重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试卷(含答案)

这是一份重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数z满足，其中i为虚数单位，则等于( )
A.iB.C.1D.
2．已知集合,,则的真子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
3．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则( )
A.，B.，
C.，D.，
4．英国著名数学家布鲁克·泰勒(TaylrBrk)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数,泰勒级数用无限连加式来表示一个函数,如:,其中.根据该展开式可知,与的值最接近的是( )
A.B.C.D.
5．已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位:小时),且,.现从该社区中随机抽取3名居民,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为( )
6．已知定义在R上的函数满足:,且时,,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
7．过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,若为直角三角形,O为坐标原点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”,出自白居易的“江南忆,最忆是杭州”,名为“踪琮”,“莲莲”,“宸宸”的三个吉祥物,是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会,某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场,每名志愿者只安装一个吉祥物,且每个吉祥物至少有一名志愿者安装,若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”,则不同的安装方案种数为( )
A.50B.36C.26D.14
二、多项选择题
9．已知，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数,则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
11．已知抛物线的焦点为F,O为坐标原点,其准线与x轴交于点M,经过点M的直线l与抛物线交于不同两点,,则下列说法正确的是( )
A.
B.存在
C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆
D.当的面积为时,直线l的倾斜角为或
12．如图，在边长为1的正方体中，E是的中点，M是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A.当M点与点重合时，直线平面
B.当点M移动时，点D到平面的距离为定值
C.当M点与E点重合时，平面与平面夹角的正弦值为
D.当M点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为
三、填空题
13．已知向量，满足，，，则__________.
14．已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为__________.
15．已知点F为椭圆的右焦点,过坐标原点作一条倾斜角为的直线交椭圆于P,Q两点,,则该椭圆的离心率为________.
四、双空题
16．已知数列的前n项和为,且,记,则________;若数列满足,则的最小值是________.
五、解答题
17．在梯形ABCD中,,为钝角,,,.
（1）求;
（2）设点E为AD的中点,求BE的长.
18．已知首项为正数的等差数列的公差为2，前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
19．实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策,新能源汽车,电动汽车是重要的战略新兴产业,对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某市电动汽车的销售情况,调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况,数据如下表所示:
（1）若用模型拟合y与x的关系,根据提供的数据,求出y与x的经验回归方程(精确到0.01);
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法,从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访,记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望,
参考数据:,,其中.
参考公式:对于一组数据,其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为,.
20．如图,四棱锥中,底面,四边形ABCD中,,,,,.
（1）若E为PB的中点,求证:平面平面ADE;
（2）若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为.
(ⅰ)求线段AB的长;
(ⅱ)设G为内(含边界)的一点,且,求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度.
21．已知点M为圆上任意一点,,线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q.
（1）求Q点的轨迹方程;
（2）设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P,且点P在第一象限内.已知,请问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值,若不存在,请说明理由.
22．（1）已知函数,(,e为自然对数的底数),记的最小值为,求证:;
（2）若对,恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，则，
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为,
,则,
所以,的真子集个数为.
故选:C.
3．答案：D
解析：由题意得，解得，
因为，，则，
则样本数据的75%分位数位于，则，解得，
因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，
故选：D.
4．答案：C
解析：原式,
故选:C.
5．答案：B
解析：由题意得,则,
则,
则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时概率为,
故选:B.
6．答案：A
解析：任取,则,
而时,,则,
,
所以在R上单调递减,
,,,
取,则,令,
得,
所以为R上的奇函数,
,即,则,解得.
故选:A.
7．答案：D
解析：圆的圆心,半径,
由PA,PB切圆C于点A,B,且为直角三角形,得,,连接AC,BC,
则,即四边形APBC正方形,,
因此点P在以点C为圆心,为半径的圆上,而,
于是,,所以的取值范围为.
故选:D.
8．答案：A
解析：（1）按照2,2,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
（2）按照3,1,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有种,
故共有种,
故选:A.
9．答案：ABD
解析：由题意得，，
，，则，则，
对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确；
对B，因为，即，则，故B正确；
对C，因为，根据指数函数在R上单调递减，则，故C错误；
对D，因为，，
，
当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确；
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：因为,
令,则,
令,
则,
注意到,令,解得,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
则,且当x趋近于或时,都趋近于,
若在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点,
所以,即有2个零点的充要条件为,
若符合题意,则对应的取值范围为的真子集,
结合选项可知:A错误,BCD正确;
故选:BCD.
11．答案：AD
解析：对A,由题意得,准线方程,则,
显然当直线AB的斜率为0,即直线AB的方程为,此时不合题意,
设直线AB的方程为,
联立抛物线方程,得,,解得或,
,,,,则,,则,
,,
则,A正确;
对B,当直线AB与抛物线相切时,最大,则,解得,
根据抛物线对称性取分析:
此时直线方程为,此时直线斜率为1,则,因此不存在,B错误;
对C,假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆,则,
,,则,
即,,
即,即,,满足或,
即存在以AB为直径且经过焦点F的圆,C错误;
对D,,,
此时直线斜率为,则直线l的倾斜角为或,故D正确.
故选:AD.
12．答案：ACD
解析：对A，因为，所以点A，，C，四点共面，
当M点与点重合时，直线平面，故A正确；
对B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
因为E为中点，则设，，，，
则，，，
设平面的方向量为，则，即，
令，则，，所以，
则点D到平面的距离，显然不是定值，故B错误；
对C，当M点与E点重合时，由B知此时，，平面的法向量，
设平面与平面夹角为，，
则，故C正确；
对D，连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点M，交于点P，交于点N，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，因为点，
所以平面截正方体所得的图形为四边形，
不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，
则，，因为M为线段中点，则，
根据直线，则，设直线的方程为，代入点M坐标得，解得，则，则点P位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，
点N位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，
则，，，结合，
则四边形为等腰梯形，则其高为,
则，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由，得，而，，
则，所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，
设，
由图可知，函数的最小正周期为，则，
又因为，则，
因为，可得，
所以，，则，
则，
当时，，
故.
故答案为：.
15．答案：或
解析：令椭圆的左焦点为,半焦距为c,分别连接,,
由,得四边形为矩形,
而,则为正三角形,所以,,
,则椭圆离心率为,
故答案为:.
16．答案：；
解析：因为数列的前n项和为,且,
当时,则,解得,
当时,由可得,
上述两个等式作差可得,则,
所以,数列是首项为1,公比为2的等比数列,则,
所以,,则,且,
所以,,
,
则,
当时,,即,
当时,,则,故数列从第二项开始单调递增,
因为,且,
所以,的最小值为.
故答案为:;.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在梯形ABCD中,由,为钝角,得是锐角,
在中,,则,
由余弦定理得,即为等腰三角形,
所以.
（2）由,得,由点E为AD的中点,得,
所以.
18．答案：（1）
（2）当n为偶数时，，当n为奇数时，
解析：（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，
即，又因为，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，，
经检验，时，满足，
综上，当n为偶数时，，
当n为奇数时，.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）令,
,,
则,
,
所以,
所以.
（2）由题意得,2,3,4,
,
,
,
,
分布列为:
数学期望.
20．答案：（1）证明见解析
（2）(ⅰ)2
(ⅱ)
解析：（1）在四棱锥中,底面ABCD,平面ABCD,则,
而,,AB,平面PAB,于是平面PAB,又平面PAB,
则,由,E为PB的中点,得,,AE,平面ADE,
因此平面ADE,而平面PBC,
所以平面平面ADE.
（2）(ⅰ)由（1）知,直线AB,AD,AP两两垂直,
以点A为原点,直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
过C作于F,由,,得,令,
则,,,,,
设平面PCD的法向量,则,令,得,
由平面PAB,得平面PAB的一个法向量,
依题意,,整理得,而,解得,
所以线段AB的长为2.
(ⅱ)显然平面PAD,而平面PAD,则,又,
于是,解得,因此点G的轨迹是以点A为圆心,为半径的圆的,
所以点G的轨迹的长度为.
21．答案：（1）
（2）,证明见解析.
解析：（1）连接QB,则,
点的轨迹是以点C,B为焦点的双曲线,
点的轨迹方程为:.
（2）因为Q点的轨迹方程为:,则,.
当直线l的方程为时,则,解得(负舍),则,
而,易知此时为等腰直角三角形,
其中,,
即,即:,
下证:对直线l斜率存在的情形也成立,
设,其中,且,因为,则,且,
即,
,
,
,
结合正切函数在上的图象可知,.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,
因为,,
当时,即,
当时,,在,上单调递增,
当时,,在,上单调递减,
当时,
所以,
,
因为,所以,即.
综上,.
（2）,,即,
所以,即,
令,,,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以在上单调递增,
因为,所以,
即,即,即,即,
令,,
当时,,
当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减,
所以,
所以,
所以a的取值范围为.
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
6
产值y/百万辆
9
18
30
51
59
80
X
1
2
3
4
P