2024届黑龙江省哈尔滨市第九中学校高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省哈尔滨市第九中学校高三上学期10月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．-3或3B．3C．4D．-4或4
【答案】B
【分析】根据函数是幂函数得到，再根据其单调性，由求解.
【详解】解：由题意得，
解得得.
故选：B
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】命题“”的否定是:.
故选：C.
3．已知集合，，若，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得或，求出，再代入检验即可.
【详解】因为合，且，
所以或，
解得或或，
当时，集合不满足元素的互异性，故，
当时，符合题意.
故选：C
4．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理可求解.
【详解】，，
，
由正弦定理得，
.
故选：B.
5．函数在上的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】.
因为，
所以，
当即时，单调递增.
所以的单调递增区间为.
故选：A.
6．将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】试题分析：函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为，因为它的图象经过点，所以，即，又因为，所以的最小值是，故选D.
【解析】1.图象平移变换；2.正弦函数的图象与性质.
7．已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得的取值范围.
【详解】依题意对于任意的，当时都有成立，
不妨设，可得，
设，可得函数在上为减函数，
，
则在上恒成立.
设，
则，在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题目.
8．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值.
【详解】因为，为图象的对称轴，
所以，即，所以，即为正奇数.
因为在上单调，则，即，解得：.
观察选项，小于等于且为正奇数的有：，
当时，,
因为，所以，此时.
当时，，
此时在单调递减，符合题意；
故的最大值为9.
故选：C.
二、多选题
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则此三角形为等腰三角形
【答案】AB
【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.
【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，，，所以,即,
所以有两解，所以有两解，故B正确；
对于C，因为为钝角三角形，但不一定是钝角，所以不一定成立，故C错误；
对于D，因为，所以，
由，得或，解得或，
所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D错误.
故选：AB.
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．a的值为
C．
D．若为偶函数，则t最小值为
【答案】BC
【分析】根据图象可得判断A，利用对称轴求出计算，可判断BC，根据函数为偶函数求出可判断D.
【详解】由图可知，，故A错误；
所以，故，
由可知对称轴，
所以在函数图象上，故，即,
可得，，所以，
所以，故B正确；
又，故，故C正确；
为偶函数，则,,
即，，所以t最小值为，故D错误.
故选：BC
11．下列不等式中，正确的有（ ）
A．时，B．时，
C．D．时，
【答案】ACD
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，可判断AD；取特值可判断B；由两角和的正切公式可判断C.
【详解】对于A，令，则，当时，，
当时，，当时，取得极大值，即最大值0，所以，
即，故A正确；
对于B，取，，所以，故B错误.
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，
当时，在上单调递增，所以，所以，
要证当时，，只需证当时，，
即证在上恒成立，
设，则，令解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
成立，故当时，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
12．已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的为（ ）
A．函数在处的切线与函数在处的切线平行
B．方程有两个实数根
C．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则
D．若，则mn的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用导数的几何意义即可判断，对于B，先利用导数求单调性，再根据，当时即可判断，对于C，利用分析即可判断，对于D，结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.
【详解】对于A，由题意可知，，，，
因为，，
所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，
两切线平行，A说法正确；
对于B，令解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
令解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，

当，即时，显然有，
令，则，
令，则，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，
所以当时，，即，
又因为，所以结合单调性可知方程仅有一个根，B说法错误；
对于C，由B可知，
因为，所以或，
令，则，
令解得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，则无解，所以舍去，
同理可得，所以（即）或（与矛盾舍去），
所以，
又由即可得，所以，C说法正确；
对于D，的定义域为，
根据对数函数的图象和性质当时，，当时，，
所以时得，，
又，所以，，
令，则，由解得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，即的最小值为，D说法正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题关键点在于根据解析式找到和的关系，即，并由此进一步分析求解.
三、填空题
13．计算 .
【答案】
【解析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果．
【详解】由题意得
．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：本题考查三角恒等化简，本题的关键是通分后用正弦的差角公式，在由化成时注意角的顺序，这是容易出错的地方，考查运算能力，属于中档题.
14．已知函数，若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
由于，且，由图象可知，且，
则，，，
对于双勾函数，任取、，且，即，
，
，则，，，
所以，双勾函数在区间上单调递减，当时，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】解本题的关键在于分析出，并将问题转化为利用双勾函数的单调性求值域，考查学生的计算能力.
15．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，然后结合二倍角公式及同角三角函数关系可求得结果.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
故答案为：.
16．已知函数的定义域和值域均为，的导数为，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性求解.
【详解】令，
则，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，，
又,
，的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求及的值；
(2)若，求点的坐标.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；
（2）根据同角三角函数关系的转化求得进而求解即可.
【详解】（1）若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
若，则，则，
可得
（2）由题意知，
又，①
两边平方，可得，可得，
可得，②
联立①②，可得
所以点P的坐标为
18．已知，，设．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)，（）
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示将表达出来，结合降幂公式、辅助角公式化简，再结合整体思想即可求出的单调递增区间，
（2）由、，求出的正余弦值，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1），
由，（），得，（）
所以函数的单调递增区间为，（）
（2）由题设得，又，
则，
∴，
所以.
19．如图所示，平面ABC，平面ABC，，，，F为BC的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求凸多面体ABCED的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及三角形的中位线定理，结合平行四边形的性质及线面平行的判定定理；
（2）利用面面垂直的判定定理及性质定理，结合勾股定理的逆定理及棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，
所以，
取BE的中点G，连接GF，GD，如图所示
则GF为的中位线，
∴，，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴，
又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
（2）∵平面ABC，平面ABC，
平面平面ACED，
∵平面ABC，平面ABC，，
∴四边形ACED为梯形，
∵，
∴，
∵平面平面，
∴平面ACED，即AB为四棱锥的高，
∴．
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①：利用正弦定理边角转化和两角和的正弦公式，即可求出答案；若选②：利用正弦定理边角转化和余弦定理，即可求出答案；若选③：若由三角形的面积和余弦定理，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，求出的范围，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）若选①：，
则，
∴，
∴
∵，，
∴，∵，∴．
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，∵，∴．
若选③：，
所以，
由正弦定理得，
∴，∵，∴．
（2）若，由正弦定理可得：，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，即，解得：，
，所以，
.
即的取值范围为.
21．2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，
(1)若，，求的值；
(2)若，四边形ABCD面积为4，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求；
（2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒
【详解】（1）在中，∵，则
∴．
在中，由正弦定理得，，
∴．
由，得，
∴，
∴．
（2）在、中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，
②，
得，，
即，
∴．
22．已知函数．
(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）化简，令，得到且，根据题意转化为在上恒成立，设，求得，设，利用导数求得的单调性，进而得到的单调性，求得的最小值，即可求解；
（2）由（1）得到不等式恒成立，即恒成立，从而证得，进而证得，得到，进而证得结论.
【详解】（1）解：由题意，函数，
令，因为，可得，且，
因为在上恒成立，即在上恒成立，
当时，不等式，显然成立，
当时，设，
则，
若，则，，符合题意；
若，等价于在上恒成立，
设，
则，
设，可得，
当时，，单调递减，
又因为，
当时，，可得，单调递减，
由，所以，即实数的取值范围为；
综上，实数的取值范围为；
（2）解：由（1）知，当时，不等式恒成立，
即，即恒成立，
当，且时，可得，
所以，
所以
，
所以，
又因为，
所以.
【点睛】思路点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．