湖南省永州市蓝山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

这是一份湖南省永州市蓝山县2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃B．0℃C．﹣10℃D．﹣20℃
2．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点BB．点A与点DC．点C与点BD．点C与点D
3．（3分）下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（ ）
A．+2B．C．0D．2.023
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．7y+y＝7y2C．x3+x3＝2x3D．3x4﹣2x4＝1
5．（3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为（ ）
A．0.64×107B．6.4×106C．64×105D．640×104
6．（3分）下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．a的系数是0B．ab2c的次数是2
C．πr2的系数是πD．3是一次单项式
8．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝bB．若，则a＝﹣b
C．若x+1＝2，则﹣x＝2﹣1D．若，则x＝﹣3
9．（3分）已知﹣25a2mb和7b3﹣na4是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．（3分）下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则＝﹣1；③若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小；⑤若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是四次多项式；⑥﹣5πR2的系数是﹣5．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）①3的相反数是 ，②﹣2的倒数是 ，③|﹣2023|＝ ．
12．（3分）多项式是 次 项式，其中常数项是 ．
13．（3分）请写出一个解为x＝3的一元一次方程 ．
14．（3分）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c＝ ．
15．（3分）化简﹣（﹣x+y）﹣[﹣（x﹣y）]得 ．
16．（3分）观察下面的一列单项式：﹣x，2x2，﹣4x3，8x4，﹣16x5，…根据你发现的规律，第8个单项式为 ，第n个单项式为 ．
三、解答题（本大题9个小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）1﹣2+2×（﹣3）2；
（2）；
（3）xy﹣（3x﹣2xy）+（3xy﹣2x）．
18．（6分）画一条数轴，将下列各数在此数轴上表示出来，并把这些按照从小到大的顺序排列．
﹣（﹣1），﹣|﹣2|，﹣3，0，（﹣2）2．
19．（6分）先化简再求值：（4x2﹣2xy+y2）﹣3（x2﹣xy+5y2），其中x＝﹣1，y＝﹣．
20．（8分）已知x、y为有理数，现规定一种新运算⊕，满足x⊕y＝xy+2，
（1）求2⊕4的值；
（2）求（1⊕4）⊕（﹣2）的值．
21．（8分）已知单项式﹣2aby+3与3ax+2b是同类项，化简求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）．
22．（9分）阅读材料：
数学活动课上，小明经过观察、思考，发现并提出猜想：把一个两位数的十位上的数字a与个位上的数字b交换位置，得到的新数与原数的和是11的整数倍．
解决问题：
（1）用含a，b的式子表示原来的两位数是 ；
（2）小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由．
23．（9分）阅读下面的材料．
计算：．
解法一：原式＝．
解法二：原式＝．
解法三：原式的倒数为，
其值＝＝20﹣15+5＝10，
∴原式＝．
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简捷．用你认为简便的方法计算：．
24．（10分）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
25．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．
综上所述，值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确的选项填在对应的表格内。）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃B．0℃C．﹣10℃D．﹣20℃
【分析】根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．
【解答】解：∵零上10℃记作+10℃，
∴零下10℃记作：﹣10℃，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点BB．点A与点DC．点C与点BD．点C与点D
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．（3分）下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（ ）
A．+2B．C．0D．2.023
【分析】根据有理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A：+2是整数，不是分数，不符合题意；
B：﹣是负分数，不符合题意；
C：0是整数，不符合题意；
D：2.023是分数，也是正有理数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的定义及分类，掌握有理数的定义是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．7y+y＝7y2C．x3+x3＝2x3D．3x4﹣2x4＝1
【分析】根据合并同类项法则计算判断即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，不合题意；
B、7y+y＝8y，不合题意；
C、x3+x3＝2x3，符合题意；
D、3x4﹣2x4＝x4，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的是合并同类项，把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
5．（3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为（ ）
A．0.64×107B．6.4×106C．64×105D．640×104
【分析】科学记数法的形式为 a×10n，其中1≤a＜10，n为整数．
【解答】解：6400000＝6.4×106．
故选：B．
【点评】此题考查用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤|a|＜10，n为比原数的整数位数小1的正整数．
6．（3分）下列式子：x2+1，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据整式的定义进行选择即可．
【解答】解：整式有x2+1，，﹣5x，0，共4个，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
7．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．a的系数是0B．ab2c的次数是2
C．πr2的系数是πD．3是一次单项式
【分析】根据单项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答．
【解答】解：A、a的系数是1，故本选项错误，不符合题意；
B、ab2c的次数是4，故本选项错误，不符合题意；
C、πr2的系数是，故本选项正确，符合题意；
D、3是零次单项式，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
8．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝bB．若，则a＝﹣b
C．若x+1＝2，则﹣x＝2﹣1D．若，则x＝﹣3
【分析】根据等式的基本性质，两边同时加减同一个整式，两边同时乘除一个不为零的数等式成立，即可判断．
【解答】解：（1）∵ac＝bc，当c＝0时，
a不一定等于b，
∴A选项不符合题意．
∵，
两边同时×c，
则a＝﹣b，
∴B选项符合题意．
若x+1＝2，
则﹣x＝﹣2﹣1，
∴C选项不符合题意．
若，两边同时乘以2，
则x＝﹣12，
∴D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等式基本性质，熟练掌握其性质并灵活运用是解决本题的关键，难度不大．
9．（3分）已知﹣25a2mb和7b3﹣na4是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】本题考查同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），由同类项的定义可得：2m＝4，3﹣n＝1，求得m和n的值，从而求出它们的和．
【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝2，则m+n＝4．
故选：C．
【点评】注意同类项定义中的两个“相同”，所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
10．（3分）下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则＝﹣1；③若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小；⑤若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是四次多项式；⑥﹣5πR2的系数是﹣5．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题目中各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：两个数互为倒数，则它们的乘积为1，故①正确；
当a、b都不等于0时，若a、b互为相反数，则＝﹣1，若a＝b＝0，则无意义，故②错误；
当a≥0时，a﹣|a|＝a﹣a＝0，当a＜0时，a﹣|a|＝a﹣（﹣a）＝a+a＝2a＜0，故若a为任意有理数，则a﹣|a|≤0，故③正确；
两个负有理数比较，绝对值大的反而小，两个正有理数比较，绝对值大的这个数就大，故④错误；
若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B不一定是四次多项式，也有可能是四次单项式，故⑤错误；
﹣5πR2的系数是﹣5π，故⑥错误；
故选：A．
【点评】本题考查整式的加减、相反数、绝对值、有理数的大小比较，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个小题中的说法是否正确．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）①3的相反数是 ﹣3 ，②﹣2的倒数是 ﹣ ，③|﹣2023|＝ 2023 ．
【分析】①符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案；
②乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案；
③负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：①3的相反数是﹣3，
故答案为：﹣3；
②﹣2的倒数是﹣，
故答案为：﹣；
③|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查相反数，倒数及绝对值，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
12．（3分）多项式是 四 次 三 项式，其中常数项是 2 ．
【分析】根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解．
【解答】解：因为多项式2﹣xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成，
所以多项式2﹣xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2．
故答案为：四，三，2．
【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项．
13．（3分）请写出一个解为x＝3的一元一次方程 2x+5＝11 ．
【分析】根据题意，此方程必须符合以下条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程；（4）解为3．根据等式性质，构造即可．
【解答】解：可以这样来构造方程：
例：把x＝3两边同乘2得，2x＝6，两边同时加5，得2x+5＝11；
像这样，可以构造无数个方程．
【点评】本题考查了同学们的逆向思维能力，属于结论开放性题目．
14．（3分）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c＝ 0 ．
【分析】根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝1，
则原式＝﹣1+0+1＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）化简﹣（﹣x+y）﹣[﹣（x﹣y）]得 2x﹣2y ．
【分析】先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：﹣（﹣x+y）﹣[﹣（x﹣y）]
＝x﹣y+x﹣y
＝2x﹣2y．
故答案为：2x﹣2y．
【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
16．（3分）观察下面的一列单项式：﹣x，2x2，﹣4x3，8x4，﹣16x5，…根据你发现的规律，第8个单项式为 128x8 ，第n个单项式为 ﹣（﹣2）n﹣1xn ．
【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【解答】解：根据分析的规律，得
第8个单项式是27x8＝128x8．
第n个单项式为（﹣1）n2n﹣1xn，
故答案为：128x8，﹣（﹣2）n﹣1xn．
【点评】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
三、解答题（本大题9个小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）1﹣2+2×（﹣3）2；
（2）；
（3）xy﹣（3x﹣2xy）+（3xy﹣2x）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，再利用乘法分配律进行计算；
（3）先去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2×9
＝1﹣2+18
＝17；
（2）原式＝
＝
＝﹣16+8+12
＝4；
（3）原式＝xy﹣3x+2xy+3xy﹣2x
＝6xy﹣5x．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）画一条数轴，将下列各数在此数轴上表示出来，并把这些按照从小到大的顺序排列．
﹣（﹣1），﹣|﹣2|，﹣3，0，（﹣2）2．
【分析】先分别根据有理数的乘方、去括号的法则把各数化简，并在数轴上表示出各数，用“＜”从左到右把各数连接起来即可．
【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣3，0，（﹣2）2＝4，
各数在数轴上表示为：
从左到右用“＜”连接为：
﹣3＜﹣|﹣2|＜0＜﹣（﹣1）＜（﹣2）2．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
19．（6分）先化简再求值：（4x2﹣2xy+y2）﹣3（x2﹣xy+5y2），其中x＝﹣1，y＝﹣．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣2xy+y2﹣3x2+3xy﹣15y2＝x2+xy﹣14y2，
当x＝﹣1，y＝﹣时，原式＝1+﹣＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）已知x、y为有理数，现规定一种新运算⊕，满足x⊕y＝xy+2，
（1）求2⊕4的值；
（2）求（1⊕4）⊕（﹣2）的值．
【分析】（1）根据x⊕y＝xy+2，可以计算出所求式子的值；
（2）根据x⊕y＝xy+2，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：（1）∵x⊕y＝xy+2，
∴2⊕4
＝2×4+2
＝8+2
＝10；
（2）（1⊕4）⊕（﹣2）
＝（1×4+2）⊕（﹣2）
＝（4+2）⊕（﹣2）
＝6⊕（﹣2）
＝6×（﹣2）+2
＝﹣12+2
＝﹣10．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
21．（8分）已知单项式﹣2aby+3与3ax+2b是同类项，化简求值：x2+（2xy﹣3y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）．
【分析】根据同类项相同字母的指数相同可求出x和y的值，然后化要求的整式为最简，再将x和y的值代入即可．
【解答】解：由题意可知：x＝﹣1，y＝﹣2，
原式＝x2+2xy﹣3y2﹣2x2﹣2xy+4y2
＝﹣x2+y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2，
原式＝﹣（﹣1）2+（﹣2）2
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值和同类项的知识．解决本题的关键是掌握整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
22．（9分）阅读材料：
数学活动课上，小明经过观察、思考，发现并提出猜想：把一个两位数的十位上的数字a与个位上的数字b交换位置，得到的新数与原数的和是11的整数倍．
解决问题：
（1）用含a，b的式子表示原来的两位数是 10a+b ；
（2）小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由．
【分析】（1）根据代数式的表示方法可得答案；
（2）新的两位数是10b+a，先计算新数与原数的和，再判断即可．
【解答】解：（1）用含，b的式子表示原来的两位数是10a+b，
故答案为：10a+b；
（2）小明的猜想正确．
理由：由题意可知，新的两位数是10b+a，
所以新数与原数的和是：（10a+b）+（10b+a），
（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），
所以新数与原数的和是11的整数倍．
【点评】本题考查整式的加减运算，会用代数式表示出新数和原数是解题关键．
23．（9分）阅读下面的材料．
计算：．
解法一：原式＝．
解法二：原式＝．
解法三：原式的倒数为，
其值＝＝20﹣15+5＝10，
∴原式＝．
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法 一 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 三 较简捷．用你认为简便的方法计算：．
【分析】观察三种解法，找出出错的及简捷的，利用简便方法求出原式的值即可．
【解答】解：解法一是错误的；解法三较简捷；
故答案为：一，三；
原数的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）
＝（﹣+﹣）×（﹣42）
＝×（﹣42）﹣×（﹣42）+×（﹣42）﹣×（﹣42）
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14，
故原式＝﹣．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（10分）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【分析】（1）根据有理数加法运算法则结合正负数的意义即可求出答案；
（2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量；
（3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解．
【解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+6＝6（千米），
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南方，距离公司6千米；
（2）|5|+|2|+|﹣4|+|﹣3|+|6|＝5+2+4+3+6＝20（千米），0.3×20＝6（升），
答：在这过程中共耗油6升；
（3）第1批客人运费为10+1.6×（5﹣3）＝13.2（元），
第2批客人运费为10元；
第3批客人运费为10+1.6×（4﹣3）＝11.6（元），
第4批客人运费为10元，
第5批客人运费为10+1.6×（6﹣3）＝14.8（元），13.2+10+11.6+10+14.8＝59.6（元），
答：在这过程中该驾驶员共收到车费59.6元．
【点评】本题考查有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则是解题关键．
25．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．
综上所述，值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；
（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【解答】解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则＝++＝﹣1+1+1＝1．
（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，
∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，
∴abc＞0，
∴＝＝1．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
﹣4km
﹣3km
6km
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