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安徽省淮北市五校2023-2024学年上学期八年级数学期中测试卷
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这是一份安徽省淮北市五校2023-2024学年上学期八年级数学期中测试卷，共14页。试卷主要包含了点P，在平面直角坐标系中，P，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每题4分，共计40分）
1．点P（3，﹣2）位于平面直角坐标系的（ ）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
2．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cmB．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cmD．4cm，6cm，5cm
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝3，b＝2D．a＝﹣3，b＝2
5．关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
7．两条直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（6，2）C．（1，﹣3）D．（1，7）
9．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
11．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ．
13．如图，△ECF中∠ECF＝90°，点C（﹣3，3），CE交x轴负半轴于点A，CF交y轴负半轴于点B，则OA﹣OB的值为 ．
14．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
三．解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分）
15．已知点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，求a、b的值．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
17．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
18．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出C′的坐标．
19．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
20．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
21．甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
（1）由图象可知，甲比乙迟出发 h，图中线段BC所在直线的函数解析式为 ；
（2）设甲的速度为v1km/h，求出v1的值；
（3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，A1是内角∠ABC，外角∠ACD的平分线的交点．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A＝100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，求∠An的度数．（直接写出结果）
23．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为7000元，使用B型车厢每节费用8000元．
（1）设运送这批钢材的总费用为y元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用车厢节数x表示总费用y的式子．
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨，每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
（3）在（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．点P（3，﹣2）位于平面直角坐标系的（ ）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
【分析】根据坐标系内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的坐标特点是解题的关键．
2．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）
【分析】A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
【解答】解：A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，
D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
故选：D．
【点评】此题考查了函数的概念，理解函数的概念为解题关键．
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cmB．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cmD．4cm，6cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、7+5＝12，不能组成三角形；
B、6+8＜15，不能组成三角形；
C、4+4＝8，不能组成三角形；
D、4+5＞6，能够组成三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝3，b＝2D．a＝﹣3，b＝2
【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题．
【解答】解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，
所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，﹣4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y＝﹣2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【分析】由题意可求得∠ACD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
7．两条直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质和a、b的正负情况，可以写出直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a经过哪几个象限，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当a＞0，b＞0时，直线y＝ax﹣b经过第一、三、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、三、四象限；
当a＞0，b＜0时，直线y＝ax﹣b经过第一、二、三象限，直线y＝bx﹣a经过第二、三、四象限；
当a＜0，b＞0时，直线y＝ax﹣b经过第二、三、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、二、三象限；
当a＜0，b＜0时，直线y＝ax﹣b经过第一、二、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、二、四象限；
由上可得，选项B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（6，2）C．（1，﹣3）D．（1，7）
【分析】根据题意，设点Q的坐标为（1，y），y＜0，根据PQ的长度列方程，求出y即可．
【解答】解：∵点Q在x轴下方，PQ∥y轴，
∴设点Q（1，y），y＜0．
又∵PQ＝5，
∴2﹣y＝5，解得y＝﹣3．
∴点Q的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键．
9．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
【分析】直线l1轴的表达式为y＝kx﹣3k，则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，即可求解．
【解答】解：∵直线l1与x轴的交点为B（3，0），
∴3k+b＝0，
∴y＝kx﹣3k，
直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）与y轴的交点坐标为（0，﹣6），
若直线l1与x轴的交点为B（3，0），
则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，
即：﹣6＜﹣3k＜0，
解得：0＜k＜2，
故选：D．
【点评】本题通过考查一次函数y＝kx+b的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定，l1与y轴交点在原点和点（0，﹣6）之间，进而求解．
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
二．填空题（共4小题）
11．函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 y＝﹣x+ ．
【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1．
将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+．
故答案为：y＝﹣x+．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．
13．如图，△ECF中∠ECF＝90°，点C（﹣3，3），CE交x轴负半轴于点A，CF交y轴负半轴于点B，则OA﹣OB的值为 6 ．
【分析】首先设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C（﹣3，3）代入得b＝3k+3，则直线CE的解析式为y＝kx+3k+3，进而求出点A的坐标可得OA的长；然后设直线CF的解析式为y＝mx+n，根据∠ECF＝90°得m＝，再将m＝，点C（﹣3，3）代入y＝mx+n得n＝3﹣，则直线CF的解析式为y＝x+3﹣，进而求出点B的坐标可得OB的长，据此即可求出OA﹣OB的长．
【解答】解：设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
将点C（﹣3，3）代入y＝kx+b之中，得：3＝﹣3k+b，
∴b＝3k+3，
∴直线CE的解析式为：y＝kx+3k+3，
∴y＝时，x＝，
∴点A的坐标为（，0）
∵点A在x轴的负半轴上，
∴OA＝3+，
设直线CF的解析式为：y＝mx+n，
∵∠ECF＝90°，
∴CE⊥CF，
∴m＝，
将m＝，，点C（﹣3，3）代入y＝mx+n之中，得：3＝+n，
解得：n＝3﹣，
∴直线CF的解析式为：y＝x+3﹣，
∴当x＝0时，y＝3﹣，
∴点B的坐标为（0，3﹣）
∵点B在y轴的负半轴上，
∴OB＝﹣3，
∴OA﹣OB＝（3+）﹣（﹣3）＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点坐标的方法，理解两个一次函数的图象互相垂直时解析式之间的关系是解答此题的关键．
14．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 ① （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 10或12或13或14 ．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，通过计算判断三角形三边a，b，c是否满足a﹣b＞b﹣c，然后根据结果进行判断；
（2）因为不能确定最长和最短边，分三种情况讨论：①2x+2＞16＞2x﹣6；②16＞2x+2＞2x﹣6；③2x﹣6＞16；然后根据计算结果可得答案．
【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4，
∴18﹣13＞13﹣9，
∴这个三角形为“不均衡三角形”；
∵9﹣8＝1，8﹣6＝2，
∴9﹣8＜8﹣6，
∴这个三角形不是“不均衡三角形”，
故答案为：①；
（2）共分3种情况讨论：
①2x+2＞16＞2x﹣6，
解得：7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得：x＜9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14，
∵16+14＞22，
∴能构成三角形；
②16＞2x+2＞2x﹣6，
16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2z﹣6），
解得：x＜3（不合题意舍去）；
③2x﹣6＞16时，
解得：x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得：x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，
当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18，
∵18+16＞26，
∴能构成三角形；
当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20，
∵20+16＞28，
∴能构成三角形；
当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22，
∵22+16＞30，
∴能构成三角形，
综上可知：x的整数值为10或12或13或14，
故答案为：10或12或13或14．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
三．解答题（共9小题）
15．已知点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，求a、b的值．
【分析】根据第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数，可得关于a、b的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，得
﹣3b+2＝5，﹣（2a﹣6）＝8．
解得b＝﹣1，a＝﹣1．
【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数得出关于a、b的方程是解题关键．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
17．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论；
（2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例，
∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），
∵x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2+3＝k（2﹣1），
解得k＝1，
∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4；
（2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由：
由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键．
18．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出C′的坐标．
【分析】（1）根据三角形面积求法得出即可；
（2）根据已知将△ABC各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点，即可作图；进而得出点C′的坐标．
【解答】解：（1）△ABC的面积是：×3×5＝7.5；
（2）作图如下：
∴点C′的坐标为：（1，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确平移图象的各顶点坐标是解题关键．
19．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；
（2）由（1）可知∠DAE＝40°，再由平行线的性质可得∠1＝40°，由角平分线的定义可得∠ADC＝80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DAE+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°，
∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE＝40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
20．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为 2 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据“短距”的定义解答即可；
（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“短距”为|﹣2|＝2．
故答案为：2；
（2）由题意可知|﹣2m+1|＝1，
解得m＝1或0；
（3）分类：①|2k﹣3|＝1，
解得k＝1或k＝2，
k＝1时，k+3＝4＞1，符合题意；
k＝2时，k+3＝5＞1，符合题意；
②|k+3|＝|2k﹣3|，
解得k＝1或k＝2或k＝6或k＝0，
k＝0时，（不合题意，舍去），
k＝6时，k+3＝9＞1（不合题意，舍去），
综上，k＝1、2．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
21．甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
（1）由图象可知，甲比乙迟出发 1 h，图中线段BC所在直线的函数解析式为 y＝15x﹣40 ；
（2）设甲的速度为v1km/h，求出v1的值；
（3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度；
（3）根据（2）中甲乙的速度可以分别求得甲乙从P地到Q地用的时间，从而可以将函数图象补充完整．
【解答】解：（1）由图象可知，甲比乙迟出发1h，
设线段BC所在直线的函数解析式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴线段BC所在直线的函数解析式为y＝15x﹣40．
故答案为：1；y＝15x﹣40；
（2）设甲的速度为v1km/h，设乙的速度为v2km/h，由题意得：
，
解得；
答：甲的速度为40km/h．
（3）如图所示：
根据题意得：
40（t﹣1）﹣25t＝32或25t＝200﹣32，
解得t＝4.8或6.72．
答：当甲、乙两人相距32km时，t的值为4.8或6.72．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，A1是内角∠ABC，外角∠ACD的平分线的交点．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A＝100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，求∠An的度数．（直接写出结果）
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BEC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A），然后整理后把∠A＝60°代入计算即可；
（2）根据角平分线定义得到∠FBC＝（180°﹣∠ABC），∠ECB＝（180°﹣∠ACB），再根据三角形内角和定理得∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），然后把∠A＝60°代入计算即可；
（3）根据角平分线定义得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BD，再根据三角形外角性质得∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD，∠A＝∠ACD﹣∠ABD，则∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BD＝2（∠A1CD﹣∠A1BD）＝2∠A1；
（4）根据（3）的结论可得到∠An＝，然后把∠A的度数代入即可．
【解答】解：（1）∵点E是两条内角平分线的交点，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，
∴∠A1EC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣∠A1EC＝120°；
（2）∵点F是两条外角平分线，
∴∠FBC＝（180°﹣∠ABC），∠ECB＝（180°﹣∠ACB），
∴∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
（3）∠A1＝∠A．理由如下：
∵点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BD，
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD，∠A＝∠ACD﹣∠ABD，
∴∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BD＝2（∠A1CD﹣∠A1BD）
∴∠A＝2∠A1，
即∠A1＝∠A；
（4）∵∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，
∴∠BA1C＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
由此可知An的度数为：∠An＝度．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．
23．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为7000元，使用B型车厢每节费用8000元．
（1）设运送这批钢材的总费用为y元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用车厢节数x表示总费用y的式子．
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨，每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
（3）在（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？
【分析】（1）总费用＝0.7×A型车厢节数+0.8×B型车厢节数．
（2）应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．35×A型车厢节数+25×B型车厢节数≥1240；15×A型车厢节数+35×B型车厢节数≥880．
（3）应结合（1）的函数，（2）的自变量的取值来解决．
【解答】解：（1）7000元＝0.7万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（40﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.7x+0.8（40﹣x）＝﹣0.1x+32；
（2）依题意，得，
解得：，
∴24≤x≤26，
∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：
①24节A型车厢和16节B型车厢；
②25节A型车厢和15节B型车厢；
③26节A型车厢和14节B型车厢．
（3）由函数y＝﹣0.1x+32知，x越大，y越少，故当x＝26时，运费最省，这时y＝﹣0.1×26+32＝29.4（万元），
答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省，最小运费为29.4万元．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．
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一．选择题（共10小题，每题4分，共计40分）
1．点P（3，﹣2）位于平面直角坐标系的（ ）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
2．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cmB．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cmD．4cm，6cm，5cm
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝3，b＝2D．a＝﹣3，b＝2
5．关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
7．两条直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（6，2）C．（1，﹣3）D．（1，7）
9．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共4小题，每题5分，共计20分）
11．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ．
13．如图，△ECF中∠ECF＝90°，点C（﹣3，3），CE交x轴负半轴于点A，CF交y轴负半轴于点B，则OA﹣OB的值为 ．
14．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 ．
三．解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分）
15．已知点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，求a、b的值．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
17．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
18．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出C′的坐标．
19．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
20．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
21．甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
（1）由图象可知，甲比乙迟出发 h，图中线段BC所在直线的函数解析式为 ；
（2）设甲的速度为v1km/h，求出v1的值；
（3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，A1是内角∠ABC，外角∠ACD的平分线的交点．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A＝100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，求∠An的度数．（直接写出结果）
23．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为7000元，使用B型车厢每节费用8000元．
（1）设运送这批钢材的总费用为y元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用车厢节数x表示总费用y的式子．
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨，每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
（3）在（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．点P（3，﹣2）位于平面直角坐标系的（ ）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
【分析】根据坐标系内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的坐标特点是解题的关键．
2．下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）
【分析】A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
【解答】解：A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，
D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
故选：D．
【点评】此题考查了函数的概念，理解函数的概念为解题关键．
3．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．7cm，5cm，12cmB．6cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cmD．4cm，6cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、7+5＝12，不能组成三角形；
B、6+8＜15，不能组成三角形；
C、4+4＝8，不能组成三角形；
D、4+5＞6，能够组成三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝3，b＝2D．a＝﹣3，b＝2
【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题．
【解答】解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，
所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（ ）
A．必经过点（1，2）
B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4）
C．过第一、三、四象限
D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，﹣4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y＝﹣2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【分析】由题意可求得∠ACD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
7．两条直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a，在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质和a、b的正负情况，可以写出直线y＝ax﹣b与y＝bx﹣a经过哪几个象限，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当a＞0，b＞0时，直线y＝ax﹣b经过第一、三、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、三、四象限；
当a＞0，b＜0时，直线y＝ax﹣b经过第一、二、三象限，直线y＝bx﹣a经过第二、三、四象限；
当a＜0，b＞0时，直线y＝ax﹣b经过第二、三、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、二、三象限；
当a＜0，b＜0时，直线y＝ax﹣b经过第一、二、四象限，直线y＝bx﹣a经过第一、二、四象限；
由上可得，选项B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（6，2）C．（1，﹣3）D．（1，7）
【分析】根据题意，设点Q的坐标为（1，y），y＜0，根据PQ的长度列方程，求出y即可．
【解答】解：∵点Q在x轴下方，PQ∥y轴，
∴设点Q（1，y），y＜0．
又∵PQ＝5，
∴2﹣y＝5，解得y＝﹣3．
∴点Q的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键．
9．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
【分析】直线l1轴的表达式为y＝kx﹣3k，则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，即可求解．
【解答】解：∵直线l1与x轴的交点为B（3，0），
∴3k+b＝0，
∴y＝kx﹣3k，
直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）与y轴的交点坐标为（0，﹣6），
若直线l1与x轴的交点为B（3，0），
则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，
即：﹣6＜﹣3k＜0，
解得：0＜k＜2，
故选：D．
【点评】本题通过考查一次函数y＝kx+b的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定，l1与y轴交点在原点和点（0，﹣6）之间，进而求解．
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
二．填空题（共4小题）
11．函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 y＝﹣x+ ．
【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1．
将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+．
故答案为：y＝﹣x+．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．
13．如图，△ECF中∠ECF＝90°，点C（﹣3，3），CE交x轴负半轴于点A，CF交y轴负半轴于点B，则OA﹣OB的值为 6 ．
【分析】首先设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C（﹣3，3）代入得b＝3k+3，则直线CE的解析式为y＝kx+3k+3，进而求出点A的坐标可得OA的长；然后设直线CF的解析式为y＝mx+n，根据∠ECF＝90°得m＝，再将m＝，点C（﹣3，3）代入y＝mx+n得n＝3﹣，则直线CF的解析式为y＝x+3﹣，进而求出点B的坐标可得OB的长，据此即可求出OA﹣OB的长．
【解答】解：设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
将点C（﹣3，3）代入y＝kx+b之中，得：3＝﹣3k+b，
∴b＝3k+3，
∴直线CE的解析式为：y＝kx+3k+3，
∴y＝时，x＝，
∴点A的坐标为（，0）
∵点A在x轴的负半轴上，
∴OA＝3+，
设直线CF的解析式为：y＝mx+n，
∵∠ECF＝90°，
∴CE⊥CF，
∴m＝，
将m＝，，点C（﹣3，3）代入y＝mx+n之中，得：3＝+n，
解得：n＝3﹣，
∴直线CF的解析式为：y＝x+3﹣，
∴当x＝0时，y＝3﹣，
∴点B的坐标为（0，3﹣）
∵点B在y轴的负半轴上，
∴OB＝﹣3，
∴OA﹣OB＝（3+）﹣（﹣3）＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点坐标的方法，理解两个一次函数的图象互相垂直时解析式之间的关系是解答此题的关键．
14．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 ① （填序号）．
①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 10或12或13或14 ．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，通过计算判断三角形三边a，b，c是否满足a﹣b＞b﹣c，然后根据结果进行判断；
（2）因为不能确定最长和最短边，分三种情况讨论：①2x+2＞16＞2x﹣6；②16＞2x+2＞2x﹣6；③2x﹣6＞16；然后根据计算结果可得答案．
【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4，
∴18﹣13＞13﹣9，
∴这个三角形为“不均衡三角形”；
∵9﹣8＝1，8﹣6＝2，
∴9﹣8＜8﹣6，
∴这个三角形不是“不均衡三角形”，
故答案为：①；
（2）共分3种情况讨论：
①2x+2＞16＞2x﹣6，
解得：7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得：x＜9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14，
∵16+14＞22，
∴能构成三角形；
②16＞2x+2＞2x﹣6，
16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2z﹣6），
解得：x＜3（不合题意舍去）；
③2x﹣6＞16时，
解得：x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得：x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，
当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18，
∵18+16＞26，
∴能构成三角形；
当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20，
∵20+16＞28，
∴能构成三角形；
当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22，
∵22+16＞30，
∴能构成三角形，
综上可知：x的整数值为10或12或13或14，
故答案为：10或12或13或14．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
三．解答题（共9小题）
15．已知点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，求a、b的值．
【分析】根据第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数，可得关于a、b的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由点P（2a﹣6，﹣3b+2）在第二象限，到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，得
﹣3b+2＝5，﹣（2a﹣6）＝8．
解得b＝﹣1，a＝﹣1．
【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点到x轴的距离是纵坐标，到y轴的距离是横坐标的相反数得出关于a、b的方程是解题关键．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
17．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论；
（2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例，
∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），
∵x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2+3＝k（2﹣1），
解得k＝1，
∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4；
（2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由：
由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键．
18．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若把△ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出C′的坐标．
【分析】（1）根据三角形面积求法得出即可；
（2）根据已知将△ABC各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点，即可作图；进而得出点C′的坐标．
【解答】解：（1）△ABC的面积是：×3×5＝7.5；
（2）作图如下：
∴点C′的坐标为：（1，1）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确平移图象的各顶点坐标是解题关键．
19．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；
（2）由（1）可知∠DAE＝40°，再由平行线的性质可得∠1＝40°，由角平分线的定义可得∠ADC＝80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DAE+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°，
∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE＝40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
20．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为 2 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据“短距”的定义解答即可；
（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“短距”为|﹣2|＝2．
故答案为：2；
（2）由题意可知|﹣2m+1|＝1，
解得m＝1或0；
（3）分类：①|2k﹣3|＝1，
解得k＝1或k＝2，
k＝1时，k+3＝4＞1，符合题意；
k＝2时，k+3＝5＞1，符合题意；
②|k+3|＝|2k﹣3|，
解得k＝1或k＝2或k＝6或k＝0，
k＝0时，（不合题意，舍去），
k＝6时，k+3＝9＞1（不合题意，舍去），
综上，k＝1、2．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
21．甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h）甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
（1）由图象可知，甲比乙迟出发 1 h，图中线段BC所在直线的函数解析式为 y＝15x﹣40 ；
（2）设甲的速度为v1km/h，求出v1的值；
（3）根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距32km时t的值．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度；
（3）根据（2）中甲乙的速度可以分别求得甲乙从P地到Q地用的时间，从而可以将函数图象补充完整．
【解答】解：（1）由图象可知，甲比乙迟出发1h，
设线段BC所在直线的函数解析式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴线段BC所在直线的函数解析式为y＝15x﹣40．
故答案为：1；y＝15x﹣40；
（2）设甲的速度为v1km/h，设乙的速度为v2km/h，由题意得：
，
解得；
答：甲的速度为40km/h．
（3）如图所示：
根据题意得：
40（t﹣1）﹣25t＝32或25t＝200﹣32，
解得t＝4.8或6.72．
答：当甲、乙两人相距32km时，t的值为4.8或6.72．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E是两条内角平分线的交点，F是两条外角平分线的交点，A1是内角∠ABC，外角∠ACD的平分线的交点．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）探索∠A1与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A＝100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线交于点An，求∠An的度数．（直接写出结果）
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BEC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A），然后整理后把∠A＝60°代入计算即可；
（2）根据角平分线定义得到∠FBC＝（180°﹣∠ABC），∠ECB＝（180°﹣∠ACB），再根据三角形内角和定理得∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），然后把∠A＝60°代入计算即可；
（3）根据角平分线定义得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BD，再根据三角形外角性质得∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD，∠A＝∠ACD﹣∠ABD，则∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BD＝2（∠A1CD﹣∠A1BD）＝2∠A1；
（4）根据（3）的结论可得到∠An＝，然后把∠A的度数代入即可．
【解答】解：（1）∵点E是两条内角平分线的交点，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，
∴∠A1EC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEC＝180°﹣∠A1EC＝120°；
（2）∵点F是两条外角平分线，
∴∠FBC＝（180°﹣∠ABC），∠ECB＝（180°﹣∠ACB），
∴∠BFC＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
（3）∠A1＝∠A．理由如下：
∵点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BD，
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD，∠A＝∠ACD﹣∠ABD，
∴∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BD＝2（∠A1CD﹣∠A1BD）
∴∠A＝2∠A1，
即∠A1＝∠A；
（4）∵∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，
∴∠BA1C＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
由此可知An的度数为：∠An＝度．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．
23．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为7000元，使用B型车厢每节费用8000元．
（1）设运送这批钢材的总费用为y元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用车厢节数x表示总费用y的式子．
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨，每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
（3）在（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？
【分析】（1）总费用＝0.7×A型车厢节数+0.8×B型车厢节数．
（2）应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．35×A型车厢节数+25×B型车厢节数≥1240；15×A型车厢节数+35×B型车厢节数≥880．
（3）应结合（1）的函数，（2）的自变量的取值来解决．
【解答】解：（1）7000元＝0.7万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（40﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.7x+0.8（40﹣x）＝﹣0.1x+32；
（2）依题意，得，
解得：，
∴24≤x≤26，
∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：
①24节A型车厢和16节B型车厢；
②25节A型车厢和15节B型车厢；
③26节A型车厢和14节B型车厢．
（3）由函数y＝﹣0.1x+32知，x越大，y越少，故当x＝26时，运费最省，这时y＝﹣0.1×26+32＝29.4（万元），
答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省，最小运费为29.4万元．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．
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