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陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第三次校际联考文科数学试题及答案
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这是一份陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第三次校际联考文科数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了若，则函数的图象可以是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足，则z的虚部为
A．B．C．D．
2.命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
3.已知全集，集合，，则
A．B．C．D．
4.双曲线C：的焦点坐标为
A．B．C．D．
5.若，则函数的图象可以是
A．B．C．D．
6.已知等差数列，其前n项和满足，则
A．4B．C．D．3
7.已知等比数列为递减数列，若，，则
A．B．C．D．6
8.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是
图一图二
（第9题图）
A．甲得分的极差是18B．乙得分的中位数是16.5
C．甲得分更稳定D．甲的单场平均得分比乙低
10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的
（第10题图）
A．9B．7C．5D．3
11.在正三棱柱中，，E为棱AC的中点，则异面直线与BC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
12.已知实数x，y满足，则的最小值是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则 .
14.在△ABC中，，，则 .
15.已知椭圆C：的一个焦点为F，若C上存在点P，使△POF（O为原点）是等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
16.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：
（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.
附：，其中.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，BC⊥CD，，点O，E分别为BD，AD的中点.
（第19题图）
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）求三棱锥A-EOC的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的方程为，其顶点到焦点的距离为2.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点，设直线l：与抛物线交于A、B两点，且直线PA、PB的斜率之和为0，证明：直线l必过定点，并求出该定点的坐标.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P的直角坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，求a的取值范围.
2024届高三第三次校际联考
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.A12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.14.15.16.2
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：
（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，
又，∴，即，
∵，
∴.
（Ⅱ）∵，，，
∴由余弦定理可得，即，
解得，即，，
∴.
18.解：
（Ⅰ）∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.
（Ⅱ）在取出的5件产品中，3件一等品记为a，b，c，2件二等品记为D，E，
从这5件产品中任选2件的所有情况为ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，
其中2件全是一等品的情况为ab，ac，bc，共3种，
∴选出的2件全是一等品的概率为.
19.解：
（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，点O为BD中点，
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴平面AOC.
又∵平面AOC，
∴.
（Ⅱ）由题意知，，
∴.
由（Ⅰ）知平面AOC，
又点E为AD中点，
∴点E到平面AOC的距离为.
∴.
20.解：
（Ⅰ）由，得，
∵在处的切线与x轴平行，
∴，解得.
（Ⅱ）函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数无极值点；
当时，令，可得，
由，可得；由，可得.
此时，函数的减区间为，增区间为.
∴函数在处取得极小值.
综上，
当时，函数无极值点；
当时，函数的极小值点为，无极大值点.
21.解：
（Ⅰ）∵抛物线的顶点到焦点的距离为2，
∴，解得.
∴该抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：设点、，
把直线代入，消去y，整理得，
则且，，
直线PA的斜率为，
同理得直线PB的斜率，
则，
即，显然，故，
∴直线l的方程为，故直线l必过定点.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：
（Ⅰ）由直线l的参数为（t为参数），
得直线l的普通方程为.
将圆C的极坐标方程：两边同乘得，
化为直角坐标方程为.
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得，即，
设，是A和B对应的参数，
则，，
又直线l过点，
∴.
23.解：
（Ⅰ）当时，，
当时，不等式化为，
∴，此时；
当时，不等式化为，恒成立，此时；
当时，不等式化为，
∴，此时.
综上所述，不等式的解集为.
（Ⅱ），
若，则，
不等式两边平方可得，解得，
又，
∴，
即a的取值范围是.
一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足，则z的虚部为
A．B．C．D．
2.命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
3.已知全集，集合，，则
A．B．C．D．
4.双曲线C：的焦点坐标为
A．B．C．D．
5.若，则函数的图象可以是
A．B．C．D．
6.已知等差数列，其前n项和满足，则
A．4B．C．D．3
7.已知等比数列为递减数列，若，，则
A．B．C．D．6
8.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是
图一图二
（第9题图）
A．甲得分的极差是18B．乙得分的中位数是16.5
C．甲得分更稳定D．甲的单场平均得分比乙低
10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的
（第10题图）
A．9B．7C．5D．3
11.在正三棱柱中，，E为棱AC的中点，则异面直线与BC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
12.已知实数x，y满足，则的最小值是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则 .
14.在△ABC中，，，则 .
15.已知椭圆C：的一个焦点为F，若C上存在点P，使△POF（O为原点）是等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
16.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：
（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.
附：，其中.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，BC⊥CD，，点O，E分别为BD，AD的中点.
（第19题图）
（Ⅰ）证明：AC⊥BD；
（Ⅱ）求三棱锥A-EOC的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的方程为，其顶点到焦点的距离为2.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点，设直线l：与抛物线交于A、B两点，且直线PA、PB的斜率之和为0，证明：直线l必过定点，并求出该定点的坐标.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P的直角坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，求a的取值范围.
2024届高三第三次校际联考
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.A12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.14.15.16.2
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：
（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，
又，∴，即，
∵，
∴.
（Ⅱ）∵，，，
∴由余弦定理可得，即，
解得，即，，
∴.
18.解：
（Ⅰ）∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.
（Ⅱ）在取出的5件产品中，3件一等品记为a，b，c，2件二等品记为D，E，
从这5件产品中任选2件的所有情况为ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，
其中2件全是一等品的情况为ab，ac，bc，共3种，
∴选出的2件全是一等品的概率为.
19.解：
（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，点O为BD中点，
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴平面AOC.
又∵平面AOC，
∴.
（Ⅱ）由题意知，，
∴.
由（Ⅰ）知平面AOC，
又点E为AD中点，
∴点E到平面AOC的距离为.
∴.
20.解：
（Ⅰ）由，得，
∵在处的切线与x轴平行，
∴，解得.
（Ⅱ）函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数无极值点；
当时，令，可得，
由，可得；由，可得.
此时，函数的减区间为，增区间为.
∴函数在处取得极小值.
综上，
当时，函数无极值点；
当时，函数的极小值点为，无极大值点.
21.解：
（Ⅰ）∵抛物线的顶点到焦点的距离为2，
∴，解得.
∴该抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：设点、，
把直线代入，消去y，整理得，
则且，，
直线PA的斜率为，
同理得直线PB的斜率，
则，
即，显然，故，
∴直线l的方程为，故直线l必过定点.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：
（Ⅰ）由直线l的参数为（t为参数），
得直线l的普通方程为.
将圆C的极坐标方程：两边同乘得，
化为直角坐标方程为.
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得，即，
设，是A和B对应的参数，
则，，
又直线l过点，
∴.
23.解：
（Ⅰ）当时，，
当时，不等式化为，
∴，此时；
当时，不等式化为，恒成立，此时；
当时，不等式化为，
∴，此时.
综上所述，不等式的解集为.
（Ⅱ），
若，则，
不等式两边平方可得，解得，
又，
∴，
即a的取值范围是.
一等品
二等品
合计
设备改造前
120
80
200
设备改造后
150
50
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
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陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第四次校际联考文科数学试题： 这是一份陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第四次校际联考文科数学试题，共2页。
