
则，故③正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：D.
【点睛】本题考查指数型函数模型的应用，涉及待定系数法，对数的运算，属基础题.
三、解答题
27．如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；
(1)求该圆锥的全面积和体积；
(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值；
【答案】(1)全面积为，体积为；
(2).
【分析】（1）分别求出圆锥高为，底面半径为2，根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可；（2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角的定义进行求解即可.
【详解】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2．
圆锥的侧面积，圆锥的底面积，
故圆锥的全面积；体积为.
（2）过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角．
因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC，
所以．
在中，所以．
由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：．
在中，．
即异面直线AO与CD所成角的正切值为：.
28．设，函数（为自然对数义底数）
(Ⅰ)求的值，使得为奇函数.
(Ⅱ)若关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】试题分析：(Ⅰ)由奇函数得，得，进而检验即可；
(Ⅱ) 由条件得，化简得，易知不成立，时，，求的范围即可.
试题解析：
（Ⅰ）由为上的奇函数，得
得.
此时
所以 ，因此满足
（Ⅱ）由条件得，化简得
①当时，此时不成立
②当时，
而，在单调递增
所以
综上所述的取值范围.
点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．