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山西省晋城市泽州县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
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这是一份山西省晋城市泽州县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
2．（3分）若线段a，b，c满足，且a＝2，则b的值为（ ）
A．4B．6C．8D．16
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
4．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝16D．（x+1）2＝16
5．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100m高空抛物到落地所需时间为（ ）
A．2sB．sC．sD．2s
6．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的面积为（ ）
A．60cm2B．58cm2C．56cm2D．50cm2
7．（3分）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝16
9．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则点B，D之间的距离减少了（ ）
A．25mmB．20mmC．15mmD．8mm
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″（ ）
A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2＝ ．
12．（3分）如图，这是太原市尖草坪区的部分示意图，若尖草坪区二中的坐标为（﹣3，2）（﹣3，﹣1），则尖草坪区教育局的坐标为 ．
13．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 秒．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，点D在BC边上，DE交AC于点F，BD＝2，BC＝6，则＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC的中点，AF，BE相交于点G，AF，CD分别与DE，DF，M，N，若AF＝18，则GH的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2+x﹣2＝0．
17．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，连接DE，AC＝4，求DE的值．
18．（9分）当a＝6时，求a+的值．如图
（1） 的解法是错误的．
（2）当a＜4时，求﹣|5﹣a|的值．
19．（9分）某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为 元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A′＝∠A．
（1）以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝5，BC＝3，求B′C′的长．
21．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）根据材料中的数据，求河的宽度AB．
（2）你还有其他测量方案吗？请画出图形，不必说明理由．
2023-2024学年山西省晋城市泽州县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）若线段a，b，c满足，且a＝2，则b的值为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，a＝2，
∴b2＝ac＝5×8＝16，
∵b＞0，
∴b＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC，则＝＝，所以AB＝AD＝10，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝AD＝，
∴AB的长为10，
故选：B．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
4．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝16D．（x+1）2＝16
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：x2﹣2x+8﹣1﹣3＝5，
所以（x﹣1）2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
5．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100m高空抛物到落地所需时间为（ ）
A．2sB．sC．sD．2s
【分析】将h＝100代入t＝进行计算即可．
【解答】解：当h＝100时，t＝（秒），
答：从100m高空抛物到落地所需时间是8秒；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是了解二次根式的化简的方法，难度不大．
6．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的面积为（ ）
A．60cm2B．58cm2C．56cm2D．50cm2
【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解．
【解答】解：设放大后的宽是xcm，
∵放大前后的两个矩形相似，
∴5：10＝3：x，
∴x＝5，
∴放大后的宽是6cm，
放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm3）．
故选：A．
【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个不相等的实数根求出k的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：原方程可化为x2﹣x﹣k＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2+4k＞3，解得k＞﹣．
∵﹣5＜﹣2＜﹣1＜﹣＜0，
∴四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝16
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则点B，D之间的距离减少了（ ）
A．25mmB．20mmC．15mmD．8mm
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，
由题意得，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝45，
∴点B，D之间的距离减少了45﹣20＝25（mm），
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″（ ）
A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）
【分析】作BC⊥y轴于点C，根据勾股定理求出AC＝3，所以点B的坐标为（4，8），所以点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），再根据平移可得点B″的坐标为（﹣9，﹣8）．
【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，
∵点B到y轴的距离为4，
∴BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴OC＝5+8＝8，
∴点B的坐标为（4，6），
∴点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），
∴点B″的坐标为（﹣8，﹣8）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2＝ ﹣ ．
【分析】把化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．
【解答】解：
2﹣
＝3﹣3
＝（2﹣3）
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
12．（3分）如图，这是太原市尖草坪区的部分示意图，若尖草坪区二中的坐标为（﹣3，2）（﹣3，﹣1），则尖草坪区教育局的坐标为 （﹣6，1） ．
【分析】根据宿舍楼和致远楼的坐标，确定出原点以及坐标轴，根据平面直角坐标系写出尖草坪区教育局的坐标即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
尖草坪区教育局的坐标为（﹣6，1）．
故答案为：（﹣7，1）．
【点评】此题考查了直角坐标系的应用，坐标确定位置，根据题意正确得到原点的位置以及坐标轴是解题的关键．
13．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 2 秒．
【分析】当h＝10米时，得10＝t2+10t，解方程即可得到答案．
【解答】解：当小球飞行的高度h为10米时，即h＝10米，
∴10＝t6+10t，
解得t1＝t2＝4，
∴当飞行2秒时，它的飞行高度为10米．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根据题意建立方程是解决问题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，点D在BC边上，DE交AC于点F，BD＝2，BC＝6，则＝ ．
【分析】首先利用旋转的性质可以得到∠E＝∠C，AE＝AC，然后可以证明△AFE∽△DFC，最后利用已知条件和相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，
∴∠E＝∠C，AE＝AC＝8，
而∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴＝，
∵BD＝2，BC＝7，
∴CD＝6﹣2＝7，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是会确定旋转角及相似三角形的对应线段．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC的中点，AF，BE相交于点G，AF，CD分别与DE，DF，M，N，若AF＝18，则GH的长为 3 ．
【分析】根据三角形的重心的概念求出GF，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△EGH∽△BGF，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是边AB，BC的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴GF＝AF＝＝3GB，
∵D，E分别是边AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△EGH∽△BGF，
∴＝＝，
∴GH＝GF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2+x﹣2＝0．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣3+
＝﹣7﹣；
（2）x2+x﹣2＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
则x﹣8＝0或x+2＝8，
∴x1＝1，x6＝﹣2．
【点评】此题考查了二次根式的加减混合运算和解一元二次方程，熟练掌握二次根式的加减法法则和一元二次方程的解法是解题的关键．
17．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，连接DE，AC＝4，求DE的值．
【分析】证明△ADC≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF＝AC＝4，CD＝DF，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，
∴∠FAD＝∠CAD，∠ADF＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴AF＝AC＝4，BD＝DF，
∴BF＝AB﹣AF＝2，
∵CD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝BF＝1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
18．（9分）当a＝6时，求a+的值．如图
（1） 小亮 的解法是错误的．
（2）当a＜4时，求﹣|5﹣a|的值．
【分析】（1）根据二次根式的化简运算的法则进行求解即可；
（2）结合二次根式的有意义的条件进行化简，再进行运算即可．
【解答】解：（1）当a＝6时，1﹣a＜4，
则小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）当a＜4时，
﹣|5﹣a|
＝
＝4﹣a﹣（2﹣a）
＝4﹣a﹣5+a
＝﹣4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（9分）某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为 34.5 元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
【分析】（1）设产品的售价为x元/件，根据商家发现当售价为35元/件时，日销售量为50件，售价每降低1元，日销售量增加2件．列式计算即可；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，根据电商每天可盈利600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设产品的售价为x元/件，
由题意得：50+（35﹣x）×＝56，
解得：x＝34.6，
故答案为：34.5；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，电商每天可盈利600元，
由题意得：（y﹣20）[50+（35﹣y）×]＝600，
整理得：y2﹣80y+1500＝0，
解得：y7＝30，y2＝50（不合题意，舍去），
答：该产品的售价每件应定为30元，电商每天可盈利600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A′＝∠A．
（1）以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝5，BC＝3，求B′C′的长．
【分析】（1）在A′B′的上方作∠A′B′M＝∠B，射线B′M交射线A′N于点C′，△A′B′C′即为所求；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）∵△A′B′C′∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴B′C′＝．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）根据材料中的数据，求河的宽度AB．
（2）你还有其他测量方案吗？请画出图形，不必说明理由．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC⊥BD，DE⊥BD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC＝1.5米，DE＝2.8米，
∴，
解得：AB＝50米，
答：河的宽度AB为50米；
（2）如图，过河对岸点B作BA⊥AC，作CE⊥AC，
测量CE，CD，通过相似可得河宽AB的长度．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．周日的一天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：
如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：
（1）小康站在河岸BD的点B处立了一根1.5米长的标杆BC（BC⊥BD）；
（2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根1.8米长的标杆DE（DE⊥BD）；
（3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，河岸BD的长为10米．
周日的一天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：
如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：
（1）小康站在河岸BD的点B处立了一根1.5米长的标杆BC（BC⊥BD）；
（2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根1.8米长的标杆DE（DE⊥BD）；
（3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，河岸BD的长为10米．
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
2．（3分）若线段a，b，c满足，且a＝2，则b的值为（ ）
A．4B．6C．8D．16
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
4．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝16D．（x+1）2＝16
5．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100m高空抛物到落地所需时间为（ ）
A．2sB．sC．sD．2s
6．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的面积为（ ）
A．60cm2B．58cm2C．56cm2D．50cm2
7．（3分）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝16
9．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则点B，D之间的距离减少了（ ）
A．25mmB．20mmC．15mmD．8mm
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″（ ）
A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2＝ ．
12．（3分）如图，这是太原市尖草坪区的部分示意图，若尖草坪区二中的坐标为（﹣3，2）（﹣3，﹣1），则尖草坪区教育局的坐标为 ．
13．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 秒．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，点D在BC边上，DE交AC于点F，BD＝2，BC＝6，则＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC的中点，AF，BE相交于点G，AF，CD分别与DE，DF，M，N，若AF＝18，则GH的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2+x﹣2＝0．
17．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，连接DE，AC＝4，求DE的值．
18．（9分）当a＝6时，求a+的值．如图
（1） 的解法是错误的．
（2）当a＜4时，求﹣|5﹣a|的值．
19．（9分）某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为 元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A′＝∠A．
（1）以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝5，BC＝3，求B′C′的长．
21．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）根据材料中的数据，求河的宽度AB．
（2）你还有其他测量方案吗？请画出图形，不必说明理由．
2023-2024学年山西省晋城市泽州县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）若线段a，b，c满足，且a＝2，则b的值为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，a＝2，
∴b2＝ac＝5×8＝16，
∵b＞0，
∴b＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则AB的长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】由DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC，则＝＝，所以AB＝AD＝10，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AB＝AD＝，
∴AB的长为10，
故选：B．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
4．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝16D．（x+1）2＝16
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：x2﹣2x+8﹣1﹣3＝5，
所以（x﹣1）2＝5，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
5．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100m高空抛物到落地所需时间为（ ）
A．2sB．sC．sD．2s
【分析】将h＝100代入t＝进行计算即可．
【解答】解：当h＝100时，t＝（秒），
答：从100m高空抛物到落地所需时间是8秒；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是了解二次根式的化简的方法，难度不大．
6．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的面积为（ ）
A．60cm2B．58cm2C．56cm2D．50cm2
【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解．
【解答】解：设放大后的宽是xcm，
∵放大前后的两个矩形相似，
∴5：10＝3：x，
∴x＝5，
∴放大后的宽是6cm，
放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm3）．
故选：A．
【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个不相等的实数根求出k的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：原方程可化为x2﹣x﹣k＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2+4k＞3，解得k＞﹣．
∵﹣5＜﹣2＜﹣1＜﹣＜0，
∴四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）
A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝16
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则点B，D之间的距离减少了（ ）
A．25mmB．20mmC．15mmD．8mm
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，
由题意得，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝45，
∴点B，D之间的距离减少了45﹣20＝25（mm），
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″（ ）
A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）
【分析】作BC⊥y轴于点C，根据勾股定理求出AC＝3，所以点B的坐标为（4，8），所以点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），再根据平移可得点B″的坐标为（﹣9，﹣8）．
【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，
∵点B到y轴的距离为4，
∴BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴OC＝5+8＝8，
∴点B的坐标为（4，6），
∴点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），
∴点B″的坐标为（﹣8，﹣8）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2＝ ﹣ ．
【分析】把化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．
【解答】解：
2﹣
＝3﹣3
＝（2﹣3）
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
12．（3分）如图，这是太原市尖草坪区的部分示意图，若尖草坪区二中的坐标为（﹣3，2）（﹣3，﹣1），则尖草坪区教育局的坐标为 （﹣6，1） ．
【分析】根据宿舍楼和致远楼的坐标，确定出原点以及坐标轴，根据平面直角坐标系写出尖草坪区教育局的坐标即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
尖草坪区教育局的坐标为（﹣6，1）．
故答案为：（﹣7，1）．
【点评】此题考查了直角坐标系的应用，坐标确定位置，根据题意正确得到原点的位置以及坐标轴是解题的关键．
13．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行高度h（单位：米）（单位：秒）之间的关系式是h＝﹣t2+10t，则当小球飞行的高度h为10米时，小球飞行的时间t为 2 秒．
【分析】当h＝10米时，得10＝t2+10t，解方程即可得到答案．
【解答】解：当小球飞行的高度h为10米时，即h＝10米，
∴10＝t6+10t，
解得t1＝t2＝4，
∴当飞行2秒时，它的飞行高度为10米．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根据题意建立方程是解决问题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＜AC，点D在BC边上，DE交AC于点F，BD＝2，BC＝6，则＝ ．
【分析】首先利用旋转的性质可以得到∠E＝∠C，AE＝AC，然后可以证明△AFE∽△DFC，最后利用已知条件和相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，
∴∠E＝∠C，AE＝AC＝8，
而∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴＝，
∵BD＝2，BC＝7，
∴CD＝6﹣2＝7，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是会确定旋转角及相似三角形的对应线段．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC的中点，AF，BE相交于点G，AF，CD分别与DE，DF，M，N，若AF＝18，则GH的长为 3 ．
【分析】根据三角形的重心的概念求出GF，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△EGH∽△BGF，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是边AB，BC的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴GF＝AF＝＝3GB，
∵D，E分别是边AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△EGH∽△BGF，
∴＝＝，
∴GH＝GF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：x2+x﹣2＝0．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣3+
＝﹣7﹣；
（2）x2+x﹣2＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
则x﹣8＝0或x+2＝8，
∴x1＝1，x6＝﹣2．
【点评】此题考查了二次根式的加减混合运算和解一元二次方程，熟练掌握二次根式的加减法法则和一元二次方程的解法是解题的关键．
17．（7分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，连接DE，AC＝4，求DE的值．
【分析】证明△ADC≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF＝AC＝4，CD＝DF，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，
∴∠FAD＝∠CAD，∠ADF＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴AF＝AC＝4，BD＝DF，
∴BF＝AB﹣AF＝2，
∵CD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝BF＝1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
18．（9分）当a＝6时，求a+的值．如图
（1） 小亮 的解法是错误的．
（2）当a＜4时，求﹣|5﹣a|的值．
【分析】（1）根据二次根式的化简运算的法则进行求解即可；
（2）结合二次根式的有意义的条件进行化简，再进行运算即可．
【解答】解：（1）当a＝6时，1﹣a＜4，
则小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）当a＜4时，
﹣|5﹣a|
＝
＝4﹣a﹣（2﹣a）
＝4﹣a﹣5+a
＝﹣4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（9分）某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当日销售量为56件时，产品的售价为 34.5 元/件．
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？
【分析】（1）设产品的售价为x元/件，根据商家发现当售价为35元/件时，日销售量为50件，售价每降低1元，日销售量增加2件．列式计算即可；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，根据电商每天可盈利600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设产品的售价为x元/件，
由题意得：50+（35﹣x）×＝56，
解得：x＝34.6，
故答案为：34.5；
（2）设该产品的售价每件应定为y元，电商每天可盈利600元，
由题意得：（y﹣20）[50+（35﹣y）×]＝600，
整理得：y2﹣80y+1500＝0，
解得：y7＝30，y2＝50（不合题意，舍去），
答：该产品的售价每件应定为30元，电商每天可盈利600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A′＝∠A．
（1）以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝5，BC＝3，求B′C′的长．
【分析】（1）在A′B′的上方作∠A′B′M＝∠B，射线B′M交射线A′N于点C′，△A′B′C′即为所求；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）∵△A′B′C′∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴B′C′＝．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：
（1）根据材料中的数据，求河的宽度AB．
（2）你还有其他测量方案吗？请画出图形，不必说明理由．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC⊥BD，DE⊥BD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC＝1.5米，DE＝2.8米，
∴，
解得：AB＝50米，
答：河的宽度AB为50米；
（2）如图，过河对岸点B作BA⊥AC，作CE⊥AC，
测量CE，CD，通过相似可得河宽AB的长度．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．周日的一天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：
如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：
（1）小康站在河岸BD的点B处立了一根1.5米长的标杆BC（BC⊥BD）；
（2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根1.8米长的标杆DE（DE⊥BD）；
（3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，河岸BD的长为10米．
周日的一天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：
如图，为了测量河的宽度AB，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案：
（1）小康站在河岸BD的点B处立了一根1.5米长的标杆BC（BC⊥BD）；
（2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根1.8米长的标杆DE（DE⊥BD）；
（3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，河岸BD的长为10米．
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