2024届重庆市南开中学高三第三次质量检测数学含答案

这是一份2024届重庆市南开中学高三第三次质量检测数学含答案，文件包含数学试题docx、数学试题pdf、数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合U={−2,0,1,3,5},A={ −2,3,5},B={0,2,4},则(CUA)∪B=
A.{ -2,0,2,4} B.{ -2,0,1,2,4}
C.{0,1,2,4} D. {0,2,4}
2.已知i为虚数单位,则复数(2+i)(1−i)的虚部为
A. i B. −i C.1 D. -1
3.已知向量 a=2−1,b=−33,c=3m,且 a+c⊥b,则m=
A.4 B.6 C. -4 D. -6
4.已知 α∈0π2,且5cs 2α+csα+3=0,则 tanα=
A.21 B.25 C.215 D.212
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且a₂,a₃+3,a₄成等差，则 S₅=
A.62 B.93 C.96 D.64
6.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x−2)=4,f(x)>0 ，f(2024) =1.则 ∑i=12023fi=
A.4545 B.4552 C.4553 D.4554
若数列{an}满足 an+1=109−2an,则使得“对任意 n∈N*，都有 aₙ₊₁>aₙ"成立的一个充分条件是
A.a₁∈02 B.a1∈252
C.a1∈5292 D.a1∈925
8.已知函数f(x) =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，其中 A=2πω,点C是f(x)图象的一个对称中心，点 P在C左侧的图象上，是与C相邻的最高点，直线l经过点C且与f(x)交于B，D两点，已知直线l的斜率k≥4,若 PB⋅PD的最小值为8，则ω=
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 已知非零向量a，b ，c下列命题正确的是
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.与向量a共线的单位向量是 a|a|
C.“a·b ＞0”是 “a与b的夹角是锐角”的充分不必要条件
D.若 a,b是平面的一组基底，则 a+b,a−b也能作为该平面的一组基底
10.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是
A.z2=z2
B.若|z|=1,则|z﹣1﹣i|的最大值为 2+1
C.若 z=1−2i²,，则复平面内z对应的点位于第二象限
D.若1−3i是关于x的方程 x²+px+q=0pq∈R的一个根,则q=−9
11.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, B=π3,sinA−C=5314,则下列说法正确的是
A.△ABC为锐角三角形
B. tan A =3tan C
C.若 b=7,则△ABC的面积为 332
D.若H为△ABC 的垂心,则6HA+2HB+HC=0
12.已知函数f(x) =xex+ a(a∈R),g(x)=xex下列说法正确的是
A.若x1≠x₂,g(x₁)=g(x₂),则 x₁+x₂>2
B.若a=0,则 “x₁+x₂=0”是‘ fx₁+gx₂=0”的充要条件
C.若不等式f(x)D.若不等式f(x) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列{an},{bₙ}的前n项和分别为Sn, Tn,且 SnTn=2n−54n+3,则 a6b6= .
14.已知△ABC中,M为边 BC上一个动点,若 AM=xAB+3yAC,则 3x+1y的最小值为 .
15.已知 F是抛物线 C:y²=4x的焦点，直线 l与抛物线C交于不同的两点A,B,且 OA⋅OB=−4,过 F作 FD⊥AB 于 D,则|FD|的最大值等于 .
16.如图,在锐角△ABC中, BC=2,∠CAB=π3,点D为∠ACB外角平分线上一点，且AD平分∠CAB,则|AD|的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)如图,正三棱锥P-ABC中, PA=AC=6,,E,F为棱 PC的三等分点.
(1)求异面直线AE,BF夹角的余弦值；
(2)求三棱锥A-BEF 的体积.
18.(本小题满分12分)已知数列 aₙ满足 a1=4,2an−an+1=λ⋅3n(n∈N∗,λ为常数).
(1)若λ = -1,求证:数列 aₙ−3ⁿ为等比数列；
(2)若λ≠0且{an}为等比数列,求数列 −1ⁿlg₃aₙ的前2n项和 T₂ₙ.
19.(本小题满分12分)在锐角△ABC中,已知角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 c²−a²sinA＋ c²−b²sinB=0
(1)求角C的值;
(2)若 c=3,求2a+b的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0),其离心率 e=32,点 F₁,F₂分别是椭圆C 的左右焦点，点A 是椭圆上任意一点，且 |AF1+AF2|的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 F₁作直线l与C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，过点M 作直线 l的垂线交x轴于点N,若 |MN|=65,求直线l的方程.
21.(本小题满分12分)某校为了解高三年级 1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古诗文”测试.现随机抽出 100名学生，对其测试成绩(满分：100分)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前 15%，则可获得“优秀奖”
(1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答；游戏进入下一轮.每答对一道“默写”题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题.
现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为 12, 13, 14，当答题时，甲、乙、丙答对“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：
①求第一轮结束时，乙的得分X的分布列和期望；
②求第三轮仍由甲出题的概率.
22.(本小题满分12分)设函数f(x) =sin x−xcs x.
(1)当x∈[−π,π]时,求函数f(x)的最值;
(2)函数g(x)=ln(x+1)−f'(x),其中f'(x)为函数f(x)的导函数,试讨论函数g(x)在( −1,2π)的零点个数.
甲
乙
丙
背诵
12
23
13
默写
12
13
23