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山西省晋中市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试卷
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这是一份山西省晋中市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试卷，共9页。
【考试时间120分钟 满分150分】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．B．-3C．D．6
2．是方程表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
4．设在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）
A．B． C．D．
5．已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，那么（ ）
A．B．C．D．
6．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是
A．1B．2C．3D．4
7．椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在长方体中，，，，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．方程表示的曲线可能是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．直线
10．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ）
A．点恒在以线段为直径的圆上B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为4
11．关于曲线C：x2-xy+y2=9，以下结论正确的是（ ）
A．曲线C关于直线y=x对称
B．曲线C上恰好有4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上的点到原点距离的最大值为
D．曲线C上任意一点都不在圆x2+y2=6的内部
12．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13．已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是________________
14．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
15．已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________
16．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等。满足的点（）组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则:= ________
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积．
18．(本小题满分12分）
如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是AB、PD的中点．
（1）求证：平面PCD．
（2）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求的长．
20． (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点．
（1）将表示为的函数；
（2）若，求的周长．
21．(本小题满分12分)
已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B 两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点 ，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
2021—2022学年第一学期高二期中考试数学试题答案
1---4 A B B D 5---8 B D D D 9. ACD 10.BCD 11. ACD
13. x+y-1=0 14. 2 15. 16.
17. （1）；（2）．
（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．
18． （1）∵，为中点，∴.
∵平面,又平面.
∴.
∵,,∴平面.
∵平面.∴.
∵，∴平面.
（2）取的中点,连接、，则∥，.
又∥， ，∴∥， .∴四边形为平行四边形.
∴∥，由（1）平面，∴平面，为三棱锥的高.
又，.
.
得三棱锥 的体积.
19.（1）证明：设与的交点为，连接，
因是的中点，侧面是菱形，即为的中点，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）连接，因为，，，
所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，即，
由于，，，
所以平面，
所以，且.
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以.
20. （1），；（2）.
（1），
整理得，
则，
，其中；
（2）由，
则，解得，
经检验，此时，
所以，
由抛物线的定义，
有，
又，
所以的周长为．
21.解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
22. （1）；（2）经过定点，定点坐标．
解：（1）因为点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，所以，化简得曲线C的方程为：；
（2） 由（1）得，由题意，直线的斜率存在，
设直线PQ的方程为，
联立方程组，得，
设，所以，
则
，
所以，
所以直线经过定点，定点坐标．
【考试时间120分钟 满分150分】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．B．-3C．D．6
2．是方程表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
4．设在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）
A．B． C．D．
5．已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，那么（ ）
A．B．C．D．
6．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是
A．1B．2C．3D．4
7．椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在长方体中，，，，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．方程表示的曲线可能是（ ）
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．直线
10．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ）
A．点恒在以线段为直径的圆上B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为4
11．关于曲线C：x2-xy+y2=9，以下结论正确的是（ ）
A．曲线C关于直线y=x对称
B．曲线C上恰好有4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上的点到原点距离的最大值为
D．曲线C上任意一点都不在圆x2+y2=6的内部
12．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13．已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是________________
14．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
15．已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________
16．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等。满足的点（）组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则:= ________
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积．
18．(本小题满分12分）
如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是AB、PD的中点．
（1）求证：平面PCD．
（2）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求的长．
20． (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点．
（1）将表示为的函数；
（2）若，求的周长．
21．(本小题满分12分)
已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B 两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点 ，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
2021—2022学年第一学期高二期中考试数学试题答案
1---4 A B B D 5---8 B D D D 9. ACD 10.BCD 11. ACD
13. x+y-1=0 14. 2 15. 16.
17. （1）；（2）．
（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．
18． （1）∵，为中点，∴.
∵平面,又平面.
∴.
∵,,∴平面.
∵平面.∴.
∵，∴平面.
（2）取的中点,连接、，则∥，.
又∥， ，∴∥， .∴四边形为平行四边形.
∴∥，由（1）平面，∴平面，为三棱锥的高.
又，.
.
得三棱锥 的体积.
19.（1）证明：设与的交点为，连接，
因是的中点，侧面是菱形，即为的中点，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）连接，因为，，，
所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，即，
由于，，，
所以平面，
所以，且.
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以.
20. （1），；（2）.
（1），
整理得，
则，
，其中；
（2）由，
则，解得，
经检验，此时，
所以，
由抛物线的定义，
有，
又，
所以的周长为．
21.解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
22. （1）；（2）经过定点，定点坐标．
解：（1）因为点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，所以，化简得曲线C的方程为：；
（2） 由（1）得，由题意，直线的斜率存在，
设直线PQ的方程为，
联立方程组，得，
设，所以，
则
，
所以，
所以直线经过定点，定点坐标．
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