2023重庆市南开中学高三上学期第三次（11月）质量检测数学含解析

重庆市高2023届高三第三次质量检测

2022.11

命审单位：重庆南开中学

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知，是不共线的向量，则是向量，平行的（    ）条件

A. 必要不充分 B. 充分不必要

C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

3. 某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（    ）

A. 2021年甲系列产品收入和2020年的一样多

B. 2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多

C. 2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的

D. 2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多

4. 已知平面向量，，满足：，，且，则为（    ）

A. 1 B. 3 C.  D. 9

5. 已知A，B是函数的图像上的两个相邻最高点和最低点，且，为得到的图像，只需要将函数的图像（    ）

A 向左平移个单位长度 B. 向右平移π个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移3个单位长度

6. 已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 若在上存在满足，且，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知满足，所在平面内一动点P满足），且，若恒成立，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9. 设Z表示整数集，且集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知、为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知C：的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（    ）

A. 为定值 B. AB中点轨迹方程为

C. 最小值为27 D. O在以AB为直径圆外

12. 如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（    ）（参考公式：）

A.  B. 第一次出现是

C. 在中出现了次 D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，则______．

14. 已知数列满足，，则______．

15. 在中，为上一点，，，则______；若，则______．

16. 已知三个内角A，B，C的对边a，b，c依次成等比数列，且，，点T为线段AB（含端点）上的动点，若满足的点T恰好有2个，则实数t的取值范围______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 经国务院批准，自1998年起，每年9月第三周为全国推广普通话宣传周（以下简称推普周）．今年9月12日至18日为第25届推普周，并以“推广普通话，喜迎二十大”为主题．某校在“二十大”前夕举行了推普知识竞赛，设置了甲、乙两类问题各2道，参赛者需要答完四道题．小明同学回答甲类每题的正确率为，回答乙类每题的正确率为，且各道题作答情况互不影响．

（1）求小明两类问题各答对1道的概率；

（2）求小明答对题目总数的分布列与期望．

18. 刍甍，中国古代数学中的一种几何体．中国传统房屋的顶部大多都是刍甍．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图下面的五面体为一个刍甍，其五个顶点分别为A，B，C，D，E，F，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，，，平面平面ABCD，O为BC中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面和平面所成的锐二面角的大小．

19. 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．

（1）求的值；

（2）若的面积为1，求边a的最小值．

20. 已知为数列的前项和，且满足，．单调递增等比数列满足，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．

21. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆C标准方程；

（2）若直线l：与椭圆C交于异于点B两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．

22. 已知函数．

（1）若函数与x轴相切，求m的值；

（2）若函数恰好有两个零点，证明：．