雷州市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份雷州市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数,则z的实部是( )
A.2B.0C.D.
3、某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为( )
A.3B.4C.3.5D.4.5
4、已知m,n表示直线,,表示平面,下列正确的是( )
A.,,B.,,
C.,D.,
5、如图,设,,,若,,则( )
A.B.C.D.
6、已知,,,则点A到直线BC的距离为( )
A.B.1C.D.
7、在正方体中,直线与面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8、如图,正方体的棱长为6,点M为的中点,点P为底面上的动点,满足的点P的轨迹长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.个球都是红球的概率为B.个球中恰有个红球的概率为
C.至少有个红球的概率为D.个球不都是红球的概率为
10、已知空间向量,,下列结论正确的是( )
A.
B.,夹角的余弦值为
C.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,且,则实数
D.在上的投影向量为
11、对于空间一点O,下列命题中正确的是( ).
A.若,则P,A,B,C四点共面
B.若,则P,A,B,C四点共面
C若,则P,A,B三点共线
D.若,则B是线段AP的中点
12、如图,在直三棱柱中,,,点D,E分别是线段BC,上的动点(不含端点),且.则下列说法正确的是( )
A.平面
B.点到直线的距离为1
C.异面直线与所成角的正切值为
D.平面AEC与平面ECD的夹角的余弦值为
三、填空题
13、若,则_________.
14、已知角的终边经过点P(1,﹣2),则tan的值是_________.
15、若某正四棱台的上,下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为______.
16、已知为坐标原点,,,,若点M在直线OC上运动,则的最小值为__________.
四、解答题
17、已知,,,,,求:
（1）,,;
（2）与夹角的余弦值.
（1）,,
（2）
18、如图,在四棱柱中,四边形ABCD是正方形,,,且,设,,.
（1）试用,,表示;
（2）已知O是的中点,求DO的长.
19、如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,E,F分别是PC,AD中点.
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值;
（2）求点E到平面PBF的距离.
20、三棱柱中,D是正方形的中心,,平面,且.
（1）M是棱的中点,求证:平面;
（2）求面与面夹角的大小.
21、如图,在正四棱锥中,底面边长为,点Р在线段SD上,且的面积为1.
（1）是否存在点P,使得直线SC与平面所成角的余弦值为?若存在,求出点P的位置:若不存在,说明理由.
（2）若点Р是SD的中点,点Q是弦SC所对的外接圆劣弧上的一个动点,求PQ长度的取值范围.
22、某学校组织人工智能知识竞赛,在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答,每答对1题得20分,答错得0分;第二轮从B类分值分别为10,20,30的3个问题中随机抽取2题作答,每答对1题该题得满分,答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲,乙同时参赛,在A类的4个问题中,甲每个问题答对的概率为,乙只能答对3个问题;在B类3个分值分别为10,20,30的问题中,甲答对的概率分别为1,,,乙答对的概率分别为,,.甲,乙回答任一问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲,乙在第一轮得最高分的概率;
（2）谁晋级复赛的概率更大?请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析:由补集的定义可知,,
故选:A.
2、答案：B
解析:由复数,得z的实部是0,
故选:B.
3、答案：B
解析：由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，
由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.
故选：B.
4、答案：C
解析:A选项,若,,,则或m,n异面;
B选项,若,,,则m,n相交或异面;
C选项,根据线面垂直的性质定理可知C选项正确;
D选项,若,,则或.
故选:C
5、答案：A
解析:由,得,由,得,
所以,
故选:A.
6、答案：A
解析:,,,
,,
点A到直线BC的距离为:
.
故选:A
7、答案：D
解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
有,令,则,
所以,
故,
设直线与平面所成的平面角为,
则.
故选:D.
8、答案：B
解析:分别以DA,DC,为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,设,,,
则,,
由得,即,
由于,,所以,,
所以点P的轨迹为面上的直线:,,即图中的线段EF,
由图知:,
故选:B.
9、答案：AB
解析:对于A选项,个球都是红球的概率为,A选项正确;
对于B选项,个球中恰有个红球的概率为,B选项正确;
对于C选项,至少有个红球的概率为,C选项错误;
对于D选项,个球不都是红球的概率为,D选项错误.
故选:AB.
10、答案：BCD
解析:对于A,,,故A错误;
对于B,因为,,所以,,
,设与的夹角为,则,故B正确;
对于C,因为,所以,则,解得,故C正确;
对于D,在上的投影向量为,D正确.
故选:BCD.
11、答案：BCD
解析:对A,因为,则P,A,B,C四点不共面,故A错误;
对B,因为,则P,A,B,C四点共面,故B正确;
对C,因为,则P,A,B三点共线,故C正确;
对D,,即,即,则,,共线,且点P,B在点A的一侧,
又因为,有公共点A,则点A,P,B三点共线,则B是线段AP的中点,故D正确.
故选:BCD.
12、答案：AD
解析:在直三棱柱中,由,得,
平面,平面,所以平面,A正确;
在中,,在中,斜边,
边上的高,则点到直线B1C的距离为,B错误;
由,得异面直线与所成角为或其补角,
在中,,,则,C错误;
以A为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,,,
设平面的法向量,则,令,得,
设平面的一个法向量为,则,令,得,
于是,显然二面角的大小为锐角,
二面角即二面角,所以二面角的余弦值为,D正确.
故选:AD
13、答案：或
解析:由题意得.
故答案为:
14、答案：
解析:因为角的终边经过点,所以.
15、答案：或
解析:四棱台中,过点A,D分别作,于点Q,P,
则,则,
又,由勾股定理得,
故梯形的面积为,
故它的表面积为.
故答案为:
16、答案：
解析:因为点M在直线OC上运动,可设,,
因为,所以,即
又,,所以,,
因此,,
所以
,
所以当时,取最小值为.
故答案为:.
17、答案：解析:（1）因为,,,
,
,即,解得,
,,
又,,,
所以,故,
.
（2）因为,,
.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）.
（2）由题意知,,,,
.
,
19、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）因平面ABCD,ABCD为正方形,则PD,DA,DC三线两两互相垂直,
如图,以点D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则直线DE的方向向量,直线PF的方向向量,
,
所以直线DE和PF夹角的余弦值为.
（2）由（1）知,,,,
设平面PBF的法向量,则,令,得,
所以点E到平面PBF的距离为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）连接,,
证明:D是正方形的中心,,则,
又平面,平面,
,又,
由勾股定理得,同理,,
,均为等边三角形,又M为中点,
,,,
又平面,平面,
平面,
,
平面;
（2）以D为原点,DA,,分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
,,,,
,,,
设面的法向量,则,解得,
令,则,故,由（1）知,面的法向量为,
设面与面的夹角为,
则,
,
21、答案：（1）存在,点P是靠近s点的三等分点
（2）
解析:（1）因为是正四棱锥,
所以顶点在底面射影是正方形中心,即的中点,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为底面边长为,所以,
因为的面积为1,所以有,
,,,,
,,,设
设,
,
设平面的法向量为,
所以,
因此,
假设存在点P,使得直线SC与平面所成角的余弦值为,
所以,或,因为,所以舍去,
所以假设成立,此时,即点P是靠近s点的三等分点.
.
（2）由（1）可知:,
,
因为,
所以是以为斜边的直角三角形,
所以外接圆的圆心是,且半径为,
如下图所示:设
所以在yOz平面内,,
于是在空间直角坐标系下,,
点Р是SD的中点,所以,
因此,
因为,所以,因此.
22、答案：（1）,
（2）乙晋级复赛的概率更大,理由见解析
解析:（1）在A类的4个问题中,甲每个问题答对的概率为,
所以甲在第一轮得最高分(即60分)的概率为,
在A类的4个问题中,乙只能答对3个问题,
设这4个问题分别为a,b,c,d,乙只会回答其中的a,b,c,
从中随机选三个问题所得的4个样本点为:a,b,c;a,b,d;a,c,d;b,c,d,
得60分的一个样本点为a,b,c,所以乙在第一轮得最高分（即60分）的概率为.
（2）甲在第一轮的得分可能为0,20,40,60,乙在第一轮的得分可能为40,60.
把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e,f,g,答对分别记为E,F,G,
所以甲在第一轮得40分的概率为
,
甲在第一轮得60分的概率为,
甲在第二轮得分分类如下:
选10分和20分的题所得分数为10分和30分,
选10分和30分的题所得分数为10分和40分,
选20分和30分的题所得分数为0分,20分,30分和50分,
所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为
.
由（1）得,乙在第一轮得40分概率为,乙在第一轮得60分的概率为,
乙在第二轮得分分类如下:
选10分和20分的题所得分数为0分,10分,20分和30分,
选10分和30分的题所得分数为0分,10分,30分和40分,
选20分和30分的题所得分数为0分,20分,30分和50分,
所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为
.
因为,所以乙晋级复赛的概率更大.