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2023-2024学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题下列每小题都给出标号为A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．有下列各数：0.456，，（﹣π）0，3.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图．已知小华的坐标为（﹣2．﹣1）．小亮的坐标为（﹣1，0），那么小东的坐标应该是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（1，1）C．（1，2）D．（3，2）
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
4．下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
5．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
6．估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（ ）
A．10B．2C．10或2D．7
8．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车图中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象．下列说法：
①m＝1，a＝40；
②甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为7小时；
④当两车相距20千米时，则乙车行驶了3或4小时，
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，点A在数轴上对应的数是1，以点A为圆心，交数轴于点E，点E表示的实数是 ．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，BC＝15，则阴影部分的面积是 ．
14．已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 ．
15．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0）（0，4），点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本题满分72分）
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出△A1B1C1；
（2）A1点坐标为 ，B1点坐标为 ，C1点坐标为 ；
（3）△ABC的面积为 ．
18．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
20．青岛即墨某采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知甲采摘园采摘的葡萄的标价为15元/kg，若一次性采摘不超过2kg，若采摘超过2kg，则超过部分按标价的8折付款．
（1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式；
（2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为15元/kg，小颖如果想用270元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？
21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，BM，供水点M在小路AC上，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．
22．在平面直角坐标系中，P（a，b），Q（c，d），对于任意的实数，我们称点K（kc﹣ka，kd﹣kb）（k≠0）．例如：已知P（1，﹣2），Q（3，1），点P和点Q的2系点为K（4，6）（0，2），B（1，﹣3）．
（1）点A和点B的3系点的坐标为 （直接写出答案）；
（2）已知点C（2，m），若点B和点C的k系点为点D，点D在第二、四象限的角平分线上．
①求m的值；
②连接CD，若CD∥x轴，求△BCD的面积．
23．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，甲比乙早出发1小时，如图所示的l1，l2分别表示甲乙两车相对于出发地A的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系．根据图象提供的信息
（1）l2表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系；分别求出l1，l2对应的两个一次函数表达式；
（2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少时间？
24．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省青岛市即墨区八年级第一学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．有下列各数：0.456，，（﹣π）0，3.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：（﹣π）0＝1，，
故在实数0.456，，（﹣π）0，6.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，中，，0.1010010001…（相邻两个8之间0的个数逐次加1）．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根以及零指数幂，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．如图．已知小华的坐标为（﹣2．﹣1）．小亮的坐标为（﹣1，0），那么小东的坐标应该是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（1，1）C．（1，2）D．（3，2）
【分析】根据“小亮的坐标为（﹣1，0）”建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案．
解：如图：
．
小东的坐标应该是（1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，
∴∠C＝180°×＝78°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵b2＝a2﹣c7，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c＝3：5：7，
∴设a＝3k，b＝5k，
∴a7+c2＝（3k）7+（4k）2＝25k3，b2＝（5k）8＝25k2，
∴a2+c3＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
4．下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．
解：A、4是16的算术平方根，即，故A错误；
B、﹣3是﹣27的立方根；
C、＝7，故C正确；
D、1的立方根是1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，解题的关键是掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根．
5．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据点的x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点的y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征即可解答．
解：点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，那么点P的坐标是（﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征是解题的关键．
6．估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】根据16＜17＜25，先估算的大小，然后确定﹣1的大小．
解：∵16＜17＜25，
∴4，
∴6．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（ ）
A．10B．2C．10或2D．7
【分析】分8是直角边和8是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
解：当8是直角边时，x＝，
当8是斜边时，x＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
8．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k＜0）判断出此函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出y1与y2的大小关系．
解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0），
∴此函数中y随x的增大而减小，
∵x1＜x5，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
解：A、由函数y＝kx的图象，由y＝，得k＜5；
B、由函数y＝kx的图象，由y＝，得k＞6，故不符合题意；
C、由函数y＝kx的图象，由y＝，故不符合题意；
D、由函数y＝kx的图象，由y＝，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题．
10．甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车图中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象．下列说法：
①m＝1，a＝40；
②甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为7小时；
④当两车相距20千米时，则乙车行驶了3或4小时，
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①观察图象找出点（3.5，120），根据“速度＝路程÷行驶时间”可以算出甲车的速度，再结合甲车中途休息半个小时即可得出a、m的值；
②根据点（3.5，120），利用“速度＝路程÷行驶时间”可以算出乙车的速度；
③根据“时间＝路程÷速度”可算出甲车距离A地260千米时行驶的时间，加上休息的0.5小时即可得出结论；
④根据点（3.5，120），结合两车速度差即可算出当两车相距20千米时，甲车行驶的时间，再根据甲车比乙车早出发2小时可得出乙车行驶时间．
对比给定的说法即可得出结论．
解：①∵甲车途中休息了0.5小时，
∴m＝3.5﹣0.6＝1，
甲车的速度为：120÷（3.6﹣0.5）＝40（千米/小时）．
a＝7×40＝40．
∴①成立；
②乙车的速度为：120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时），
∴甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为：260÷40+0.5＝5（小时），
∴③成立；
④∵两车相遇时时间为3.5时，且甲车速度为40千米/时，
∴当两车相距20千米时，甲车行驶的时间为：3.5+20÷（80﹣40）＝4（小时）或2.5﹣20÷（80﹣40）＝3（小时），
又∵甲车比乙车早出发2小时，
∴当两车相距20千米时，则乙车行驶了1或2小时．
综上可知：正确的结论有①②③．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图形找出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察图形找出点的坐标，再根据各数量之间的关系即可求出结论．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为 1或5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度列方程求出a，再求出点P的坐标，然后根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
解：∵点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是6，
∴|a+1|＝3，
∴a+3＝3或a+1＝﹣4，
解得a＝2或a＝﹣4，
当a＝5时，点P的坐标为（1，
当a＝﹣4时，点P的坐标为（﹣4，
∴点P到y轴的距离为1或5．
故答案为：7或5．
【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了点到x轴的距离等于纵坐标的长度和点到y轴的距离等于横坐标的长度，需熟记．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，点A在数轴上对应的数是1，以点A为圆心，交数轴于点E，点E表示的实数是 1+或1﹣ ．
【分析】利用勾股定理求出AC，在判断出OE的值即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴点E表示的实数为1+或5﹣，
故答案为：1+或1﹣．
【点评】本题考查勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，BC＝15，则阴影部分的面积是 64 ．
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的性质得到DF＝AB，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC4＝172﹣152＝64，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE5+EF2＝DF2＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
14．已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 4 ．
【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值．
解：把（0，0）代入y＝（k+7）x+k2﹣16，
得k2﹣16＝4，
解得k＝±4，
而k+4≠6，
所以k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，掌握代入法和一次项系数不为零是解题关键．
15．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算、小比较．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+6）2+47＝80；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+58＝74；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+5）2+36＝90．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0）（0，4），点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，则点C的坐标为 （0，） ．
【分析】根据折叠可得AB＝AB'，而AB的长度根据已知可以求出，所以B'点的坐标由此求出；又由于折叠得到B'C＝BC，在直角△B'CO中根据勾股定理可以求出OC，进而求出C的坐标．
解：由折叠可知：AB＝AB'，
∵A（﹣3，0），4），
∴AB＝5＝AB'，
∴点B'的坐标为：（2，7），
设C点坐标为（0，b），
则B'C＝BC＝4﹣b，
∵B'C4＝B'O2+OC2，
∴（6﹣b）2＝27+b2，
∴b＝，
∴C（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化﹣对称，掌握折叠性质是解题的关键．
三、解答题（本题满分72分）
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出△A1B1C1；
（2）A1点坐标为 （﹣2，﹣4） ，B1点坐标为 （﹣5，﹣2） ，C1点坐标为 （﹣4，﹣5） ；
（3）△ABC的面积为 3.5 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；
（2）A1点坐标为（﹣2，﹣4），B1点坐标为（﹣5，﹣8），C1点坐标为（﹣4，﹣6）；
故答案为：（﹣2，﹣4），﹣7），﹣5）；
（3）△ABC的面积为＝3×3﹣×6×2﹣×3×3＝3.6．
故答为：3.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
18．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）化简后合并同类二次根式；
（4）去括号，合并同类二次根式．
解：（1）原式＝＝6；
（2）原式＝2﹣＝2﹣5＝﹣5；
（3）原式＝2﹣﹣＝；
（4）原式＝20﹣4+7﹣（5﹣4）＝20﹣3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
19．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义即可求出a、b的值；
（2）求出a+2b的值，再根据算术平方根的定义求出结果即可．
解：（1）∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝25，
解得a＝12，
又∵7﹣b的立方根为﹣1．
∴1﹣b＝﹣2，
解得b＝2，
答：a＝12，b＝2；
（2）当a＝12，b＝3时，
a+2b＝12+4＝16，
∴a+8b的算术平方根为＝4．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的前提．
20．青岛即墨某采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知甲采摘园采摘的葡萄的标价为15元/kg，若一次性采摘不超过2kg，若采摘超过2kg，则超过部分按标价的8折付款．
（1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式；
（2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为15元/kg，小颖如果想用270元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？
【分析】（1）根据题意当x＞2时，根据“付款金额y＝2kg的付款金额+超过部分付款金额”写出函数解析式即可；
（2）列方程分别求出两个葡萄采摘园采摘的葡萄重量，再比较即可．
解：（1）∵x＞2，
∴y＝2×15+（x﹣6）×15×0.8＝12x+8，
∴付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式为：y＝12x+6；
（2）小颖在甲葡萄采摘园采摘270元葡萄：12x+2＝270，
解得x＝22（kg），
小颖在乙葡萄采摘园采摘270元葡萄：15×0.9x＝270，
解得x＝20（kg），
∵22＞20，
∴小颖应该在甲葡萄采摘园采摘的葡萄更多．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，并列出函数的解析式．
21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，BM，供水点M在小路AC上，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
解：（1）在Rt△MNB中，BN＝，
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝，
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，
∴AB2＝BM2+AM7，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
22．在平面直角坐标系中，P（a，b），Q（c，d），对于任意的实数，我们称点K（kc﹣ka，kd﹣kb）（k≠0）．例如：已知P（1，﹣2），Q（3，1），点P和点Q的2系点为K（4，6）（0，2），B（1，﹣3）．
（1）点A和点B的3系点的坐标为 （3，﹣15） （直接写出答案）；
（2）已知点C（2，m），若点B和点C的k系点为点D，点D在第二、四象限的角平分线上．
①求m的值；
②连接CD，若CD∥x轴，求△BCD的面积．
【分析】（1）根据k系点的定义进行求解即可；
（2）①根据题意表示出D，再结合条件可得相应的横坐标与纵坐标互为相反数，从而可求解；
②由①可求得点C（2，2），点D（k，﹣k），结合CD∥x轴，可求得k＝﹣2，从而可确定点D（﹣2，2），即可求得CD，点B到CD的距离，从而可求△BCD的面积．
解：（1）∵A（0，2），﹣7），
∴点A和点B的3系点的坐标为：（3×3﹣3×0，﹣3×3﹣3×4），
即（3，﹣15），
故答案为：（3，﹣15）；
（2）①∵点C（6，m），
∴点D的坐标为：（2k﹣k，mk+3k），mk+4k），
∵点D在第二、四象限的角平分线上，
∴﹣k＝mk+3k，
解得：m＝﹣4；
②由①可得：点C（4，﹣4），﹣k），
∵CD∥x轴，
∴﹣k＝﹣4，
解得：k＝2，
∴点D（4，﹣4），
∴CD＝4﹣2＝2，
点B到CD的距离为：﹣3﹣（﹣4）＝1，
∴S△BCD＝×1×5＝1．
【点评】本题主要考查三角形的面积，点的坐标，解答的关键是明确在直角坐标系中第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数．
23．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，甲比乙早出发1小时，如图所示的l1，l2分别表示甲乙两车相对于出发地A的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系．根据图象提供的信息
（1）l2表示 乙 （甲或乙）车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系；分别求出l1，l2对应的两个一次函数表达式；
（2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少时间？
【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）列方程即可解决问题．
解：（1）根据题意，直线l2表示乙车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系，
故答案为：乙；
设直线l1为y＝kx+b，把点（7，（1，
解得，
∴直线l1为y＝60x+60；
设直线l5为y＝k′x，把点（1，
∴直线l2为y＝90x；
（2）由题意，得60x+60＝90x，
解得x＝3，
所以乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时，
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用一次函数的性质，学会转化的思想，把问题转化为方程或方程组解决，属于中考常考题型．
24．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数y＝x+b的图象上，可以得到b的值；
（2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，即可得到t的值；
②先写出使得△ACE为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当∠ACE＝90°和∠CEA＝90°对应的t的值即可解答本题．
解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，
∴m＝﹣（﹣3）+2＝2+6＝4，
∴点C（﹣2，4），
∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣5，
∴4＝×（﹣2）+b，
即m的值是3，b的值是；
（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（7，0），2），
∵函数y＝x+，
∴点D的坐标为（﹣14，5），
∴AD＝16，
∵△ACE的面积为12，
∴＝12，
解得，t＝5．
即当△ACE的面积为12时，t的值是5；
②当t＝8或t＝6时，△ACE是直角三角形，
理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，
∵点A（2，3），2），4），3），
∴OA＝OB，AC＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CEA＝45°，
∴CA＝CE＝6，
∴AE＝8，
∵AE＝16﹣7t，
∴8＝16﹣2t，
解得，t＝2；
当∠CEA＝90°时，
∵AC＝4，∠CAE＝45°，
∴AE＝5，
∵AE＝16﹣2t，
∴4＝16﹣4t，
解得，t＝6；
由上可得，当t＝4或t＝5时．
【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
1．有下列各数：0.456，，（﹣π）0，3.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图．已知小华的坐标为（﹣2．﹣1）．小亮的坐标为（﹣1，0），那么小东的坐标应该是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（1，1）C．（1，2）D．（3，2）
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
4．下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
5．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
6．估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（ ）
A．10B．2C．10或2D．7
8．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车图中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象．下列说法：
①m＝1，a＝40；
②甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为7小时；
④当两车相距20千米时，则乙车行驶了3或4小时，
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，点A在数轴上对应的数是1，以点A为圆心，交数轴于点E，点E表示的实数是 ．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，BC＝15，则阴影部分的面积是 ．
14．已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 ．
15．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0）（0，4），点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本题满分72分）
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出△A1B1C1；
（2）A1点坐标为 ，B1点坐标为 ，C1点坐标为 ；
（3）△ABC的面积为 ．
18．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
20．青岛即墨某采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知甲采摘园采摘的葡萄的标价为15元/kg，若一次性采摘不超过2kg，若采摘超过2kg，则超过部分按标价的8折付款．
（1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式；
（2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为15元/kg，小颖如果想用270元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？
21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，BM，供水点M在小路AC上，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．
22．在平面直角坐标系中，P（a，b），Q（c，d），对于任意的实数，我们称点K（kc﹣ka，kd﹣kb）（k≠0）．例如：已知P（1，﹣2），Q（3，1），点P和点Q的2系点为K（4，6）（0，2），B（1，﹣3）．
（1）点A和点B的3系点的坐标为 （直接写出答案）；
（2）已知点C（2，m），若点B和点C的k系点为点D，点D在第二、四象限的角平分线上．
①求m的值；
②连接CD，若CD∥x轴，求△BCD的面积．
23．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，甲比乙早出发1小时，如图所示的l1，l2分别表示甲乙两车相对于出发地A的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系．根据图象提供的信息
（1）l2表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系；分别求出l1，l2对应的两个一次函数表达式；
（2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少时间？
24．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省青岛市即墨区八年级第一学期期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1．有下列各数：0.456，，（﹣π）0，3.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：（﹣π）0＝1，，
故在实数0.456，，（﹣π）0，6.1415926，0.1010010001…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，中，，0.1010010001…（相邻两个8之间0的个数逐次加1）．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根以及零指数幂，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．如图．已知小华的坐标为（﹣2．﹣1）．小亮的坐标为（﹣1，0），那么小东的坐标应该是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（1，1）C．（1，2）D．（3，2）
【分析】根据“小亮的坐标为（﹣1，0）”建立平面直角坐标系，结合图形直接得到答案．
解：如图：
．
小东的坐标应该是（1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝3：5：4
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，
∴∠C＝180°×＝78°，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵b2＝a2﹣c7，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c＝3：5：7，
∴设a＝3k，b＝5k，
∴a7+c2＝（3k）7+（4k）2＝25k3，b2＝（5k）8＝25k2，
∴a2+c3＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
4．下列语句正确的是（ ）
A．4是16的算术平方根，即±＝4
B．﹣3是27的立方根
C．的立方根是2
D．1的立方根是﹣1
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．
解：A、4是16的算术平方根，即，故A错误；
B、﹣3是﹣27的立方根；
C、＝7，故C正确；
D、1的立方根是1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，解题的关键是掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根．
5．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据点的x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点的y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征即可解答．
解：点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，那么点P的坐标是（﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征是解题的关键．
6．估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】根据16＜17＜25，先估算的大小，然后确定﹣1的大小．
解：∵16＜17＜25，
∴4，
∴6．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
7．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（ ）
A．10B．2C．10或2D．7
【分析】分8是直角边和8是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
解：当8是直角边时，x＝，
当8是斜边时，x＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
8．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k＜0）判断出此函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出y1与y2的大小关系．
解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0），
∴此函数中y随x的增大而减小，
∵x1＜x5，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
解：A、由函数y＝kx的图象，由y＝，得k＜5；
B、由函数y＝kx的图象，由y＝，得k＞6，故不符合题意；
C、由函数y＝kx的图象，由y＝，故不符合题意；
D、由函数y＝kx的图象，由y＝，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题．
10．甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车图中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象．下列说法：
①m＝1，a＝40；
②甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为7小时；
④当两车相距20千米时，则乙车行驶了3或4小时，
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①观察图象找出点（3.5，120），根据“速度＝路程÷行驶时间”可以算出甲车的速度，再结合甲车中途休息半个小时即可得出a、m的值；
②根据点（3.5，120），利用“速度＝路程÷行驶时间”可以算出乙车的速度；
③根据“时间＝路程÷速度”可算出甲车距离A地260千米时行驶的时间，加上休息的0.5小时即可得出结论；
④根据点（3.5，120），结合两车速度差即可算出当两车相距20千米时，甲车行驶的时间，再根据甲车比乙车早出发2小时可得出乙车行驶时间．
对比给定的说法即可得出结论．
解：①∵甲车途中休息了0.5小时，
∴m＝3.5﹣0.6＝1，
甲车的速度为：120÷（3.6﹣0.5）＝40（千米/小时）．
a＝7×40＝40．
∴①成立；
②乙车的速度为：120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时），
∴甲车的速度是40千米/小时，乙车的速度是80千米/小时；
③当甲车距离A地260千米时，甲车所用的时间为：260÷40+0.5＝5（小时），
∴③成立；
④∵两车相遇时时间为3.5时，且甲车速度为40千米/时，
∴当两车相距20千米时，甲车行驶的时间为：3.5+20÷（80﹣40）＝4（小时）或2.5﹣20÷（80﹣40）＝3（小时），
又∵甲车比乙车早出发2小时，
∴当两车相距20千米时，则乙车行驶了1或2小时．
综上可知：正确的结论有①②③．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图形找出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察图形找出点的坐标，再根据各数量之间的关系即可求出结论．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为 1或5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度列方程求出a，再求出点P的坐标，然后根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
解：∵点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是6，
∴|a+1|＝3，
∴a+3＝3或a+1＝﹣4，
解得a＝2或a＝﹣4，
当a＝5时，点P的坐标为（1，
当a＝﹣4时，点P的坐标为（﹣4，
∴点P到y轴的距离为1或5．
故答案为：7或5．
【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了点到x轴的距离等于纵坐标的长度和点到y轴的距离等于横坐标的长度，需熟记．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝2，点A在数轴上对应的数是1，以点A为圆心，交数轴于点E，点E表示的实数是 1+或1﹣ ．
【分析】利用勾股定理求出AC，在判断出OE的值即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴点E表示的实数为1+或5﹣，
故答案为：1+或1﹣．
【点评】本题考查勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，BC＝15，则阴影部分的面积是 64 ．
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的性质得到DF＝AB，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC4＝172﹣152＝64，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE5+EF2＝DF2＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
14．已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 4 ．
【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值．
解：把（0，0）代入y＝（k+7）x+k2﹣16，
得k2﹣16＝4，
解得k＝±4，
而k+4≠6，
所以k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，掌握代入法和一次项系数不为零是解题关键．
15．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算、小比较．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（5+6）2+47＝80；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+58＝74；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（5+5）2+36＝90．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0）（0，4），点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，则点C的坐标为 （0，） ．
【分析】根据折叠可得AB＝AB'，而AB的长度根据已知可以求出，所以B'点的坐标由此求出；又由于折叠得到B'C＝BC，在直角△B'CO中根据勾股定理可以求出OC，进而求出C的坐标．
解：由折叠可知：AB＝AB'，
∵A（﹣3，0），4），
∴AB＝5＝AB'，
∴点B'的坐标为：（2，7），
设C点坐标为（0，b），
则B'C＝BC＝4﹣b，
∵B'C4＝B'O2+OC2，
∴（6﹣b）2＝27+b2，
∴b＝，
∴C（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化﹣对称，掌握折叠性质是解题的关键．
三、解答题（本题满分72分）
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）
（1）在图中画出△A1B1C1；
（2）A1点坐标为 （﹣2，﹣4） ，B1点坐标为 （﹣5，﹣2） ，C1点坐标为 （﹣4，﹣5） ；
（3）△ABC的面积为 3.5 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A1B1C3即为所求；
（2）A1点坐标为（﹣2，﹣4），B1点坐标为（﹣5，﹣8），C1点坐标为（﹣4，﹣6）；
故答案为：（﹣2，﹣4），﹣7），﹣5）；
（3）△ABC的面积为＝3×3﹣×6×2﹣×3×3＝3.6．
故答为：3.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
18．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可；
（3）化简后合并同类二次根式；
（4）去括号，合并同类二次根式．
解：（1）原式＝＝6；
（2）原式＝2﹣＝2﹣5＝﹣5；
（3）原式＝2﹣﹣＝；
（4）原式＝20﹣4+7﹣（5﹣4）＝20﹣3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
19．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义即可求出a、b的值；
（2）求出a+2b的值，再根据算术平方根的定义求出结果即可．
解：（1）∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝25，
解得a＝12，
又∵7﹣b的立方根为﹣1．
∴1﹣b＝﹣2，
解得b＝2，
答：a＝12，b＝2；
（2）当a＝12，b＝3时，
a+2b＝12+4＝16，
∴a+8b的算术平方根为＝4．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的前提．
20．青岛即墨某采摘园推出周末采摘葡萄优惠活动，已知甲采摘园采摘的葡萄的标价为15元/kg，若一次性采摘不超过2kg，若采摘超过2kg，则超过部分按标价的8折付款．
（1）求付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式；
（2）当天，旁边的乙葡萄采摘园也在进行采摘葡萄优惠活动，同样采摘的葡萄的标价也为15元/kg，小颖如果想用270元用于采摘葡萄，请问她在哪个葡萄园采摘的葡萄更多？
【分析】（1）根据题意当x＞2时，根据“付款金额y＝2kg的付款金额+超过部分付款金额”写出函数解析式即可；
（2）列方程分别求出两个葡萄采摘园采摘的葡萄重量，再比较即可．
解：（1）∵x＞2，
∴y＝2×15+（x﹣6）×15×0.8＝12x+8，
∴付款金额y（元）关于采摘葡萄的重量x（kg）（x＞2）的函数表达式为：y＝12x+6；
（2）小颖在甲葡萄采摘园采摘270元葡萄：12x+2＝270，
解得x＝22（kg），
小颖在乙葡萄采摘园采摘270元葡萄：15×0.9x＝270，
解得x＝20（kg），
∵22＞20，
∴小颖应该在甲葡萄采摘园采摘的葡萄更多．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，并列出函数的解析式．
21．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，BM，供水点M在小路AC上，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
解：（1）在Rt△MNB中，BN＝，
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝，
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，
∴AB2＝BM2+AM7，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
22．在平面直角坐标系中，P（a，b），Q（c，d），对于任意的实数，我们称点K（kc﹣ka，kd﹣kb）（k≠0）．例如：已知P（1，﹣2），Q（3，1），点P和点Q的2系点为K（4，6）（0，2），B（1，﹣3）．
（1）点A和点B的3系点的坐标为 （3，﹣15） （直接写出答案）；
（2）已知点C（2，m），若点B和点C的k系点为点D，点D在第二、四象限的角平分线上．
①求m的值；
②连接CD，若CD∥x轴，求△BCD的面积．
【分析】（1）根据k系点的定义进行求解即可；
（2）①根据题意表示出D，再结合条件可得相应的横坐标与纵坐标互为相反数，从而可求解；
②由①可求得点C（2，2），点D（k，﹣k），结合CD∥x轴，可求得k＝﹣2，从而可确定点D（﹣2，2），即可求得CD，点B到CD的距离，从而可求△BCD的面积．
解：（1）∵A（0，2），﹣7），
∴点A和点B的3系点的坐标为：（3×3﹣3×0，﹣3×3﹣3×4），
即（3，﹣15），
故答案为：（3，﹣15）；
（2）①∵点C（6，m），
∴点D的坐标为：（2k﹣k，mk+3k），mk+4k），
∵点D在第二、四象限的角平分线上，
∴﹣k＝mk+3k，
解得：m＝﹣4；
②由①可得：点C（4，﹣4），﹣k），
∵CD∥x轴，
∴﹣k＝﹣4，
解得：k＝2，
∴点D（4，﹣4），
∴CD＝4﹣2＝2，
点B到CD的距离为：﹣3﹣（﹣4）＝1，
∴S△BCD＝×1×5＝1．
【点评】本题主要考查三角形的面积，点的坐标，解答的关键是明确在直角坐标系中第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数．
23．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，甲比乙早出发1小时，如图所示的l1，l2分别表示甲乙两车相对于出发地A的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系．根据图象提供的信息
（1）l2表示 乙 （甲或乙）车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系；分别求出l1，l2对应的两个一次函数表达式；
（2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少时间？
【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）列方程即可解决问题．
解：（1）根据题意，直线l2表示乙车相对与出发地A的距离与乙车行驶时间之间的关系，
故答案为：乙；
设直线l1为y＝kx+b，把点（7，（1，
解得，
∴直线l1为y＝60x+60；
设直线l5为y＝k′x，把点（1，
∴直线l2为y＝90x；
（2）由题意，得60x+60＝90x，
解得x＝3，
所以乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时，
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用一次函数的性质，学会转化的思想，把问题转化为方程或方程组解决，属于中考常考题型．
24．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+2的图象与x轴，B，与函数y＝x+b的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求m和b的值；
（2）函数y＝x+b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当△ACE的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数y＝x+b的图象上，可以得到b的值；
（2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据△ACE的面积为12，即可得到t的值；
②先写出使得△ACE为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当∠ACE＝90°和∠CEA＝90°对应的t的值即可解答本题．
解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+2上，
∴m＝﹣（﹣3）+2＝2+6＝4，
∴点C（﹣2，4），
∵函数y＝x+b的图象过点C（﹣5，
∴4＝×（﹣2）+b，
即m的值是3，b的值是；
（2）①∵函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点A（7，0），2），
∵函数y＝x+，
∴点D的坐标为（﹣14，5），
∴AD＝16，
∵△ACE的面积为12，
∴＝12，
解得，t＝5．
即当△ACE的面积为12时，t的值是5；
②当t＝8或t＝6时，△ACE是直角三角形，
理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，
∵点A（2，3），2），4），3），
∴OA＝OB，AC＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴∠CAE＝45°，
∴∠CEA＝45°，
∴CA＝CE＝6，
∴AE＝8，
∵AE＝16﹣7t，
∴8＝16﹣2t，
解得，t＝2；
当∠CEA＝90°时，
∵AC＝4，∠CAE＝45°，
∴AE＝5，
∵AE＝16﹣2t，
∴4＝16﹣4t，
解得，t＝6；
由上可得，当t＝4或t＝5时．
【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
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