2024届重庆市重庆市第十一中学主城九龙坡区高三第一学期期中考试数学word版含答案

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【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
8.
【答案】A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
【答案】BC
10.
【答案】BC
11.
【答案】ACD
12.
【答案】BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
14.【答案】##
15.
【答案】
16.
【答案】##1.75
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得，即可知；
（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得，利用不等式即可求出，再由向量比例关系可知，即可求出结果.
【小问1详解】
根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
【小问2详解】
如下图所示：
由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【答案】（1）采用小概率值的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．
（3）结合二项分布的期望公式，即可求解．
【小问1详解】
列联表如下表所示：
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
【小问2详解】
采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
【小问3详解】
由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，再利用累乘法即可得解；
（2）先利用错位相减法求出，即可求得，再求出的最大值，即可得解.
【小问1详解】
由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
，
，
，
．
因此，
，
当，即，
当时，，即，
最大项，．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）由根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可得到答案.
【小问1详解】
令，
，
则，
，所以，
所以；
【小问2详解】
设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
21. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线斜率即可求得切线方程；
（2）利用导函数求出函数在上的单调性，利用极值点定义即可求得实数的取值范围为；
（3）根据题意将不等式转化为在恒成立，求出的单调性即可求得的取值范围是.
【小问1详解】
若时，，则，
，
可得在点处的切线方程为，
即．
【小问2详解】
函数，则，
令得，
①若，则在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则与情况如下：
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
解得，
即实数的取值范围为．
【小问3详解】
易知，所以可化为，
又，所以可得，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，所以，
又可得
即在上单调递减，所以，
可得，
即实数的取值范围为．
22. 已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在上恒成立，参变分离在上恒成立，构造函数求出的最大值，从而求出的取值范围；
（2）由零点得到，令，从而得到，，，构造，求导得到其单调性，从而证明出结论.
【小问1详解】
的定义域为，
，
函数是减函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范围是；
【小问2详解】
若有两个零点，则，
得．
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，即，
故.
【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.男生
女生
合计
喜欢
120
100
220
不喜欢
80
100
180
合计
200
200
400
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
2.072
2.706
3.841
5.024
6635
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
编号
1
2
3
4
5
6
企业总数量（单位：百个）
50
78
124
121
137
352
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增