重庆市九龙坡区杨家坪中学2024届高三上学期第五次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2024届高三上学期第五次月考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分）
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. （-3，2]B. [-3，2）C. （2，3]D. [2，3）
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得集合，，再结合集合的交集和补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，则，
又由，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记对数的运算性质正确求解集合，再根据集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
2. 某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.
【详解】由该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，
可得，解得，
即扇环的圆心角的大小为.
故选：D.
3. 复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出，则，由向量垂直得到，从而求出的值.
【详解】设，则，
由得：，
因为，所以，故，
故.
故选：B
4. 重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】基本事件总数，每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，由此能求出每个景点都有人去游玩的概率．
【详解】解：洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．
现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，
则基本事件总数，
每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，
则每个景点都有人去游玩的概率为．
故选：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A. 音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C. 240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D. 240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
6. 已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程，求得直线所过的定点，直线被圆C截得的弦长最短时有，则，解出方程即可.
【详解】因为直线：，
方程可化为，
令，解得，
故直线过定点，
且在圆C:内，又,
故当直线被圆C截得的弦长最短时,
有，
则，
解得，
故选：B.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合同角三角函数关系以及辅助角公式，可化简原式得到，再利用辅助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解
【详解】，
则
故选：D
8. 已知正数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
【点睛】关键点点睛：不等式中含有不相关的双变量，据此分别构造不同的函数，利用导数求最值是关键之一，其次根据不等式左边的最小值与不等式右边的最大值相等，由不等式成立得出方程是关键点之二，据此建立方程求解即可.
二、多选题
9. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则（ ）
A. ，则
B. 且，则
C. ，且，则
D. ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据面面平行性质可判断A；根据面面平行结合线面垂直性质判断B；根据面面平行的判定判断C；利用空间平面的法向量判断平面的位置关系判断D.
【详解】对于A，若，m与有可能是异面直线，故错误；
对于B，因为且，可得出，再由，可得出，故B正确；
对于C，若，则，又，所以，故C正确；
对于D，若，则可在直线上取向量，分别作为的法向量，

由于，则，即，故可得，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法中，其中正确的是（ ）
A. 命题：“”的否定是“”
B. 化简的结果为2
C. …
D. 在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得平面，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.
【详解】A：命题：“”的否定是“”，故A错；
B：，故B正确；
C：…，故C正确；
D：如图所示，
由，，则，得，
由是的中点，，易知：△为等边三角形且，
又，所以，得，
又，平面，所以平面.
设球心为且在过△中心垂直于面的垂线上，点到底面的距离为，
由正弦定理得的外接圆半径，
球的半径，
所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确.
故选：BCD.
11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2台加工的次品率为5%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.06
B. 该零件是次品的概率为0.036
C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D. 如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D．
【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品概率为
，故B正确；
对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它是次品的概率为，
则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于D，如果该零件是次品，那么它是第1台车床加工出来的概率为，
则如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为，故D错误．
故选：BC.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，栯圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 存在点，使得
C. 当时，的最大值为
D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点与椭圆的位置关系，可得，即可求出离心率的范围，判断A项；易知，只有原点满足条件，即可判断B项；根据椭圆的定义，可得，根据三角形的三边关系结合图象，即可判断C项；根据椭圆的定义结合“1”的代换，根据基本不等式即可求解，判断D项.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B错误；
对于C，由已知时，，所以，.
又，则.
根据椭圆的定义可得，
所以，
如图，当且仅当三点共线时，取得等号.
的最大值为，故C正确；
对于D，因为.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13. 某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是________．（按四舍五入法保留整数）
附：，，．
【答案】6
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质得到，然后求人数即可.
【详解】由题意知，，所以，
所以理论上在85分到90分的人数约是.
故答案为：6.
14. 已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为，，与成锐角，
所以，
解得，
当与同向时，，即，解得，
此时满足，但与所成角为0，不满足题意，
综上，与成锐角时，y的取值范围为.
故答案为：
15. 已知，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】对两边求导后，令得到答案.
【详解】两边求导得，
，
令得，
故
故答案为：
16. 已知函数，数列是公差为4的等差数列，若，则数列的前n项和_____．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据的奇偶性和单调性可得的奇偶性和单调性，然后结合等差数列的性质可得，再利用等差数列的通项公式及求和公式即得.
【详解】因为，，
则，
所以为R上的偶函数，
当时，，
所以函数在上单调递增，且，
设，则为奇函数，且在上单调递增，
因此在R上单调递增，
由题知，
又数列是公差为4的等差数列，可得，
若，则，
∴，即，
同理可得，
∴，与矛盾，舍去；
同理若，则，与矛盾，舍去；
∴，又的公差，
∴，解得，
∴＝2n2﹣8n，
故答案为：．
四、解答题
17. 已知数列的前项和为，且满足，.
（Ⅰ）求证：是等差数列；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）若），求证：.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）将an＝Sn﹣Sn﹣1代入an+2Sn•Sn﹣1＝0中整理得，即证得数列为等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，进而根据an＝Sn﹣Sn﹣1求得n≥2时数列的通项公式，求得a1，则数列通项公式可得．（Ⅲ）把（Ⅱ）中的an代入bn＝2（1﹣n）an中求得，进而利用裂项法和放缩法可得到证明．
【详解】（Ⅰ）证明:当时，，
又，所以，
若，则与矛盾，
故，所以，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故，
当时，；当时，，
所以；
（Ⅲ）证明：当时，，
，
.
【点睛】本题考查利用定义法证明等差数列，考查数列通项公式的求法，考查裂项相消求和和放缩法的应用，属于中档题.
18. 锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）证明：.
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明；
证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明；
（2）根据三角形是锐角三角形分析出的范围，结合（1）的结论求解出的范围.
【小问1详解】
证法一：因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，
所以，
由正弦定理得，即；
证法二：因为，
所以，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
由正弦定理可得，即.
【小问2详解】
由上可知，则，解得，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
19. 某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关？
（2）从该市市民中任选一人，表示事件“选到人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，给出的估计值；
（3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且末患有疾病的人数为，试利用该调查数据，给出的数学期望的估计值．
附：，其中．
【答案】（1）有关 （2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题设可得列联表，故可求的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关.
（2）根据条件概率的计算公式结合表中数据可求的估计值.
（3）利用二项分布的期望公式可求的数学期望的估计值.
【小问1详解】
由已知得列联表如下：
零假设为：该市市民患有疾病与是否具有生活习惯无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
．
依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
小问2详解】
由（1）数据可得：，，
所以．
【小问3详解】
由题意知可用估计的分布，
所以的估计值为．
20. 如图，在四棱锥中，，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角余弦值建立方程求解即可.
【小问1详解】
如图，取的中点分别为，连接BE，AF，EF，CF，
所以，且，
又，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
又，所以，
所以，即.
又，，平面，
所以平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面，因为，平面，
所以，，所以.
在Rt中，，，
则，则.
因为，，所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，，.
由，，
得.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故的值为.
21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8．
（1）求的方程；
（2）若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）与的面积之比为定值
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.
【小问1详解】
由题意得，即①．
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
所以，即②．
联立①②，得．
故的方程为．
【小问2详解】

与的面积之比为定值．
由（1）可得，
由题意设直线．
联立得，
则，
，
所以．
直线的方程为，
令，得，即．
同理可得．
故与的面积之比为
，
即与的面积之比为定值．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是化积为和，得到，最后得到面积比值表达式，再进行代换即可得到面积比值.
22. 已知函数.
（1）若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
（2）若函数有两个极值点,证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，恒成立，即恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；
（2）方法一：由（1）得，转化为是的两个零点，求导得到单调性，得到，换元后即证，构造，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；
方法二：先证明引理，当时,,当时, ，变形得到只需证，结合引理，得到，，两式结合证明出答案.
【小问1详解】
的定义域为，，
由题意恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，单调递增,
当时，，单调递减,
∴在处取得极大值，也是最大值，，
故；
【小问2详解】
证法一：函数有两个极值点，由(1)可知，
设，则是的两个零点，
，当时，，当时，,
所以在上递增,在上递减，
所以,又因为，
所以，
要证,只需证,只需证，
其中，即证，
即证，
由,设,
则,,则,
设，
，
由(1)知，故,
所以,,即，在上递增，
,故成立,即；
证法二：
先证明引理:当时,,当时, ，
设,
，
所以在上递增,又,
当时,，当时，，
故引理得证，
因为函数有两个极值点，由(1)可知,
设，则是的两个零点，
，当时，，当时，,
所以在上递增,在上递减，
所以,即，
要证,只需证，
因为，即证，
由引理可得
化简可得①，
同理，
化简可得②，
由①-②可得 ，
因为，，所以，
即,从而.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.疾病
生活习惯
具有
不具有
患病
25
15
未患病
20
40

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
疾病
生活习惯B
合计
具有
不具有
患病
25
15
40
未患病
20
40
60
合计
45
55
100