2023—2024 学年度第一学期汕头市蓝田中学九年级学科核心素养监测数学科试卷（含答案）

这是一份2023—2024 学年度第一学期汕头市蓝田中学九年级学科核心素养监测数学科试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
2，二次函数 y=﹣3(x﹣1)2+2的顶点坐标是（ ）
A.（﹣2，1） B.（1，2） C.（﹣1，2） D.（1，﹣2）
3.一元二次方程x2=3x的解为（ ）
A. x=0 B. x=3 C. x=0或x=3 D. x=0且x=3
4，将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线相应的函数解析式是（ ）
A. y=2(x﹣3)2﹣2 B. y=2(x﹣3)2+2 C. y=2(x+3)2+2 D. y=2(x+3)2﹣2
5.如图，一块直角三角板 ABC（∠A=60°）绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在同一条直线上时，三角板ABC旋转的角度为（ ）
A.150° B.120° C.60° D.30°

第5题图 第6题图 第10题图
6.如图，在⊙O中，弦AB=8 cm，OE⊥AB于E，OE=3 cm，则⊙O的半径为（ ）
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.10 cm
7.一元二次方程x2+ x+2=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定
8，关于二次函数y=2(x﹣2)2+5，下列说法错误的是（ ）
A.图象与y轴的交点坐标为（0，13） B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x=2时，函数有最小值为5 D. x>0时，y值随着x值的增大而增大
9.有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有 144 人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A.10人 B.11人 C.12人 D.13人
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0：③4a+2b+c>0：
④a﹣b+c>0；⑤b2﹣4ac>0.其中正确的是（ ）
A.②③④⑤ B.①②④ C. ②③⑤ D.①②③④⑤
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11.已知点（﹣1，y1）、（2，y2）在二次函数y=x2的图象上，则y1_____ y2（用“＞”“=”或“<”填空）
12.已知a是方程x2﹣2x﹣3=0的一个实数根，则2a2﹣4a﹣3的值为________
13.二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c >0的解集为_______
14.如图，将矩形 ABCD 绕点A 顺时针旋转 90°后，得到矩形 AB'C'D'，若 CD=4，AD=3，连接 CC'，那么 CC'的长是_______

第13题图 第14题图
15，已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为____________
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16.（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5=0.
（2）已知点M（b﹣2，a﹣b）与点（2a﹣b，2）关于原点对称，求点M的坐标。
17.已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0 一个根是x=﹣2，求k的值及方程的另一个根
18.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛？
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为 P，AB=2 m，BP=8 m，水嘴高 AD=6 m.
（1）以 A为坐标原点，AB 所在的直线为x轴，AD 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离 AC.

20.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上.
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，那么旋转中心的坐标为_____
旋转角度为_____
21.综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.方程x4﹣6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5=0，
解这个方程得：y1=1，y2=5，
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=5时，x2=5，∴x =±，
所以原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=，x4=﹣.
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.
请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：
（1）解方程：(x2﹣x) 2﹣4(x2﹣x) ﹣12=0.
（2）若（x2+ y2+1）（x2+ y2+3）=8，求x2+ y2的值.
五、解答题（三）（本题包括2小题，每小题12分，共24分）
22.综合探究：
（1）问题背景：如图甲，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD=CD，DE=5，求四边形ABCD的面积.
请直接写出四边形 ABCD的面积；
（2）类比迁移：如图乙，P为等边△MBC外一点，BP=1，CP=3，且∠BPC=120°，求四边形ABPC的面积；
（3）拓展延伸：如图丙，在五边形ABCDE中，BC=4，CD+AB=4，AE=DE=6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积.
23.综合运用：
如图，二次函数y= ax2+bx +3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点 C.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线 x=m 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值.

参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. <
12. 3
13. ﹣114. 5
15. 7
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）
16. （1）解：∵ x2﹣2x﹣5=0.
∴ x2﹣2x=5.
∴ x2﹣2x+1=5+1
∴(x﹣1)2=6
∴ x﹣1=±
x1=1+，x2=1﹣
（2）解：∵点M（b﹣2，a﹣b）与点（2a﹣b，2）关于原点对称
∴
解得：
∴点M（1，﹣2）
17.解：把x=﹣2代入x2﹣(k+3)x+2k+2=0得：
4+2k+6+2k+2=0
解得：k=﹣3
∴原方程化为：x2﹣4==0
解得：x1=﹣2，x2=2

∴方程的另一个根为2
18.解：设共有x 个队参加比赛，根据题意得：
x (x ﹣1) = 90
整理得：x2﹣x﹣90 =0，
解得：x1=10或x2=﹣9（舍去）。
∴共有10个队参加比赛.
答：共有10个队参加比赛
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19.解：（1）设抛物线的解析式为y = a(x﹣h)2 + k
∴y = a(x﹣2)2 +8
把D（0，6）代入y = a(x﹣2)2 +8得：
∴4a=﹣2
∴ a=﹣
∴y = ﹣ (x﹣2)2 +8
（2）令y =0
∴0= ﹣ (x﹣2)2 +8
∴(x﹣2)2 =16
解得：x1 = 6，x2 = x﹣2
∴点C（6，0）
∴AC=6
20. 解（1）如图，△A1B1C1即为所求
（2）如图，△A2B2C2即为所求
（3）中心Q的坐标为（3，0），旋转角度为180
故答案为：（3，0），180°.
21.解（1）设x2﹣x=y
原方程可变为：y2﹣4y﹣12=0
解得：y1=﹣2，y2=6，
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2
∴x2﹣x+2=0
∵△=b2﹣4 ac=(﹣1) 2﹣4×1×2=﹣7＜0
∴方程无解
当y=6时，x2﹣x=6
∴x2﹣x﹣6=0
解得：x1=3，x2=﹣2
∴原方程有2个根：x1=3，x2=﹣2
（2）x2+ y2=m （m≥0）
原方程可变为：（m +1）（m +3）=8
∴ m2+ 3m + m +3=8
整理得：m2+ 4m﹣5=0
解得：m1=﹣5（舍去），m2=1
∴x2+ y2的值为1
五、解答题（三）（本题包括2小题，每小题12分，共24分）
22.解：（1）由题可知S四边形ABCD = S正方形DEBF = 52 = 25
（2）如图，延长PC至D，取CD=1，连接AD.
在等边△ABC中，∠BAC = 60°.
∵ ∠BOC = 120°，
∴∠BPC = 120
∴∠BPC +∠ BAC = 180，
∴四边形ABPC中，∠ABP+ ∠ACP = 360°-180°= 180°
∴∠ABP = ∠ACD = 180°-∠ACP，
又∵AB=AC，BP = CD
∴ΔΑΒP≌ΔACD（SAS），
∴ΑP = ΑP，∠ΒΑP = ∠CAP.
∵∠BAP + ∠PAC = ∠BAC = 60°，
∴∠CAD + ∠PAC = 60°，
∴△APD为等边三角形且PD = PC+CD=3+1=4，
∴S四边形ABPC= SΔADP=×4×2=4

（3）如图，延长CD至DF=AB，连接EF、BE、CE.
∵AB = DF, AE = DE, ∠BAE = ∠FDE = 90° ,
∴ΔΑBΕ≌DFE(SAS),
∴EB = EF.
∵CD + AB = CD + DF = 4, BC = 4,
∴CD + DF = CF = BC,
∴ΔΕBC≌ΔEFS (SSS),
∴ S五边形ABCDE = S四边形BCFE = 2SΔECF = 2××4×6=24
23.解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入二次函数y= ax2+bx +3得：
解得：
∴二次函数的表达式：y = x2 – 4x + 3
（2）当x =0时，y= 3，即点C（0，3），
设BC的表达式为：y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得：
解得：
直线BC的解析式为：y= – x+3
过点P作 PE∥y轴，交直线BC于点E，如图
设点E（t，– t+3），点P（t，t 2 – 4 t +3）
∴PE= – t+3–（t 2 – 4 t +3）= – t+3– t 2+ 4t– 3= – t 2 +3t
∴S△BCP = S△BPE + S△CPE = （– t 2 +3t）×3= –（t –）2+
∵–<0
∴当t=时，△BCP面积的最大值为：
(3)设直线MN交x轴于点E
M (m，– m+ 3) ， N (m，m2 – 4m + 3)
∴ MN=︳m2 – 3m︳，ME=︳m – 3︳
∵ B（3，0），（0，3）
∴OB=OC
∴∠CBO=45°
∴△BEM为等腰直角三角形
∴BM=ME=︳m – 3︳
当MN= BM时，
①m2 – 3m =（m – 3），
解得m= ，
②m2 – 3m =– （m – 3）
解得m= –
当BN= MN时，∠NBM = ∠BMN = 45°
m2 – 4m + 3=0，
解得：m=1或m=3（舍）
当BM = BN 时，∠BMN = ∠BNM = 45°，
–（m2 – 4m + 3）=-m+3，
解得m=2或m= 3（舍），
∴当△BMN是等腰三角形时，m的值为，– ，1，2.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
C
A
C
C
D
B
C