高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题66必修第一册全册综合测评(二)(原卷版+解析)

展开

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题66必修第一册全册综合测评(二)(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．函数f(x)＝ eq \r(2x－\f(1,4))＋ln(1－x)的定义域是( )
A．[－1,2) B．(－2,1) C．(－2,1] D．[－2,1)
3．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a4．若cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于( )
A．－3 B．3 C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
5．若函数f(x)＝eq \f(x2,2x－2a－x)是奇函数，则f(a－1)＝( )
A．－1 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．1
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.eq \f(25,2) C.eq \f(25,4) D.eq \f(25,8)
7．命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．[0,4]
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
8．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则下列说法不正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递减 B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递增 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增
10．已知函数定义域为，且满足，，则（）
A．B． C． D．为偶函数
11．已知函数，则（）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝________.
14．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为________．
15．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－2－x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]的值域是________．
16．设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＋2 019sin x＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
18．函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求m的值；
(2)若f(x)有两个零点且均比－1大，求m的取值范围．
19．已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1,1]有eq \f(fm＋fn,m＋n)>0(m＋n≠0)．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)解不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))20．已知函数f(x)＝cs(πx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))，求函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．
21．设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2的值域．
22．如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处．
(1)已知在t(min)时点P距离地面的高度为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，求t＝2 019时，点P距离地面的高度；
(2)当离地面(50＋20eq \r(3))m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．
专题65 必修第一册全册综合测评(二)
考试时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
[解析]在数轴上表示出集合A，B，如图所示．
由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．
2．函数f(x)＝ eq \r(2x－\f(1,4))＋ln(1－x)的定义域是( )
A．[－1,2) B．(－2,1) C．(－2,1] D．[－2,1)
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,4)≥0，,1－x>0，))解得－2≤x<1，∴函数f(x)的定义域是[－2,1)．故选D.
3．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a[解析] a＝lg20.220＝1,04．若cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于( )
A．－3 B．3 C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
[解析]∵sin 2α＝2sin αcs α＞0，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，∴sin α＝－eq \f(3\r(10),10)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3，
∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.
5．若函数f(x)＝eq \f(x2,2x－2a－x)是奇函数，则f(a－1)＝( )
A．－1 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．1
[解析]∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴2－x－2a＋x＝2a－x－2x，∴2a(2x＋2－x)＝2x＋2－x，
∴2a＝1，∴a＝0，∴f(a－1)＝f(－1)＝－eq \f(2,3).
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.eq \f(25,2) C.eq \f(25,4) D.eq \f(25,8)
[解析]∵a>0，b>0，a＋2b＝5，∴ab＝eq \f(1,2)a·2b≤eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(25,8)，当且仅当a＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(5,4)时取等号．
7．命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．[0,4]
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[解析]对于∀x∈R，x2＋ax＋a≥0成立是真命题，∴Δ＝a2－4a≤0，即0≤a≤4.故选B.
8．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝sin x，,y＝tan x，))得sin x＝tan x，即sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,cs x)))＝0.∴sin x＝0或1－eq \f(1,cs x)＝0，即x＝kπ(k∈Z)，
又－2π≤x≤2π，∴x＝－2π，－π，0，π，2π，从而图象的交点个数为5.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则下列说法不正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递减 B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递增 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增
[解析]y＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,4)))，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，由|φ|10．已知函数定义域为，且满足，，则（）
A．B． C． D．为偶函数
[解析]由，令，得，则，故A正确；
由，用替换得，
∵，∴，用替换得，
又∵，∴，即，由此可知为偶函数，故D正确；
由，用替换得，又，可得，
用替换得，∴是周期为4的函数，∴，故C正确；
∵，令，得，
∴，∴，，∴，故B错误.
故选：ACD．
11．已知函数，则（）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
[解析]因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，故的最大值为，D对.
故选：ABD.
12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（）
A． B． C． D．
[解析]，令，则，，.
对于A，
，A选项正确；
对于B，，，
因为，所以，B选项错误；
对于C，，C选项错误；
对于D，，
所以，D选项正确；
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝________.
[解析]由题意画出Venn图，如图所示．
由图可知，A＝{3,9}．
14．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为________．
[解析]令f(x)＝0，得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x≤0，))解得x＝－1；或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＋lnx＝0，,x>0，))
在同一个直角坐标系中画出y＝2－x和y＝lnx的图象，观察交点个数，
如图所示．函数y＝2－x和y＝lnx，x>0在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f(x)在x<0时的零点有一个，在x>0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.
15．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－2－x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]的值域是________．
[解析]当x≤0时，f(x)＝3x∈(0,1]，∴y＝f[f(x)]＝f(3x)＝－2－3x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))；
当x>0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，y＝f[f(x)]＝f(－2－x)＝3－2－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
综上所述，y＝f[f(x)]的值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
16．设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＋2 019sin x＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝________.
[解析]∵f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＋2 019sin x＋2，
∴f(x)＋f(－x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＋2 019sin x＋2＋eq \f(e－x－ex,e－x＋ex)＋2 019sin(－x)＋2＝4，
即y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
∵f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＋2 019sin x＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的最大值为M，最小值为N，∴M＋N＝4.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B＝[1,3]，∴m＝4.
(2)∵﹁q是p的必要条件∴p是﹁q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m＞6或m＜－4.
18．函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求m的值；
(2)若f(x)有两个零点且均比－1大，求m的取值范围．
[解析] (1)根据题意，若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且只有一个零点，则Δ＝(2m)2－4(3m＋4)＝0，
解得m＝－1或4，即m的值为－1或4.
(2)根据题意，若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有两个零点且均比－1大，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2m2－43m＋4>0，,－m>－1，,f－1＝1－2m＋3m＋4>0，))解得－519．已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1,1]有eq \f(fm＋fn,m＋n)>0(m＋n≠0)．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)解不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))[解析] (1)设x1＝m，x2＝－n，由已知可得eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，不妨设x1由函数单调性的定义可得函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．又由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))解得0≤x20．已知函数f(x)＝cs(πx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))，求函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)由题图得f(0)＝eq \f(\r(3),2)，所以cs φ＝eq \f(\r(3),2)，因为0＜φ＜eq \f(π,2)，故φ＝eq \f(π,6).
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x0＜2，
故eq \f(7π,6)＜πx0＋eq \f(π,6)＜eq \f(13π,6).由f(x0)＝eq \f(\r(3),2)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx0＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以πx0＋eq \f(π,6)＝eq \f(11π,6)，x0＝eq \f(5,3).
(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＋\f(π,6)))＝csπx＋eq \f(π,2)＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))－sin πx＝cs πxcseq \f(π,6)－sin πxsineq \f(π,6)－sin πx
＝eq \f(\r(3),2)cs πx－eq \f(3,2)sin πx＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx)).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))时，－eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)－πx≤eq \f(2π,3).所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx))≤1，
故eq \f(π,6)－πx＝eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(1,3)时，g(x)取得最大值eq \r(3)；当eq \f(π,6)－πx＝－eq \f(π,6)，即x＝eq \f(1,3)时，g(x)取得最小值－eq \f(\r(3),2)
21．设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2的值域．
[解析] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcs θ＋cs xsin θ＝－sin xcs θ＋cs xsin θ，故2sin xcs θ＝0，所以cs θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝eq \f(π,2)或θ＝eq \f(3π,2).
(2)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(3,2)sin 2x))＝1－eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
因此，所求函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),2))).
22．如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处．
(1)已知在t(min)时点P距离地面的高度为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，求t＝2 019时，点P距离地面的高度；
(2)当离地面(50＋20eq \r(3))m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．
[解析](1)法一：依题意，A＝40，h＝50，T＝3，由eq \f(2π,ω)＝3得ω＝eq \f(2π,3)，所以f(t)＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t＋φ))＋50.
因为f(0)＝10，所以sin φ＝－1，又|φ|≤eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,2).
所以f(t)＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50(t≥0)，所以f(2 019)＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)×2 019－\f(π,2)))＋50＝10.
即t＝2 019时点P距离地面的高度为10 m.
法二：2 019＝3×673，故t＝2 019时点P所在的位置与t＝0时点P所在的位置相同，即在起始位置，
所以t＝2 019时，点P距离地面的高度为10 m.
(2)由(1)知f(t)＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)t－\f(π,2)))＋50＝50－40cseq \f(2π,3)t(t≥0)．令f(t)＞50＋20eq \r(3)，即cseq \f(2π,3)t<－eq \f(\r(3),2)，
从而2kπ＋eq \f(5π,6)∵3k＋eq \f(7,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(5,4)))＝eq \f(1,2)＝0.5(k∈N*)，∴转一圈中在点P处有0.5 min的时间可以看到公园的全貌．