2024届河北省沧州一中普通高中高三上学期复习质量监测数学含解析

这是一份2024届河北省沧州一中普通高中高三上学期复习质量监测数学含解析，共17页。试卷主要包含了在的展开式中，的系数是，已知，，且，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
班级__________姓名__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）．
A．1B．2C．D．3
3．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（ ）．
A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差
B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122
D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度
4．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ）．
A．B． C．D．
5．在的展开式中，的系数是（ ）．
A．24B．32C．36D．40
6．已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ）．
A．1B．C．2D．
7．在三棱柱中，平面，，，点D是的中点，点E是平面的中心，则点E到平面的距离为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知函数，定义域为，在其定义域中任取，（其中）都满足，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，且，则下列说法正确的有（ ）．
A．B．C．D．
10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为D．的周长为
11．如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且满足的面积为，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．是的一个单调递增区间
C．函数图象的对称中心为点，
D．函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位长度，各点的横坐标再伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的得到
12．现有内部直径为3的球型容器，则以下几何体能够放入该球型容器内的为（ ）．
A．棱长为2的正方体
B．底面为半径为1的圆，高为2的圆柱体
C．棱长为的正四面体
D．三棱锥，其中，，平面平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，满足，则__________．
14．某班级数学课上教师随机地从学生甲、乙、丙、丁中选取一名学生回答问题，据了解学生甲、乙、丙、丁答对此题的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6．则此题答对的概率为__________；在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率为__________．
15．已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．
16．已知数列满足以下规律：，，，，，，…，，…，，，，…，，…，数列的前n项和为，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．
（1）若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
（2）现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且满足．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，数列的前n项和为，证明：．
19．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求C；
（2）若，求c的最小值．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）棱上是否存在点M，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明：．
沧州市普通高中2024届高三复习质量监测
数学参考答案
1．B
【解析】根据题意，集合，集合，
所以，故选B．
【命题意图】本题考查集合的基本运算、不等式的求法，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．
2．C
【解析】根据题意，，所以，
故，故选C．
【命题意图】本题考查复数的相关知识，对学生的计算能力及对定义的理解进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．
3．C
【解析】根据题意分析，对于选项A，甲同学成绩的极差为，
乙同学成绩的极差为，所以选项A错误；
对于选项B，甲同学的平均成绩为，
乙同学的平均成绩为，所以选项B错误；
对于选项C，甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为，所以选项C正确；
对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以选项D错误．故选C．
【命题意图】本题考查统计中样本数字特征的运算与应用，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数据分析、数学运算等数学核心素养．
4．B
【解析】根据题意，，所以，
所以，，，故选B．
【命题意图】本题考查三角函数的定义与运算，对学生的理解能力、计算能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．
5．D
【解析】根据题意，的项为，故选D．
【命题意图】本题考查二项式定理知识与运算，对学生的分析能力及对二项式定理的深度理解进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．
6．B
【解析】根据题意，设等差数列，
又是关于n的一次式，可得，
所以，则，故选B．
【命题意图】本题考查数列的函数特征，对学生的理解能力、分析能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．
7．C
【解析】根据题意，连接，点E在上，可以证明平面，
所以点E到平面的距离等价于点A到平面的距离，
设点E到平面的距离为d，利用等体积法可得，
即，
又，，，，
所以，所以，故选C．
【命题意图】本题考查空间几何体中的距离问题，对学生的空间想象能力、计算能力进行考查，考查直观想象、数学运算等数学核心素养．
8．A
【解析】根据题意，，则，
由于，为函数定义域内任取的两个数，且，
所以函数在上单调递增，
函数，
则在上恒成立，则，
设函数，则，
所以，故，故选A．
【命题意图】本题考查函数与导数的应用，考查学生对函数结构的理解与应用，对学生的函数构造能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查数学抽象、数学运算等数学核心素养．
9．BCD
【解析】根据题意，已知，
根据，可得，则，所以，故选项A不正确；
由，得，故选项B正确；
由，得，则，故选项C正确；
又，故选项D正确．故选BCD．
【命题意图】本题考查基本不等式的应用，对学生关于基本不等式的记忆、理解和应用进行了考查，考查数据分析、数学运算等数学核心素养．
10．AC
【解析】根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；
椭圆C的离心率为，故选项B不正确；
根据点差法的结论可得，所以，
所以直线l的方程为，即，故选项C正确；
因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确，故选AC．
【命题意图】本题考查椭圆的基本性质，直线与椭圆之间的关系与综合问题，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．
11．AD
【解析】根据题意，当时，，
又因为的面积为，所以，则，
所以函数的最小正周期为，可得，则，
可得，故选项A正确；
由，，则，，
所以当时，，故选项B不正确；
由，，则，，故选项C不正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可得的图象，故选项D正确．故选AD．
【命题意图】本题考查正切函数的图象与性质，对学生的数形结合能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查了直观想象、数学运算等数学核心素养．
12．BCD
【解析】根据题意，对于A，该几何体的外接球直径为，A不正确；
对于B，该几何体的外接球半径为，B正确；
对于C，该几何体的外接球半径为，C正确；
对于D，设该几何体的外接球半径为R，如图，点D为线段中点，点E为中心，
所以，点F为的外心，且在线段上，设，
又，，，
，，计算可得，D正确，故选BCD．
【命题意图】本题考查从实际问题出发判断几何体之间的关系，对学生空间想象能力和计算能力进行了考查，考查直观想象、数学建模等数学核心素养．
13．
【解析】根据题意，，则，所以，则．
【命题意图】本题考查向量的运算、向量的模、向量的坐标表示及运算，对学生的向量定义与几何意义的理解、计算能力与分析能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．
14．0.75 0.2
【解析】根据题意，此题答对的概率为；
设事件A：此题答错，事件B：由乙回答此题，
所以．
【命题意图】本题考查实际问题中的概率问题、计数原理、条件概率，对学生的计算能力、分析能力、实际问题的解决能力进行了考查，考查数学运算、数学建模、逻辑推理、数据分析等数学核心素养．
15．2
【解析】双曲线的渐近线方程为，
所以设点P的坐标为，
又因为，可得点P的坐标为，
又因为直线的斜率为，所以，则，
两边平方得，
所以可得，两边同时除以，得，
即，所以．
【命题意图】本题考查圆锥曲线中的双曲线的基本性质，双曲线中的离心率的运算，对学生的数形结合能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查直观想象、数学运算等数学核心素养．
16．123.5
【解析】根据题意，各分母相同的项的个数分别为1，3，7，…，，
所以项数之和为，
解得．
数列，
所以．
【命题意图】本题考查数列综合问题，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．
17．解：（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，
则有．（3分）
（2）设张同学、王同学答对的题数分别为Y，Z，
张同学在考试中合格的概率为
，
王同学在考试中合格的概率为
．（5分）
由题意得X可取0，1，2，
则，
，
，（8分）
所以X的分布列为
因此X的数学期望．（10分）
【命题意图】本题考查统计学中的概率问题、分布列与期望的问题，对学生的理解能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查数据分析、数学建模、数学运算等数学核心素养．
18．解：（1）根据题意，，
所以，则，
所以，所以是等差数列．（5分）
（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以，（8分）
所以，（10分）
所以．（12分）
【命题意图】本题考查数列的综合型问题，等差数列，辅助数列，裂项相消法求和，有关数列的不等式判断，对学生的计算能力、分析能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．
19．解：（1）由正弦定理，得，即，（2分）
所以，可得，（4分）
又，所以．（5分）
（2）根据题意，，即，（7分）
由正弦定理得，（8分）
根据佘弦定理可得，所以，（11分）
当且仅当时，等号成立，所以c的最小值为12．（12分）
【命题意图】本题考查利用正、余弦定理解三角形的综合问题，在以解三角形为背景的环境下，利用基本不等式或函数求解最值，对学生的计算能力、分析能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．
20．解：（1）证明：如图，取的中点K，连接，，
∵为正三角形，，∴．
∵底面为直角梯形，，∴．
又，∴．（2分）
又，，，平面，∴平面．
∵平面，∴平面平面．（4分）
（2）如图，以K为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，（6分）
设，得，
∴，，
设平面的法向量为，
由得，
令，则，，∴，
由题意知平面的一个法向量为，（8分）
∴，解得或（舍），（10分）
∴，∴，
∴棱上存在点M，使得二面角的大小为，且．（12分）
【命题意图】本题考查空间几何体中的面面垂直问题，以二面角为背景的存在性问题，对学生的计算能力、空间想象能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养．
21．解：（1）因为抛物线过点，所以，所以，（3分）
所以抛物线C的方程为．（4分）
（2）设点，，联立，得，（5分）
又因为点M关于点G的对称点为P，所以点，
由O，N，P三点共线，可得，即，
化简得，（7分）
设直线l的方程为，联立，消去x，得，
可得，，（8分）
代入，可得，可得，（9分）
所以直线l的方程：，即，则，（10分）
所以直线l过定点，（11分）
所以点H的轨迹是以为直径的圆（除去E，Q两点），圆心为，半径为，
所以存在定点，使得为定值，该定值为．（12分）
【命题意图】本题考查圆锥曲线中抛物线的方程、性质以及直线与抛物线之间的关系等综合问题，对学生的计算能力、图形分析与转化能力进行了考查，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养．
22．解：（1）根据题意，，，（1分）
所以，又，（2分）
所以曲线在处的切线方程为．（4分）
（2）要证明，即证，
由（1）可得，（6分）
所以只需证明，令，
即证，即证，（8分）
设，则，，
所以单调递增，，，
所以有零点，且，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，故，次数
1
2
3
4
5
6
甲同学成绩/分
135
104
108
136
136
116
乙同学成绩/分
116
124
123
120
121
132
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
B
D
B
C
A
BCD
AC
AD
BCD
X
0
1
2
P