专题5.5 三角恒等变换-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31104" 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 PAGEREF _Tc31104 \h 3
\l "_Tc30102" 【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】 PAGEREF _Tc30102 \h 4
\l "_Tc27250" 【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】 PAGEREF _Tc27250 \h 6
\l "_Tc12532" 【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】 PAGEREF _Tc12532 \h 8
\l "_Tc3287" 【题型5 辅助角公式的应用】 PAGEREF _Tc3287 \h 10
\l "_Tc20199" 【题型6 利用二倍角公式化简】 PAGEREF _Tc20199 \h 13
\l "_Tc7106" 【题型7 利用二倍角公式求值】 PAGEREF _Tc7106 \h 15
【知识点1 两角和与差的三角函数公式】
1．两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）已知π2<θ<3π2，且csθ+2π3=13，则sinθ的值为（ ）
A．22−36B．26+16C．1−266D．3+226
【解题思路】根据条件求出sinθ+2π3的值，令sinθ=sin(θ+2π3−2π3)，按两角差的公式展开，计算即可.
【解答过程】因为π2<θ<3π2，所以7π6<θ+2π3<13π6，又csθ+2π3=13
又cs13π6=csπ6=32>13，
所以sinθ+2π3=−223，
则sinθ=sin(θ+2π3−2π3)
=sin(θ+2π3)cs2π3−cs(θ+2π3)sin2π3
=−223×(−12)−13×32=22−36，
故选：A.
【变式1-1】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知csα+π12=35,α∈0,π2，则csα+π3=（ ）
A．3−4310B．45C．−210D．7210
【解题思路】根据同角平方关系结合角的范围求得sinα+π12=45，再根据csα+π3=csα+π12+π4，结合和角余弦公式即可求解.
【解答过程】因为α∈0,π2，所以α+π12∈π12,7π12，又csα+π12=35，
所以sinα+π12=1−cs2α+π12=45，
所以csα+π3=csα+π12+π4
=csα+π12csπ4−sinα+π12sinπ4
=35×22−45×22=−210.
故选：C.
【变式1-2】（2023秋·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知角θ的终边过点P−3,−1.则sin(π4−θ)=（ ）
A．−255B．255C．−55D．55
【解题思路】根据角θ的终边过点P−3,−1，利用三角函数的定义得到sinθ,csθ，然后利用两角差的正弦公式求解.
【解答过程】解：因为角θ的终边过点P−3,−1，
所以sinθ=−1−32+−12=−1010,csθ=−3−32+−12=−31010，
所以sin(π4−θ)=sinπ4csθ−csπ4sinθ，
=22⋅−31010−22⋅−1010=−55，
故选：C.
【变式1-3】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知角α,β∈0,π，且sinα+β+csα−β=0,sinαsinβ−3csαcsβ=0，则tanα+β=（ ）
A．−2B．−12C．12D．2
【解题思路】由两角和与差公式化简后求解．
【解答过程】由sinα+β+csα−β=0，可得sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=0，即sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=−1，
故tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1.又sinαsinβ−3csαcsβ=0，故sinαsinβ =3csαcsβ，
即tanαtanβ=3，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1可得tanα+tanβ=−4.
故tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2，
故选：D.
【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】
【例2】（2023春·江苏南通·高一统考期中）求2cs10∘cs20∘−tan20∘的值为（ ）
A．3B．−3C．33D．−33
【解题思路】由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
【解答过程】2cs10°cs20°−tan20°
=2cs10°cs20°−sin20°cs20°
=2cs30∘−20°−sin20°cs20°
=3cs20°+sin20°−sin20°cs20°
=3，
故选：A．
【变式2-1】（2023春·四川成都·高一统考期末）已知tanα+tanβ=−6,tan(α+β)=−1，则sin(α+β)cs(α−β)=（ ）
A．13B．3C．23D．32
【解题思路】根据已知条件求得tanαtanβ=−5，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【解答过程】∵tanα+tanβ=−6，tan(α+β)=−1，
∴ tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，则tanαtanβ=−5，
∴ sin(α+β)cs(α−β)=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=−61−5=32．
故选：D．
【变式2-2】（2023秋·四川·高三校联考阶段练习）若tanα−β=2,tanβ=4，则7sinα−csα7sinα+csα=（ ）
A．−75B．75C．−57D．57
【解题思路】先利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用齐次式求值的方法即可求得7sinα−csα7sinα+csα的值.
【解答过程】tanα=tanα−β+β=2+41−2×4=−67，
则7sinα−csα7sinα+csα=7tanα−17tanα+1=−6−1−6+1=75
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知csπ4+θ=45，17π12<θ<7π4，则1−tanθ2sin2θ+sin2θ的值为（ ）
A．10021B．−10021
C．7528D．−7528
【解题思路】由题知sinπ4+θ=−35，进而得sinθ=−7210，csθ=210，tanθ=−7，再根据1−tanθ2sin2θ+2sinθcsθ=1−tanθsin2θ+cs2θ2sin2θ+2sinθcsθ，并结合齐次式求解即可.
【解答过程】解：因为1712π<θ<74π，5π3<θ+π4<2π，所以sinπ4+θ<0，
因为csπ4+θ=45，所以sinπ4+θ=−35
所以，sinθ=sinπ4+θ−π4=−35×22−45×22=−7210，
csθ=csπ4+θ−π4=45×22−35×22=210，tanθ=−7，
所以，1−tanθ2sin2θ+2sinθcsθ=1−tanθsin2θ+cs2θ2sin2θ+2sinθcsθ
=1−tanθtan2θ+12tan2θ+2tanθ=8×5098−14=10021.
故选：A．
【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】
【例3】（2023春·甘肃兰州·高一校考期末）化简：
(1)sinα−βcsβ+csα−βsinβ；
(2)sinα+β+sinα−βcsαcsβ．
【解题思路】（1）直接由两角和的正弦公式逆用即可化简.
（2）直接由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系即可化简.
【解答过程】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得sinα−βcsβ+csα−βsinβ=sinα−β+β=sinα.
（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得sinα+β+sinα−βcsαcsβ
=sinαcsβ+csαsinβ+sinαcsβ−csαsinβcsαcsβ
=2sinαcsβcsαcsβ=2sinαcsα=2tanα.
【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）化简求值：
(1)sin50°−sin20°cs30°cs20°；
(2)sinθ+75°+csθ+45°−3csθ+15°.
【解题思路】（1）将sin50°转化为sin20°+30°，展开后化简即可；
（2）利用sinθ+75°=sinθ+15°+60°和csθ+45°=csθ+15°+30°进行计算，化简即可.
【解答过程】（1）sin50°−sin20°cs30°cs20°=sin20°+30°−sin20°cs30°cs20°
=sin20°cs30°+cs20°sin30°−sin20°cs30°cs20°=cs20°sin30°cs20°=sin30°=12；
（2）sinθ+75°+csθ+45°−3csθ+15°
=sinθ+15°+60°+csθ+15°+30°−3csθ+15°
=sinθ+15°cs60°+csθ+15°sin60°+csθ+15°cs30°−sinθ+15°sin30°−3csθ+15° =12sinθ+15°+32csθ+15°+32csθ+15°−12sinθ+15°−3csθ+15°=0.
【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）化简求值：
(1)sin(π4−3x)cs(π3−3x)−sin(π4+3x)sin(π3−3x)；
(2)sin27∘+cs45∘sin18∘cs27∘−sin45∘sin18∘.
【解题思路】（1）根据诱导公式以及和差角公式即可化简求值，
（2）根据正余弦的和差角公式即可化简求值.
【解答过程】（1）sin(π4−3x)cs(π3−3x)−sin(π4+3x)sin(π3−3x)
=cs[π2−(π4−3x)]cs(π3−3x)−sin(π4+3x)sin(π3−3x)
=cs(π4+3x)cs(π3−3x)−sin(π4+3x)sin(π3−3x)
=cs[(π4+3x)+(π3−3x)]=cs(π4+π3)=csπ4csπ3−sinπ4sinπ3=2−64
（2）sin27∘+cs45∘sin18∘cs27∘−sin45∘sin18∘=sin(45∘−18∘)+cs45∘sin18∘cs(45∘−18∘)−sin45∘sin18∘=sin45∘cs18∘∘−cs45∘sin18∘+cs45∘sin18cs45∘cs18∘+sin45∘sin18∘−sin45∘sin18∘ =sin45∘cs18∘cs45∘cs18∘=tan45∘=1.
【变式3-3】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)tan58°+tan92°1+tan58°tan88°；
(2)tan2θ−tanθ1+tan2θtanθ；
(3)tan83°+tan37°−3tan83°tan37°；
(4)cs15°−sin15°cs15°+sin15°.
【解题思路】（1）tan92°=−tan88°，再根据两角差的正切定理即可的解；
（2）直接利用两角差的正切定理即可的解；
（3）利用两角和的正切公式结合tan120°=tan(83°+37°)，化简求值即可；
（4）利用同角三角函数关系以及“1”的代换，结合两角差的正切公式求解即可．
【解答过程】（1）解：tan58°+tan92°1+tan58°tan88°=tan58°−tan88°1+tan58°tan88°
=tan58°−88°=−33；
（2）解：tan2θ−tanθ1+tan2θtanθ=tan2θ−θ=tanθ；
（3）解：因为tan120°=tan(83°+37°)=tan83°+tan37°1−tan83°tan37°=−3，
所以tan83°+tan37°=−3(1−tan83°tan37°)，
所以原式=−3(1−tan83°tan37°)−3tan83°tan37°=−3；
（4）解：cs15°−sin15°cs15°+sin15°=1−tan15°1+tan15°=tan45°−tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°−15°)=tan30°=33．
【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】
【例4】（2023·全国·高一课堂例题）求证：sin2x+ysinx−2csx+y=sinysinx.
【解题思路】通过观察等式左边的角，可知2x+y=x+x+y，展开后再通分，逆用正弦的差角公式即可求证
【解答过程】左边=sinx+x+ysinx−2csx+y
=sinxcsx+y+csxsinx+ysinx−2csx+y
=csxsinx+y−sinxcsx+ysinx
=sinx+y−xsinx
=sinysinx
=右边，
所以原不等式成立.
【变式4-1】（2023·全国·高一课堂例题）求证：
(1)csαcsβ=12csα+β+csα−β；
(2)sinαsinβ=−12csα+β−csα−β．
【解题思路】（1）（2）利用余弦函数的和差公式进行加减运算即可得证.
【解答过程】（1）因为csα+β=csαcsβ−sinαsinβ，
csα−β=csαcsβ+sinαsinβ，
两式相加，得csα+β+csα−β=2csαcsβ，
将上式两边同除以2，得csαcsβ=12csα+β+csα−β．
（2）因为csα+β=csαcsβ−sinαsinβ，
csα−β=csαcsβ+sinαsinβ，
两式相减，得csα+β−csα−β=−2sinαsinβ．
将上式两边同除以−2，得sinαsinβ=−12csα+β−csα−β．
【变式4-2】（2023·全国·高一随堂练习）已知sinα+β=a，sinα−β=b，求证：
(1)sinαcsβ=12a+b；
(2)csαsinβ=12a−b.
【解题思路】（1）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相加即可得证；
（2）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减即可得证；
【解答过程】（1）证明：因为sinα+β=asinα−β=b，即sinαcsβ+csαsinβ=asinαcsβ−csαsinβ=b，
所以两式相加可得2sinαcsβ=a+b，
所以得证sinαcsβ=12a+b；
（2）证明：因为sinα+β=asinα−β=b，即sinαcsβ+csαsinβ=asinαcsβ−csαsinβ=b，
所以两式相减可得2csαsinβ=a−b，
所以得证csαsinβ=12a−b.
【变式4-3】（2023·全国·高一随堂练习）已知函数fx=sinx，求证：
(1)fx+ℎ−fxℎ=csℎ−1ℎsinx+sinℎℎcsx；
(2)fx+2ℎ−fx2ℎ=sinℎℎcsx+ℎ.
【解题思路】（1）由f(x+ℎ)−f(x)ℎ=sin(x+ℎ)−sinxℎ，利用正弦函数加法定理即可证明．
（2）由f(x+2ℎ)−f(x)2ℎ=sin(x+2ℎ)−sinx2ℎ，利用正弦函数加法定理和倍角公式即可证明．
【解答过程】（1）证明：（1）∵f(x)=sinx，
∴ f(x+ℎ)−f(x)ℎ=sin(x+ℎ)−sinxℎ
=sinxcsh+csxsinh−sinxℎ
=sinx(csh−1ℎ)+csx(sinhℎ)，
∴ f(x+ℎ)−f(x)ℎ=sinx(csh−1ℎ)+csx(sinhℎ)．
（2）证明：∵f(x)=sinx，
∴ f(x+2ℎ)−f(x)2ℎ=sin(x+2ℎ)−sinx2ℎ
=sinxcs2ℎ+csxsin2ℎ−sinx2ℎ
=sinx(cs2ℎ−1)+csxsin2ℎ2ℎ
=−sinxsin2ℎ+csxsinhcshn
=cs(x+ℎ)sinhℎ．
∴ f(x+2ℎ)−f(x)2ℎ=cs(x+ℎ)sinhℎ．
【题型5 辅助角公式的应用】
【例5】（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）已知函数fx=23cs2π2+x−2sinπ+xcsx−3 .
(1)求fx的最小正周期及单调递减区间：
(2)若fx0−π6=1425,x0∈3π4,π，求sin2x0的值.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再结合三角函数的性质计算即可；
（2）结合（1）得sin2x0−2π3=725，利用同角三角函数的平方关系及正弦函数的和差公式计算即可.
【解答过程】（1）原函数式可化为fx=32sin2x−1+2sinxcsx=sin2x−3cs2x=2sin2x−π3，
则其最小正周期为T=2π2=π，
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ⇒x∈5π12+kπ,11π12+kπk∈Z，
即单调递减区间为：5π12+kπ,11π12+kπk∈Z；
（2）由上可知fx0−π6=2sin2x0−π6−π3=2sin2x0−2π3=1425⇒ sin2x0−2π3=725，
又x0∈3π4,π，所以2x0−2π3∈5π6,4π3，
则cs2x0−2π3=−1−sin22x0−2π3=−2425，
故sin2x0=sin2x0−2π3+2π3=sin2x0−2π3cs2π3+cs2x0−2π3sin2π3
=725×−12−2425×32=−243+750.
【变式5-1】（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知fx=sin2x+cs2x.
(1)求fx的周期及单调递增区间；
(2)求函数fx在0,π2上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）由三角恒等变换化简f(x)，由周期公式求周期，根据正弦函数的单调性求f(x)递增区间；
（2）根据角的范围，求出2x+π4的范围，利用正弦函数求出值域即可得解.
【解答过程】（1）由fx=sin2x+cs2x=2sin2x+π4，
所以周期 T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
∴fx的单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8，k∈Z.
（2）当x∈0,π2时，则2x+π4∈π4,5π4，所以sin2x+π4∈−22,1，
故2sin2x+π4∈−1,2，
∴fxmax=2， fxmin=−1．
【变式5-2】（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数fx=23sinxcsx+2cs2x−1（x∈R）．
(1)求函数fx的单调递减区间；
(2)若fx0=65，x0∈π4,π2，求cs2x0的值．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质运算即可得解；
（2）利用三角函数基本关系式、两角差的余弦公式运算即可得解.
【解答过程】（1）解：由题意
fx=23sinxcsx+2cs2x−1=3sin2x+cs2x
=232sin2x+12cs2x=2sin2x+π6，
∵2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z,
∴kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z,
∴函数fx的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3（k∈Z）.
（2）解：由（1）知，fx0=2sin2x0+π6，
又∵fx0=65，∴sin2x0+π6=35，
∵x0∈π4,π2，则2x0+π6∈2π3,7π6，
∴cs2x0+π6<0，
∴cs2x0+π6=−45，则
cs2x0=cs2x0+π6−π6
=cs2x0+π6csπ6+sin2x0+π6sinπ6
=−45×32+35×12=3−4310.
【变式5-3】（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数fx=sinx+π6+sinx−π6+csx+a在x∈−π2,π2时的最大值为1.
(1)求常数a的值；
(2)求函数fx的单调递减区间；
(3)求使fx≥0成立的x的取值集合.
【解题思路】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式f(x)，再根据最大值求a；
（2）利用正弦函数的单调性确定区间；
（3）利用正弦函数的图象与性质确定x的取值集合.
【解答过程】（1）f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+csx+a
=32sinx+12csx+32sinx−12csx+csx+a
=3sinx+csx+a
=2sin(x+π6)+a；
因为x∈−π2,π2，所以x+π6∈−π3,2π3，
所以当x+π6=π2时，f(x)有最大值a+2，
所以a+2=1，所以a=−1.
（2）f(x)=2sin(x+π6)−1，
令π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπk∈Z，
得π3+2kπ≤x≤4π3+2kπk∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是π3+2kπ,4π3+2kπ,k∈Z.
（3）f(x)≥0，即2sin(x+π6)−1≥0，
所以sin(x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤x+π6≤5π6+2kπk∈Z，
解得2kπ≤x≤2π3+2kπk∈Z，
所以使f(x)≥0成立的x的取值集合是x|2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.
【知识点2 二倍角公式】
1．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；.
【题型6 利用二倍角公式化简】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）化简sin235°−12cs10°cs80°等于（ ）
A．－2B．－12C．－1D．1
【解题思路】利用三角函数的二倍角公式以及诱导公式，可得答案.
【解答过程】sin235∘−12cs10∘cs80∘=1−cs270∘2−12cs10∘sin10∘=−cs70∘sin20∘=−1.
故选：C.
【变式6-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）化简1−cs160°2+1−sin160°的结果是（ ）
A．cs10°B．sin10°
C．2sin10°+cs10°D．2cs10°−sin10°
【解题思路】利用正余弦的二倍角公式化简即可.
【解答过程】原式化简为
1+cs20°2+1−sin20°=1+2cs210°−12+1−2sin10°cs10° =cs10°+cs10°−sin10°=2cs10°−sin10°.
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）下列各式化简结果为12的是（ ）
A．1−2cs275°B．sin15°cs15°
C．sin14°cs16°+sin76°cs74°D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
【解题思路】利用和差角的三角函数公式、二倍角的正余弦公式逐项化简计算，判断作答.
【解答过程】对于A，1−2cs275°=−cs150∘=32，A不是；
对于B，sin15°cs15°=12sin30∘=14，B不是；
对于C，sin14°cs16°+sin76°cs74°=sin14°cs16°+cs14°sin16°=sin30∘=12，C是；
对于D，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=tan45°(1−tan20°tan25°)+tan20°tan25°=1，D不是.
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知α∈−π4,π4，化简2−2sin2α−1+cs2α的结果是（ ）
A．2sinαB．−2sinαC．2csαD．−2csα
【解题思路】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.
【解答过程】∵α∈−π4,π4,∴csα>sinα,csα>0.
2−2sin2α−1+cs2α =2⋅sin2α−2sinαcsα+cs2α−1+2cs2α−1
=2⋅(sinα−csα)2−2csα=2(csα−sinα)−2csα=−2sinα
故选：B.
【题型7 利用二倍角公式求值】
【例7】（2023秋·江西九江·高二校考开学考试）已知tanα+π4=2．
(1)若α的终边位于第三象限，求sin2α+csα的值；
(2)求1+sin2α+cs2α1+sin2α−cs2α的值．
【解题思路】（1）由两角和的正切公式求出tanα=13，进一步利用三角函数的定义求出结果；
（2）由二倍角公式求出sin2α，cs2α，代入即可得出答案.
【解答过程】（1）tanα+π4=tanα+11−tanα=2，解得：tanα=13，
由于α的终边位于第三象限，所以sinα=−1010,csα=−31010，
所以sin2α=2sinαcsα=2×−1010×−31010=35，
所以sin2α+csα=35−31010=6−31010.
（2）因为sin2α=35，cs2α=cs2α−sin2α=−310102−−10102=45，
所以1+sin2α+cs2α1+sin2α−cs2α=1+35+451+35−45=3.
【变式7-1】（2023春·天津河北·高二学业考试）已知sinα=255，α∈0,π2.
(1)求sin2α和cs2α的值；
(2)求sinα+π6的值.
【解题思路】（1）利用同角三角函数关系式，正弦的二倍角公式与余弦的二倍角公式即可；
（2）根据（1）利用两角和的正弦公式求解即可.
【解答过程】（1）因为sinα=255，α∈0,π2，
所以csα=1−sin2α=55，
所以sin2α=2sinαcsα=2×255×55=45，
cs2α=1−2sin2α=1−2×2552=−35.
（2）sinα+π6=sinαcsπ6+csαsinπ6
=255×32+55×12=215+510.
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）已知sinα=2−4sin2α2．
(1)求sin2α−cs2α的值；
(2)已知α∈0,π,β∈π2,π,3tan2β−5tanβ−2=0，求α+β的值．
【解题思路】（1）利用余弦的二倍角公式，结合三角函数商式关系式，求得正切值，根据正弦与余弦的二倍角公式以及平方关系式，可得答案；
（2）根据二次方程以及正切的和角公式，结合角的取值范围，可得答案.
【解答过程】（1）因为sinα=2−4sin2α2,sinα=21−2sin2α2=2csα，所以tanα=2，
又因为sin2α−cs2α=2sinαcsα−cs2α+sin2αsin2α+cs2α=2tanα−1+tan2α1+tan2α，
所以sin2α−cs2α=2×2−1+221+22=75.
（2）因为β∈π2,π，所以tanβ<0，
因为3tan2β−5tanβ−2=3tanβ+1tanβ−2=0，所以tanβ=−13，
又因为a∈0,π,tanα=2，所以0<α<π2，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−131+23=1，由β∈π2,π0<α<π2，得π2<α+β<3π2，
所以α+β=5π4．
【变式7-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知α为第二象限角，且cs2α=79.
(1)求sinα的值；
(2)若函数fx=sin2x+2csβcs2x0<β<π2的图象关于直线x=π12对称，求cs2α+β的值.
【解题思路】（1）利用二倍角余弦公式，由cs2α=1−2sin2α=79求解；
（2）由α为第二象限角，且cs2α=79得到sin2α，根据函数fx的图象关于直线x=π12对称，由f0=fπ6，得到csβ=32，然后利用两角和的余弦公式求解.
【解答过程】（1）解：由cs2α=1−2sin2α=79，
得sin2α=19，
因为α为第二象限角，
所以sinα=13.
（2）由题意得α∈π2+2kπ,π+2kπk∈Z，
则2α∈π+4kπ,2π+4kπk∈Z，
所以sin2α=−1−cs22α=−429.
依题意得f0=fπ6，即2csβ=32+csβ，
则csβ=32，
因为0<β<π2，
所以β=π6.
故cs2α+β=cs2α+π6，
=cs2αcsπ6−sin2αsinπ6=73+4218.函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcsα
S(α+β)
S2α
余弦
cs2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α