2024届河北师范大学附属实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届河北师范大学附属实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求集合B，利用交集的概念计算即可.
【详解】由，故，所以，
故选：B．
2．命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，．
故选：C．
3．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】∵，∴，∴，，
∴所求的切线方程为，即.
故选：D
4．若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角余弦公式，齐次式弦化切得解.
【详解】.
故选：B.
5．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围.
【详解】时，，函数在上单调递减，，
令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．
故选：D．
6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】根据三角函数的图像变换求解.
【详解】因为，
所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选:B.
7．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
8．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】C
【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【详解】∵，∴，
∵周长为，即，
∴，∴，
∴的面积．
故选：C．
二、多选题
9．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
【答案】BCD
【分析】根据余弦定理对各个选项进行判断.
【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故A错误；
余弦定理反映了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确；
余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，故C正确；
当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故D正确.
故选：BCD.
10．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】BC
【分析】利用诱导公式判断A，根据弧度与角度的关系判断B，根据三角形函数的定义判断C，由扇形的弧长与面积公式判断D.
【详解】对于A：，故A错；
对于B：，故B正确；
对于C：若终边上有一点，则，故C正确；
对于D：若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，
所以扇形的面积，故D不正确.
故选：BC
11．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
【答案】BC
【分析】对于A，利用正弦定理整理等式，结合正弦函数以及三角形的内角性质，可得答案；
对于B，利用余弦定理，建立方程，根据一元二次方程的求解，可得答案；
对于C，根据正切函数的和角公式，整理等式，结合直角三角形的性质，可得答案；
对于D，利用平面向量的数量积的定义式，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，即，
因为，，所以，，所以或，
即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，由余弦定理得，
即，即，解得，
由，所以，则满足条件的三角形有且只有一个，故B正确；
对于C，因为不是直角三角形，且，
所以，即，
所以，故C正确；
对于D，，即，
所以，因为，则，所以一定是直角三角形，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13． ．
【答案】/
【分析】根据已知条件,结合三角函数的诱导公式,以及正弦的两角和公式,即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
14．已知函数，则的值是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
15．函数，则 ．
【答案】
【分析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.
16．函数的图象为C，以下结论中正确的是 写出所有正确结论的编号）.
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【答案】①②③
【分析】对于①，通过计算可得答案；
对于②，通过计算可得答案；
对于③，通过的范围，求出的范围，通过单调性可判断；
对于④，直接通过平移的规则可得答案；
【详解】对于①，，故图象C关于直线对称，①正确；
对于②，，故图象C关于点对称，②正确；
对于③，，则，在上单调递增，故函数在区间内是增函数，③正确；
对于④，由的图象向右平移个单位长度得，不为，④错误；
故答案为：①②③.
四、解答题
17．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出；
（2）在第一问的基础上，代入求解即可.
【详解】（1）由题知，，因为，
所以，又为第二象限角，
所以，即
（2）.
18．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求c及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；
（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.
【详解】（1）由且，则，
所以.
（2）由，则，
而，则.
19．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因为，所以的最小值是12.
20．已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最小值为，最大值为4
【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.
【详解】（1）定义域为R，
，
令得：或，
令得：，
所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，
又因为，而，
所以，
所以在区间上的最小值为，最大值为4
21．已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求时，函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令即可得出答案；
（2）由得，由此即可求出答案．
【详解】解：；
（1）令，得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由得，
∴，
从而函数的值域为．
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．
22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.
(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【答案】(1)，
(2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，而根据表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
（2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.
【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.
分别把，代入，得
解得，，∴，.
此时该函数的图象恰经过点，∴，.
（2）由（1）知，
当且仅当，即时，有最小值，且.
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.
上市时间/天
2
6
32
市场价/元
148
60
73