2024届山东省菏泽市某校高三宏志班上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省菏泽市某校高三宏志班上学期9月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合和集合的补集，再求其交集即可
【详解】由，得，
因为，所以，
因为，，所以，
所以，
故选：C
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】因为，所以，
而，
所以.
故选：C.
3．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.
【详解】解：令得，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，
故选：C.
4．已知为锐角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由诱导公式求出，再由倍角公式求.
【详解】由诱导公式可得，
由倍角公式有，
所以，由为锐角，则.
故选：D
5．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得到对应的函数的定义域为和当时，，再一一判断各个选项即可.
【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，
对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；
对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；
又知当时，，
对于C选项，的定义域为，
当时，，所以C选项错误；
对于D选项，的定义域为，
当时，，所以D选项符合题意.
故选：D.
6．已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定的图象依次求出，得函数的解析式，结合图象变换求出函数，再根据正弦函数性质逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，，则，而，于是，
函数的周期满足：，即，解得，
又，即有，而，于是，
因此，所以，
把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
则，所以，
显然函数为非奇非偶函数，故A错误；
的最小正周期，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
则的图象不单调，故D错误.
故选：B
7．已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.
【详解】已知，
令，解得
则函数对称轴方程为
函数在区间不单调，
，解得，
又由，且，得，
故仅当时，满足题意.
故选：C.
8．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围.
【详解】当时，，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以在上的值域，
当时，，
①当时，在上递增，
所以的值域为，
由题意得，得，
因为，所以，
②当时，，
则在上递增，所以的范围为，
在上递减，所以的范围为，
由题意得，得，
因为，所以，
综上，实数的取值范围为，
故选：D
二、多选题
9．已知，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】A选项可去特殊值判断；B选项可构造函数，利用导数判断单调性即可；C选项可根据不等式同向同正可乘的性质进行判断；D选项可以用作差法进行判断.
【详解】对于A：取，，则，故A错误；
对于B：构造函数，则，
故在为增函数，故，即，故B正确；
对于C：，故与两式相乘得，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：BC
10．已知函数的定义域为，则为奇函数的必要不充分条件是（ ）
A．B．为奇函数
C．存在无数个，D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数结合奇偶性判断各个选项即可.
【详解】不能得到为奇函数，为奇函数一定有，∴是为奇函数的必要不充分条件，A对.
，，既是奇函数，又是偶函数，则，
∴则为奇函数，充要条件，B不选.
有无数个，不一定有为奇函数，不充分，为奇函数一定有无数个，必要，C选.
若为奇函数，则为偶函数，必要性成立；
为偶函数，，∴，
∴，此时若，则不为奇函数，不充分，D对.
故选：ACD.
11．若函数的定义域为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性，由对称轴和对称中心分别判断各个选项即可.
【详解】函数的定义域为R，，
函数关于对称，即，
，
的图象关于点对称.
对于AB：的图象关于点对称，，但无法判断，故B正确，A错误；
对于D：的图象关于直线对称，且，，故D正确；
对于C：的图象关于直线对称，的图象关于点对称，，即，，令，则，故C正确.
故选：BCD.
12．已知函数，则关于函数说法正确的有（ ）
A．最小正周期B．图象的对称轴方程为：
C．在上有最大值为2D．方程在上有且只有3个根
【答案】AC
【分析】由正弦的二倍角公式化简，
对于A：，由此可判断；
对于B：的对称轴方程为，由此可判断；
对于C：当时，求得，由此可判断；
对于D：令，分和两种情况，分别利用导函数，分析函数的单调性，由零点存在定理可得函数的零点个数，
当时，.，由此可判断.
【详解】解：因为，所以，
对于A：，所以最小正周期，故A正确；
对于B：的对称轴方程为，故B不正确；
对于C：当时，，所以，所以，所以函数在上有最大值为2，故C正确；
对于D：令，
当时，.则，
因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上有一个零点；
当时，.则，
因为，所以，所以，所以，所以在上单调递减，
又，，所以在上有唯一的一个零点；
当时，.所以，所以在上没有零点，
所以方程在上有且只有2个根，故D不正确，
故选：AC.
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.
【详解】已知函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
又，且，解得，且，
所以定义域为.
故答案为：.
14．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.
【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，
所以函数在R上递减，
所以，即，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
15．已知均为正实数，，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】将看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.
【详解】设，，
原题转化为：已知，，且，求的最小值.
由.
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】方法点睛：一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
16．定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为 .
【答案】
【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案.
【详解】由，可得
又当时，，
所以
根据，当时，，
可知当时，
由上的图象，可作出的图象，如图.
当时，
当时，，又
由，可得
，恒有，如图可得的范围是
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查函数的基本性质周期性的应用，解答本题的关键是由性质可得，得出函数的解析式，作出函数的图象，根据图象分析得出当，可得，属于中档题.
四、解答题
17．如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．
(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；
(2)当轴时，求A点的坐标．
【答案】(1)证明见解析．
(2)．
【分析】（1）设，，则，，由共线得一关系式，利用对数的换底公式变形后可得两点坐标满足的关系，从而得结论；
（2）由两点的纵坐标相等可求得，代入（1）中关系式可求得得点坐标．
【详解】（1）设，，则，，
共线，则，
所以，即，
所以三点共线；
（2）由（1）得，即，所以．
所以，当时，，重合不合题意，因此，，从而，（负值舍去），
所以点坐标为．
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的单调递减区间和值域.
【答案】(1)
(2)的减区间为；函数的值域为
【分析】（1）化简得，从而利用周期公式即可求解；
（2）令，求解并结合即可求得单调减区间；由于，可得，再结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以的最小正周期是；
（2）令，解得，
令，则
由于，所以的减区间为.
因为，则，所以，
所以，即函数的值域为.
19．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为r1、r2米，圆心角为(弧度)．
（1）若，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；
（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD的长．
【答案】（1）9；（2）8.
【分析】（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ，即可得出结论;（2）记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，则y=90（x+ ），根据函数的单调性即可求出.
【详解】（1）设花坛的面积为S，则S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π
所以花坛的面积为9π（m2）
（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米
由题意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，
则r1θ+r2θ=，
记r2﹣r1=x，则x＞0，装饰总费用为y，
则y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+）
根据均值不等式得到当x=8时，y有最小值为1440，
故当线段AD的长为8米时，花坛的装饰费用最小．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.

(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积公式及同角公式求出的正余弦，再利用差角的余弦计算作答.
（2）利用（1）中信息求出，再讨论的范围求解作答.
【详解】（1）由题意知，，点，则有，解得，
又为锐角，则，
因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，则，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
从而
，
因为为锐角，，则有，即，又，因此，
所以.
【点睛】思路点睛：给值求角问题，选取某个函数，借助三角变换求出这个角了三角函数，再判断角所在区间求解作答.
21．设函数，（且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．
(1)求和的值；
(2)是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函数及给定的点求出和的值作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，换元并利用二次函数在闭区间上的最大值分段讨论作答.
【详解】（1）因为函数是上的奇函数，则，解得，，
显然，即函数是奇函数，因此，
由，且，解得，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递增，令，则，
，则，
令，依题意，在上的最大值为1，
二次函数图象对称轴，
当，即时，，解得，矛盾，
当时，，解得，则，
所以存在实数，满足题意.
22．已知，当时，.
（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的解析式；
（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；
（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）将点 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即 ，根据对数运算后可得 ，将问题转化为方程有一个实根，分 和 两种情况，得到 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值 整理为 ，对任意 恒成立， 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）函数过点，
， ，
此时函数
（Ⅱ）由得，
化为，
当时，可得，
经过验证满足函数只有一个零点；
当时，令解得，可得，
经过验证满足函数只有一个零点，
综上可得：或.
（Ⅲ）任取且，则，
，即，
在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为，
，
整理得对任意恒成立，
令，
函数在区间上单调递增，
，即，解得，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.