2024届海南省临高县临高中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届海南省临高县临高中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可
【详解】由，得或
所以或，
因为，
所以.
故选：D
2．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
经检验，时，，满足题意；
时，，满足题意；
所以实数的取值范围是.
故选:A.
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性，对比出、、三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.
【详解】解：因为函数为单调递增函数，
所以，即；
因为为单调递增函数，
所以，即；
因为单调递减，
所以，
即，
故，
故选：A.
4．若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
5．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先不等式化简为，再利用函数单调性，即可求解.
【详解】由题意可得，即，函数单调递增，所以，解得．
故选：B
6．已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.
【详解】函数中，令，解得，此时，
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
.
故选：B.
7．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的解析式判断函数的奇偶性以及当时，函数值的符号，排除错误选项即可得出选项.
【详解】由，定义域为，关于原点对称，
则，
所以函数为偶函数，排除B、D；
当时，，故排除C.
故选：A
8．已知二次函数的值域为，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：该二次函数在平面坐标系的图像是一条抛物线，由其值域范围可得a>0且4−4ac=0，解得ac=1，则，
当且仅当a=1时取得最小值．
本题选择A选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误. 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
二、多选题
9．下列各式正确的是（ ）
A．设，则
B．已知，则
C．若，，则
D．
【答案】BCD
【分析】由幂指数的运算可判断AB,由对数的运算性质以及换底公式可判断CD.
【详解】对于A, ,故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C,由，得， 所以，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：BCD
10．已知函数，若，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】BC
【分析】根据分段函数解析式进行分类讨论，通过解方程求得的值.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得，又，所以舍去．
综上所述，或．
故选：BC
11．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集为
D．关于的不等式的解集为
【答案】AC
【分析】由题意可得方程的根为和3，且，则，得，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以方程的根为和3，且，
所以，得，
对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，由，得，解得，所以的解集为，所以C正确，
对于D，由，得，化简得，解得，所以D错误，
故选：AC
12．已知是定义在上的奇函数，.若，则
A．是周期函数
B．当为偶数时，
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据函数为奇函数以及，结合周期定义即可判断A；由函数的周期为 即可判断B；根据题意可得，结合B项以及函数的周期为即可求解；由函数的周期为以及当为偶数时，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以，又，
所以.
所以，可得函数的周期为4，选项A正确；
，即，
又因为函数周期为4，所以当为偶数时，，选项B正确；
因为，周期，
所以，
所以选项C是错的；
所以选项D是正确的.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题.
三、填空题
13．函数的定义域为
【答案】
【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数要满足的范围求出定义域.
【详解】，解得，
故定义域为
故答案为：
14．已知是偶函数，且当时，.若，则 .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质，建立方程，结合指数运算，可得答案.
【详解】由函数是偶函数，则，由，则，
所以，则，，解得.
故答案为：.
15．若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为 ．
【答案】2
【分析】把原命题转化为“，”为真命题，转化为不等式恒成立问题即可得到结论．
【详解】因为命题“，”为假命题，
故“，”为真命题，即在恒成立，须；
故实数a的最小值为2；
故答案为：2．
16．关于函数有下列命题：
①函数的图像关于y轴对称；
②在区间（-，0）上，函数是减函数；
③函数的最小值为；
④在区间（1，+）上，函数是增函数．其中正确命题序号为
【答案】①③④
【详解】 ①对；当时，单调递增，即在 上单调递增，②错；因为在上单调递增，在上单调递减，所以当 时， ，由为偶函数得，最小值为 ，③对；因为在上单调递增，所以④对，选①③④
四、解答题
17．记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
【详解】（1）设的公差为d，因为，
所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因为，
所以
，
由，解得，
所以．
18．在中，分别为内角所对的边，若，．
(1)求的面积；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形的面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【详解】（1）由余弦定理，，结合可得，
整理可得，根据三角形的面积公式，.
（2）由（1）知，根据基本不等式，，
当时，的最小值是.
19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
20．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面的判定定理可判定平面；（2）取中点，连接，可得，且,易得平面，再由棱锥体积公式得解.
【详解】（1）证明：连接，分别是，的中点，，
又平面，平面，
平面.

（2）取中点，连接，
是的中点，
为的中位线，则，且，
又平面，平面，
所以三棱锥的体积为.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，求出，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）分类讨论，当时、当时，的正负情况，再判断单调性，从而确定极值.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
22．已知椭圆C：1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
【解析】（1）根据椭圆的定义求出，根据焦点坐标求出，根据离心率公式求出心率；
（2）由（1）求出椭圆方程，①当直线l与x轴垂直时，求出点Q的坐标为，
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及可得点Q的轨迹方程，根据判别式和点在椭圆内求出的范围.
【详解】（1）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2，
所以a＝.
又由已知，得c＝1，
所以椭圆C的离心率e＝.
（2）由（1）知，，所以椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x，y).
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为，
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，
则，，
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由，得＝＋，
即.①
将y＝kx＋2代入中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得x2＝.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，
得10(y－2)2－3x2＝18，
由③及k2>，可知0