专题1.5 全称量词与存在量词-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc14015" 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】 PAGEREF _Tc14015 \h 2
\l "_Tc11046" 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc11046 \h 2
\l "_Tc3432" 【题型3 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc3432 \h 3
\l "_Tc6766" 【题型4 全称量词命题的否定】 PAGEREF _Tc6766 \h 4
\l "_Tc16746" 【题型5 存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc16746 \h 4
\l "_Tc26112" 【题型6 命题否定的真假判断】 PAGEREF _Tc26112 \h 5
\l "_Tc24724" 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 PAGEREF _Tc24724 \h 6
【知识点1 全称量词与存在量词】
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数D．∃x∈R，x2=x
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式D．存在奇数不是素数
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°．
A．0B．1C．2D．3
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．l是最小的自然数B．所有的素数都是奇数
C．∀x∈R,sinx+2>0D．对任意一个无理数x，x2也是无理数
【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．∃x∈N，使4x<−3B．∀x∈R，x2+2>0
C．∀x∈N，2x>x2D．∃x∈Z，使3x−2=0
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等
B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0
D．π是无理数
【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2
【题型3 根据命题的真假求参数】
【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀x∈−3,3，−x2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−4,+∞)B．21,+∞
C．−∞,21D．−3,+∞
【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题p:∃x0∈R，使得kx02−6kx0+k+8<0成立.若p是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a≥1B．a≥3C．a≥2D．a≤4
【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题p:∃x∈R，mx2+1≤0；命题q:∀x∈R，x2+mx+1>0．若p，q都是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤−2B．m≥2C．m≥2或m≤−2D．−2≤m≤2
【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【题型4 全称量词命题的否定】
【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀x>0,x>x”的否定是（ ）
A．∀x>0,x≤xB．∃x>0,x≤x
C．∀x≤0,x>xD．∃x>0,x>x
【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题p：∀a∈N，∃b∈N，使得a>b，则¬p为（ ）
A．∃a∈N，∀b∉N，使得a≤b
B．∃a∉N，∀b∉N，使得a≤b
C．∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b
D．∀a∈N，∀b∈N，使得a≤b
【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀x∈R,2x2+3x−5>0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,2x2+3x−5<0B．∀x∈R,2x2+3x−5≤0
C．∃x∈R,2x2+3x−5≤0D．∃x∈R,2x2+3x−5<0
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题p:∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为（ ）
A．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
B．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
C．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
D．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
【题型5 存在量词命题的否定】
【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃x∈N,5xA．∀x∈N,5xx3+1
C．∀x∈N,5x≥x3+1D．∀x∉N,5x≥x3+1
【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃x>0，x2−ax+b>0”的否定是（ ）
A．∃x>0，x2−ax+b≤0B．∃x≤0，x2−ax+b>0
C．∀x≤0，x2−ax+b≤0D．∀x>0，x2−ax+b≤0
【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题P的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【知识点3 命题的否定与原命题的真假】
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2.命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【题型6 命题否定的真假判断】
【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x-3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形.
【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被4整除；
(2)对任意实数x，都有x2−2x−3<0；
(3)方程x2−5x−6=0有一个根是奇数．
【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x−3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x.
【题型7 根据命题否定的真假求参数】
【例7】（2023·高一课时练习）设命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根；命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根．已知p和¬q均为真命题，求实数m的取值范围．
【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【变式7-2】（2022秋·浙江台州·高一校考阶段练习）已知a∈R，p:∃x∈x10； q:∀x∈R,x2+ax+4>0
(1)写出p的否定，并求当p的否定为真命题时，实数a的取值范围;
(2)若p，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【变式7-3】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤2，x≤a2+1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y=x+a的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”