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中考数学几何专项练习:动点运动路径之瓜豆原理
展开1.如图,等边三角形ABC中,AB=4,高线AH=2,D是线段AH上一动点,以BD为边向下作等边三角形BDE,当点D从点A运动到点H的过程中,点E所经过的路径为线段CM,则线段CM的长为,当点D运动到点H,此时线段BE的长为.
【答案】
【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE,推出AD=EC,可得结论,再由勾股定理求解 当重合时, 从而可得答案.
【详解】解:如图,连接EC.
∵△ABC,△BDE都是等边三角形,
∴BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABD=∠CBE,
在△ABD和△CBE中,
,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=EC,
∵点D从点A运动到点H,
∴点E的运动路径的长为,
当重合,而(即)为等边三角形,
故答案为:.
【点睛】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,动点的轨迹等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
2.如图,正方形的边长为4,为上一点,且,为边上的一个动点,连接,以为边向右侧作等边,连接,则的最小值为.
【答案】
【分析】由题意分析可知,点为主动点,为从动点,所以以点为旋转中心构造全等关系,得到点的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值.
【详解】由题意可知,点是主动点,点是从动点,点在线段上运动,点也一定在直线轨迹上运动
将绕点旋转,使与重合,得到,
从而可知为等边三角形,点在垂直于的直线上,
作,则即为的最小值,
作,可知四边形为矩形,
则.
故答案为.
【点睛】本题考查了线段极值问题,分清主动点和从动点,通过旋转构造全等,从而判断出点的运动轨迹,是本题的关键.
3.如图,等边中,,O是上一点,且,点M为边上一动点,连接,将线段绕点O按逆时针方向旋转至,连接,则周长的最小值为.
【答案】/
【分析】过点N作于点D,过点O作于点H,则,证明,可得,从而得到点N的运动轨迹是直线,且该直线与直线平行,在的左侧,与的距离是,作点C关于该直线的对称点E,连接交该直线于N, 即当点B,N,E三点共线时,的周长最小,连接交该直线于G,则,,求出,即可求解.
【详解】解:如图,过点N作于点D,过点O作于点H,则,
∵为等边三角形,
∴,,
∴,
根据题意得:,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴点N的运动轨迹是直线,且该直线与直线平行,在的左侧,与的距离是,
作点C关于该直线的对称点E,连接交该直线于N,
即当点B,N,E三点共线时,的周长最小,连接交该直线于G,则,,
∴,
∴△ACN的周长的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查旋转变换,全等三角形的判定和性质,轴对称,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
4.如图,正方形的边长为,点是边上的一动点,连接,将绕点顺时针方旋转后得到,连接,则点在整个运动过程中,线段所扫过的图形面积为.
【答案】
【分析】根据题意画出点在上移动的过程,线段所扫过的面积就是的面积,根据正方形的性质,等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质,得出线段所扫过的图形面积,再根据等边三角形,等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可.
【详解】解:如图,当点在点时,相应的点落在点,当点移动到点时,相应的点在点,扫过的面积就是的面积,
由题意可知,、都是等边三角形,
,,
四边形是正方形,是等边三角形,
,,
,
,
,,
,
,,
≌,
,,
,
即是等腰直角三角形,
线段所扫过的图形面积
,
故答案为:.
【点睛】本题考查正方形、等边三角形,等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质,掌握正方形、等边三角形,等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提.
5.如图,点D是等边边上的一动点(不与端点重合),点D绕点C引顺时针方向旋转得点E,所得的边与交于点F,则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由旋转的性质得为等边三角形,由得到,即,从而得到当最小时,比值最小,再由“垂线段最短”得到当时,值最小,作出对应图形,利用“是含角的直角三角形”求出,从而得解.
【详解】解:由旋转的性质得:,,
为等边三角形,
,
∵,
,即
为定值,
当最小时,比值最小.
根据“垂线段最短”可知:当时,值最小,
过点C作于D,并补全图形如下:
是等边三角形,,
∴
设,则
∴,
∴此时,
即的最小值为.
故答案为:.
【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质,等边三角形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,含角的直角三角形的性质,垂线段最短,理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将转化为是解题的关键.
6.如图,在中,,,,点D是边上的一动点,连接,将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段,连接,则线段长度的最小值是.
【答案】/
【分析】过点A作于点F,在上取点N,使,连接,过点N作点于点M,证明,求出,得出当最小时,最小,根据垂线段最短,得出当点D与点M重合时,最小,则最小,求出最小结果即可.
【详解】解:过点A作于点F,在上取点N,使,连接,过点N作点于点M,如图所示:
根据旋转可知,,,
∵,
∴,
即,
∵,,
∴,
∴,
∴当最小时,最小,
∵垂线段最短,
∴当点D与点M重合时,最小,则最小,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得:(负值舍去),
∴的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判断和性质,直角三角形的性质,垂线段最短,解题的关键是作出辅助线,构造全等三角形,证明.
7.如图,点A的坐标为,点B是x轴正半轴上的一点,将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段.若点C的坐标为,则k的值为 .
【答案】
【分析】连接,过A点作轴于F,C作轴于点D,于点E,则四边形是矩形,根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段,可得是等边三角形,,由点A的坐标为,,有,而,,根据,可得,解方程可得答案.
【详解】解:连接,过A点作轴于F,C作轴于点D,于点E,则四边形是矩形,如图:
∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,
∵点A的坐标为,,,
∴,,,
∴,
∴,
在中,,
在中,,
∵,
∴,
设,则,
化简变形得:,
解得(舍去)或,
∴或(不符合题意,舍去),
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换,解题的关键是熟练应用勾股定理,用含k的代数式表示相关线段的长度.
8.如图,在边长为的等边中,直线,是上的一个动点连接,将线段绕点逆时针方向旋转得到,连接,则点运动过程中,的最小值是.
【答案】
【分析】取线段的中点,连接,根据等边三角形的性质可得出以及,由旋转的性质可得出,由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌,进而即可得出,再根据点为的中点,即可得出的最小值,此题得解.
【详解】解:取线段的中点,连接,如图所示.
为等边三角形,,且为的对称轴,
,,
,
.
≌,
.
当时,最小,
点为的中点,
此时.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是通过全等三角形的性质找出.
9.如图,在中,,点在边上,,,点是边所在直线上的一动点,连接,将绕点顺时针方向旋转得到,连接,则的最小值为.
【答案】
【分析】当E与点C重合时,点F与等边三角形CDG的点G重合,当点F开始运动时,△ECD≌△FGD,故点F在线段GF上运动,根据垂线段最短原理,当BF⊥GF时,BF有最小值,根据直角三角形的性质计算即可.
【详解】当E与点C重合时,点F与等边三角形CDG的点G重合,
∵绕点顺时针方向旋转得到,
∴△DEF是等边三角形,
∴∠GDC=∠FDE=60°,ED=FD,
∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE,
∴∠EDC=∠FDG,
∵△DEF是等边三角形,
∴CD=GD,
∴△ECD≌△FGD,
∴EC=GF,∠ECD=∠FGD=90°,
∴点F在线段GF上运动,根据垂线段最短原理,当BF⊥GF时,BF有最小值,如图,当旋转到BF∥DG时,BF⊥GF,垂足为F,过点D作DH⊥BF,垂足为H,
∵∠FGD=90°,
∴四边形FGDH是矩形,
∴∠GDH=90°,GD=FH=2,
∵∠GDC=60°,
∴∠BDH=30°,
∵BD=BC-CD=5-2=3,
∴BH=,
∴BF=FH+BH=2+=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,垂线段最短,直角三角形的性质,熟练掌握等边三角形的判定,灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键.
10.如图,正方形的边长为4,E为上一点,且,F为边上的一个动点,连接,将烧点E顺时什旋转60°得到,连接,则的最小值为.
【答案】
【分析】由题意分析可知,点F为主动点,G为从动点,所以以点E为旋转中心构造全等关系,得到点G的运动轨迹,之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.
【详解】解:由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段上运动,点G也一定在直线轨迹上运动,
将△EFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合,得到△EBH为等边三角形,△EBF≌△EHG,
∴∠EHG=∠ABC=90°,HE=BE=1,∠BEH=60°,
∴点G在垂直于HE的直线HN上.
作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值,作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形,
∴∠CEP=180°-60°-90°=30°,
∴CP=CE=×(4-1)=,
则CM=MP+CP=,
即的最小值为.
故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质,线段最值问题,全等三角形的性质,正方形的性质,矩形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质,以及垂线段最短等知识,分清主动点和从动点,通过旋转构造全等,从而判断出点G的运动轨迹,是本题的关键,之后运用垂线段最短,构造图形计算,是极值问题中比较典型的类型.
11.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是AB上异于A,B的一动点,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE,则旋转过程中△BDE周长的最小值
【答案】2+4.
【分析】由旋转的性质得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论.
【详解】∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形,
由旋转的性质得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
∵△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,
此时,CD=2,
∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4,
故答案为2+4.
【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
12.如图,在中,,,直线,E是AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C按逆时针方向旋转得到FC,连接DF,则点E运动过程中,DF的最小值是.
【答案】2
【分析】根据题意取线段AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG,由旋转的性质可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG,进而即可得出DF=GE,再根据点G为AC的中点,即可得出EG的最小值.
【详解】取线段AC的中点G,连接EG,如图所示.
,,
为等边三角形,且AD为的对称轴,
,,
,
.
在和中,
,
≌,
.
当时,EG最小,
点G为AC的中点,
此时.
故答案为2.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是通过全等三角形的性质找出本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据全等三角形的性质找出相等的边是关键.
13.如图,等边△AOB的边长为4,点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动,连接CP、CA.在点P从O向A运动的过程中,当△PCA为直角三角形时t的值为.
【答案】2或
【详解】如图(1)过点P作PD⊥OB于点D,过C作CE⊥OA于E,∴∠PDO=∠PEC=90°,
∵∠O=60°,∴∠OPD=30°,∴OD=t,∴BD=4-t,PD=t,
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,
∴∠BPC=60°,BP=2PC,∵∠OPD=30°,
∴∠BPD+∠CPE=90°,∴∠DBP=∠CPE,
∴△PCE∽△BPD,
∴,
∴ ,
∴CE=t,PE=2-t,OE=2+t,
如图(2)当∠PCA=90度时,作CF⊥PA,∴△PCF∽△ACF,∴△PCF∽△ACF,∴,∴CF2=PF•AF,
∵PF=2-t,AF=4-OF=2-t, CF=t,
∴(t)2=(2-t)(=2-t),
∴t=2,这时P是OA的中点;
如图(3)当∠CAP=90°时,此时OA=OE,
∴2+t=4,∴t=,
故答案为2或.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理的运用,等边三角形的性质,直角三角形的性质,旋转的性质等,正确地添加辅助线,求出OE的长是解题的关键.
二、解答题
14.在平面直角坐标系中,A(a,0)、B(b,0),且a,b满足,C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点;
(1)如图1,若C(0,4),求△ABC的面积;
(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,且∠CBA=∠CDE,求D点的坐标;
(3)如图2,若∠CBA=60°,以CD为边,在CD的右侧作等边△CDE,连接OE,当OE最短时,求A,E两点之间的距离.
【答案】(1)△ABC的面积为12;(2)D点的坐标为(-2,0);(3)A,E两点之间的距离为
【分析】(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a,b,然后确定A、B两点坐标,从而利用三角形面积公式求解即可;
(2)根据题意判断出,从而得到,然后利用勾股定理求出,及可求出结论;
(3)首先根据“双等边”模型推出,得到,进一步推出,从而确定随着D点的运动,点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动,再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度,确定OE最短时,各点的位置关系,最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.
【详解】解:(1)∵,
∴,
由非负性可知,,解得:,
∴,,,
∵,
∴,
∴;
(2)由(1)知,,
∴,
∵,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∵,,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)由(2)可知CB=CA,
∵∠CBA=60°,
∴△ABC为等边三角形,∠BCA=60°,∠DBC=120°,
∵△CDE为等边三角形,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE,∠BCA=∠BCE+∠ECA,
∴∠DCB=∠ECA,
在△DCB和△ECA中,
∴,
∴,
∵,
∴,
即:随着D点的运动,点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动,
∵要使得OE最短,
∴如图所示,当OE⊥PQ时,满足OE最短,此时∠OEA=90°,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴当OE最短时,A,E两点之间的距离为.
【点睛】本题考查坐标与图形,全等三角形的判定与性质,等腰三角形和等边三角形的判定与性质等,理解平面直角坐标系中点坐标的特征,掌握等腰或等边三角形的性质,熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键.
15.在▱ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=6.点E'在BC边上且=4,将B绕点B逆时针旋转a°得到BE(0°<a<180°).
(1)如图1,当∠EBA=90°时,求S△BCE;
(2)如图2,在旋转过程中,连接CE,取CE中点F,作射线BF交直线AD于点G.
①求线段BF的取值范围;
②当∠EBF=120°时,求证:BC﹣DG=2BF;
(3)如图3.当∠EBA=90°时,点S为线段BE上一动点,过点E作EM⊥射线AS于点M,N为AM中点,直接写出BN的最大值与最小值.
【答案】(1)S△BCE=6;
(2)①1<BF<5;②证明见解答;
(3)BN的最小值为-,BN的最大值为2.
【分析】(1)如图1,过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F,根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°,再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2,代入面积公式算出结果;
(2)①如图,在线段FG上截取FK=BF,连接EK、CK,可证得四边形BCKE是平行四边形,得出:BE=CK==4,BC=6,再运用三角形三边关系即可求得答案;
②可证△EKB≌△BGA(AAS),得出BK=AG,由AG=AD-DG,即可推出结论;
(3)连接AE,取AE的中点P,PA的中点Q,连接BP、NP、NQ、BQ,可证△ABE是等腰直角三角形,得出:AE=AB=4,再由点P是AE的中点,可得:BP⊥AE,且BP=AP=EP=2,利用勾股定理得BQ=,当B、Q、N三点共线时,BN的最小值=BQ-NQ=-,当点S与点E重合时,EM=0,PN=0,此时,BN的最大值=BP=2.
【详解】(1)解:如图1,过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H,
∴∠EHC=90°,
∵∠ABC=60°,∠EBA=90°,
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°,
∵点在BC边上且=4,将B绕点B逆时针旋转α°得到BE,
∴BE=B=4,
∴EH=BE=×4=2,
又∵BC=6,
∴S△BCE=BC•EH=×6×2=6;
(2)解:①如图,在线段FG上截取FK=BF,连接EK、CK,
∵EF=FC,BF=FK,
∴四边形BCKE是平行四边形,
∴BE=CK==4,BC=6,
在△BCK中,BC-CK<BK<BC+CK,
∴6-4<BK<6+4,
即2<2BF<10,
∴1<BF<5;
②证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且∠ABC=60°,AB=4,
∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°,ADBC,AD=BC,BE=AB,
∵∠EBF=120°,即∠EBK=120°,
∴∠EBK=∠A,
∵EKBC,
∴EKAD,
∴∠EKB=∠BGA,
在△EKB和△BGA中,,
∴△EKB≌△BGA(AAS),
∴BK=AG,
由①知:BK=2BF,
又∵AG=AD-DG,
∴2BF=BC-DG;
(3)解:连接AE,取AE的中点P,PA的中点Q,连接BP、NP、NQ、BQ,
∵∠ABE=90°,AB=BE=4,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=AB=4,
∵点P是AE的中点,
∴BP⊥AE,且BP=AP=EP=2,
∵N是AM的中点,P是AE的中点,
∴PN是△AEM的中位线,
∴PNEM,
∴∠ANP=∠AME=90°,
∵点Q是AP的中点,
∴QN=PQ=AP=,
在Rt△BPQ中,BQ=,
当B、Q、N三点共线时,BN的最小值=BQ-NQ=-,
当点S与点E重合时,EM=0,PN=0,
此时,BN的最大值=BP=2.
【点睛】本题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,平行四边形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理及勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
16.如图,线段AB=10cm,C是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE,连接AE,交CD于M,连接BD,交CE于N,AE、BD交于H,连接CH.
(1)求sin∠AHC;
(2)连接DE,设AD=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式;
(3)把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角,在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小,即HC+HD+HE的值最小,HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC=2,旋转过程中某一时刻2AH=3DH,此刻△ADH内有一点P,求PA+PD+PH的最小值.
【答案】(1);
(2)y=(0<x<10);
(3)2.
【分析】(1)过点C作CT⊥AE于点T,CR⊥BD于点R,先证△ACE≌△DCB得∠CAM=∠HDM,由直角三角函数可得,从而得CH平分∠AHB,进而求得∠AHC=∠BHC=60°即可求解;
(2)如图2中,如图,过点D作DP⊥CE于点P,先由三角函数求得CP=CD=x,DP=x,又由AB=10cm,得CE=CB=(10﹣x)cm,进而得PE=|10﹣x﹣x|=|10﹣x|,最后由勾股定理即可求得y与x之间的函数关系式;
(3)如图3中,以AD为边向外作等边△ADW,连接WH,由题意WH是PA+PD+PH.过点D作DS⊥AH于H,过点W作WG⊥AD于点G,过点H作HK⊥AD于K,过点W作WQ⊥HK于点Q.假设AH=3k,DH=2k,由勾股定理得AH=6,DH=4,DS=2,进而利用面积公式求得HK=,利用勾股定理得DK=,于是可得WQ=KG=,GW=KW=,从而有HQ=,利用勾股定理即可求得WH的长即PA+PD+PH的最小值.
【详解】(1)解:过点C作CT⊥AE于点T,CR⊥BD于点R.
∵△ADC,△ECB都是等边三角形,
∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△DCB中,
,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴∠CAM=∠HDM,
∵CT⊥AE,CR⊥BD,
∴,
∴CH平分∠AHB,
∵∠AMC=∠DMH,
∴∠AHM=∠ACM=60°,
∴∠AHC=∠BHC=60°,
∴sin∠AHC=;
(2)解:如图2中,如图,过点D作DP⊥CE于点P.
∵AC=CD=x(cm),∠DCE=60°,
∴CP=CD=x,DP=x,
∵AB=10cm,
∴BC=AB﹣AC=(10﹣x)cm,
∴CE=CB=(10﹣x)cm,
∴PE=|10﹣x﹣x|=|10﹣x|,
∴y=DE===(0<x<10);
(3)解:如图3中,以AD为边向外作等边△ADW,连接WH,由题意WH是PA+PD+PH.过点D作DS⊥AH于H,过点W作WG⊥AD于点G,过点H作HK⊥AD于K,过点W作WQ⊥HK于点Q.
∵2AH=3DH,
∴可以假设AH=3k,DH=2k,
∵∠DHS=60°,DS⊥AH,
∴SH=DH=k,DS=k,AM=2k,
∵AD2=AS2+DS2,
∴(2)2=(2k)2+(k)2,
∴k=2(负根已经舍弃),
∴AH=6,DH=4,DS=2,
∵•AH•DS=•AD•HK,
∴HK=,DK===,
∵AG=DG=,四边形WQKG是矩形,
∴WQ=KG=﹣=,GW=KW=,
∴HQ=KH+KQ=,
∴WH===2.
∴PA+PD+PH的最小值为2.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题是解本题的关键.
17.在学习了图形的旋转知识后,某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究.
(1)问题梳理,问题呈现:如图1,点在等边的边上,过点画的平行线,在上取,连接,则在图1中会产生一对旋转图形.请结合问题中的条件,证明:;
(2)初步尝试:如图2,在中,,点在边上,且,将沿某条直线翻折,使得与重合,点与边上点重合,再将沿所在直线翻折,得到,则在图2中会产生一对旋转图形.若,,连接,求的面积;
(3)深入探究:如图3,在中,,,,点是边上的任意一点,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转75°,得到线段,连接,求线段长度的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)9;(3)3−3
【分析】(1)根据△ABC是等边三角形,可得AB=AC,∠BAC=∠B=60°,进而利用SAS可证明△ABD≌△ACE.
(2)如图2,过点E作EH⊥AD于H,由翻折可得△ACE≌△ABD≌△ACF,可得AE=AD=6,EH=3,再运用S△ADE=×AD×EH,即可求得答案.
(3)如图3中,在AB上截取AN=AC,连接DN,作NH⊥BC于H,作AM⊥BC于M.利用SAS证明△EAC≌△DAN,推出当DN的值最小时,EC的值最小,求出HN的值即可解决问题.
【详解】(1)如图1,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠B=60°,
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAC=60°,
∴∠B=∠ACE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)如图2,过点E作EH⊥AD于H,
∵由翻折可得:△ACF≌△ABD,△ACE≌△ACF,
∴△ACE≌△ABD≌△ACF,
∴AE=AD=6,∠CAE=∠BAD,
∴∠DAE=∠BAC=30°,
∵EH⊥AD,
∴EH=AE=3,
∴S△ADE=×AD×EH=×6×3=9;
(3)如图3中,在AB上截取AN=AC,连接DN,作NH⊥BC于H,作AM⊥BC于M.
∵∠CAB=∠DAE,
∴∠EAC=∠DAN,
∵AE=AD,AC=AN,
∴△EAC≌△DAN(SAS),
∴CE=DN,
∴当DN的值最小时,EC的值最小,
在Rt△ACM中,
∵∠ACM=60°,AC=6,
∴,
∴,
∴AM==3,
∵∠MAB=∠BAC−∠CAM=75°−30°=45°,
∴为等腰直角三角形,
∴AB=3,
∴NB=AB−AN=3−6,
在Rt△NHB中,∵∠B=45°,
∴为等腰直角三角形,
∴NH==3−3,
根据垂线段最短可知,当点D与H重合时,DN的值最小,
∴CE的最小值为3−3.
【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用垂线段最短解决最值问题,属于中考压轴题.
18.(一)发现探究
在△ABC中AB=AC,点P在平面内,连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AQ,连接BQ;
【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点,则线段BQ和线段PC的数量关系是 ;
【探究】如图2,如果点P为平面内任意一点.前面发现的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明);
(二)拓展应用
【应用】如图3,在△DEF中,DE=6,∠EDF=60°,∠DEF=90°,P是线段EF上的任意一点连接DP,将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°,得到线段DQ,连接EQ请求出线段EQ长度的最小值.
【答案】【发现】BQ= PC;【探究】BQ= PC仍然成立,证明见解析;【应用】线段EQ长度的最小值为3.
【分析】[发现]先判断出∠BAQ=∠CAP,进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP,即可得出结论;
[探究]结论BQ=PC仍然成立,理由同【发现】的方法;
[应用]在DF上取一点H,使DH=DE,连接PH,过点H作HM⊥EF于M,构造出△DEQ≌△DHP,得出EQ=HP,当HP⊥EF(点P和点M重合)时,EQ最小,求HM即可.
【详解】[发现]由旋转知,AQ=AP,
∵∠PAQ=∠BAC,
∴∠PAQ﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP,
∴∠BAQ=∠CAP,
∵AB=AC,
∴△BAQ≌△CAP(SAS),
∴BQ=CP,
故答案为:BQ=PC;
【探究】结论:BQ=PC仍然成立,
理由:由旋转知,AQ=AP,
∵∠PAQ=∠BAC,
∴∠PAQ﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP,
∴∠BAQ=∠CAP,
∵AB=AC,
∴△BAQ≌△CAP(SAS),
∴BQ=CP,
【应用】如图3,在DF上取一点H,使DH=DE,连接PH,过点H作HM⊥EF于M,
由旋转知,DQ=DP,∠PDQ=60°,
∵∠EDF=60°,
∴∠PDQ=∠EDF,
∴∠EDQ=∠HDP,
∴△DEQ≌△DHP(SAS),
∴EQ=HP,
求EQ最小,就是求HP最小,当HP⊥EF(点P和点M重合)时,HP最小,最小值为HM,
∵∠EDF=60°,∠DEF=90°,
∴∠F=30°,
∵DE=6,
∴DF=2DE=12,
∵DH=DE=6,
∴FH=6,
∵∠F=30°,
∴HM=3.
线段EQ长度的最小值为3.
.
【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,含30°角的直角三角形的性质,恰当的作辅助线,把所求线段转化为与动点P有关的线段,根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键.
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