2024届河南省南阳市第九完全学校高三上学期第二次调研考试数学试题含解析

这是一份2024届河南省南阳市第九完全学校高三上学期第二次调研考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素.
【详解】因为，即，所以的可能取值为，
分别代入可得，所以集合中共有8个元素.
故选：D
2．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.
【解析】不等式性质、充分必要性.
3．已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】C
【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值．
【详解】因为，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，的最大值为3．
故选：C．
4．不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【分析】先因式分解，然后分和求解即可.
【详解】，
当时，不等式显然不成立；
当时，，所以原不等式，
解得.
综上，原不等式的解集为.
故选：C
5．已知第二象限角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三角函数基本关系可求出，由倍角公式可求出，代入和差的正弦公式即可求解.
【详解】根据题意，
第二象限角满足，可得，，
所以，．
．
故选D．
6．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在区间上为增函数
【答案】C
【分析】由可判断A；由可判断B；的图象向左平移个单位可得，可判断C；由可判断D
【详解】当时，，，故直线不为对称轴，A不正确；
当时，，，故点不为对称中心，B不正确；
把的图象向左平移个单位长度，得到函数
，它是偶函数，C正确；
由，在上不单调，D不正确
故选：C
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数与函数的单调性证得在上单调递增，从而证得，进而由对数函数的单调性得到.
【详解】因为，，，
故令，则，
因为，所以，故恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
故，
又因为在上单调递增，所以，即.
故选：B.
8．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解.
【详解】由题意，得，
设，求导
令，解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且
又时，；当时，，故；
作出函数大致图像，如图所示：

又，
因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，
由图可知：，即
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、多选题
9．下列选项中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】把每个选项中的式子的值算出来即可
【详解】，故A满足
，故B满足
，故C不满足
，故D不满足
故选：AB
【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.
10．设，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出的图象，由图象可得只有，或这两种情况.
进而推出，又，推出.
【详解】则的图象如下所示，
因为，
若，则，这与已知矛盾，
同理，也不成立.
只有，或这两种情况.
所以，故B一定不成立，A成立；
又，即，所以，故D一定成立，C一定不成立.
故选：BC.
11．已知函数（，）的最小正周期为．把函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（ ）
A．B．是的图象的对称中心
C．在上单调递增D．在上的值域为
【答案】BCD
【分析】由周期求得，利用平移后图象对应函数是偶函数求出，可判断选项A；然后结合正弦函数的性质判断各选项．令，代入函数可判断选项B；求出可判断选项C；整体代入法可判断选项D.
【详解】∵函数的最小正周期为，
∴，.
把函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
由于得到的函数为偶函数，
则，，
∴，，故A错误；
令，求得，
可得是的图象的对称中心，故B正确；
当，，
函数单调递增，故C正确；
当，，
，
∴在上的值域为，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质．在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数的性质求解，把中的视作中的进行求解．
12．已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点
B．，使
C．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．函数的值域为
【答案】BCD
【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BD；利用函数的单调性及函数的极值判断选项C.
【详解】对于选项A，是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，；
当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，．
综上可得，选项B正确．
对于选项D，，即函数的值域为，选项D正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点，则也有且只有一个零点；
所以对于选项C，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
所以极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
所以极小值．
综上可得，或，解得的取值范围是，
故C正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．计算 .
【答案】3
【详解】.
14．设角的终边过点，则 ．
【答案】/
【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用两角差的正切公式可求得所求代数式的值.
【详解】由三角函数的定义可知，
所以，.
故答案为：.
15．已知， 则 .
【答案】
【分析】根据求出，结合求出，结合，求出.
【详解】因为，，所以，
因为，解得：，
所以，
由，得，解得：，
因为，
所以．
故答案为：
16．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图像，由图像可得要方程有8个相异实根，则必有2相异实根，且两根均在内，利用根的分布知识列不等式求解即可.
【详解】作出函数的图像如下：
令，则，
要方程有8个相异实根，
则必有2相异实根，且两根均在内
则，解得
故答案为：.
四、解答题
17．已知，试求的值．
【答案】.
【分析】易得，根据诱导公式对所求表达式进行化简即可得结果.
【详解】由已知得，
故
18．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求角的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同角平方关系即可求解；
（2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解；
（3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解.
【详解】（1）因为，所以.又，所以，
所以.
而，所以，
所以.
（2）由且，得，
所以
.
又，所以.
（3）由（2）知，所以，
所以.
又，所以，
所以.
19．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
20．设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.
（I）求a，b的值；
（II）证明：f(x)≤2x-2．
【答案】（I）a＝－1，b＝3. （II）见解析
【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即
解得a＝－1，b＝3.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
【解析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明．
点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性．定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解．
21．已知函数.
（1）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；
（2）问题可化为f（x2）f（x1），设h（x）＝f（x）lnx+1，求出函数的导数，问题等价于m≥x3+2x在[1，2]上恒成立，利用导数求出m的最小值即可．
【详解】（1）易知不是常值函数，∵在上是增函数，
∴恒成立，所以，只需；
（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，设，所以，
因为，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．
22．已知函数．
（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；
（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先根据对称性转化为方程在上有解，再利用导数求，（）值域即可确定实数的取值范围；
（2）要证，即证，利用极值点条件求得，令，则转化证明不等式，利用导数研究函数单调性，确定其最值，即可得证.
【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，
即的图像与函数的图像有交点，
即在上有解.
即在上有解.
设，（），则
当时，为减函数；当时，为增函数，
所以，即.
（2），
在上存在两个极值点，，且，
所以，所以
则且，即所以，
设，则
要证，即证，即证明
即证，
设，，
则在上单调递增，，
即，
所以.
【点睛】本题考查利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
0
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
2
0
+
e
单调递减
极小值
单调递增