南宁市第十四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份南宁市第十四中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共43页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 二次函数的二次项系数是（ ）
A. 2B. 6C. －1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的一般形式找出，，的值即可．
【详解】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，在中正确判断，，的值是解题关键．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．，是分式方程，故本选项不符合题意；
D．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 确定性事件
【答案】C
【解析】
【分析】随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件．
【详解】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．
4. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5. 如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中（不过括边界线）取一点，则这个点取在阴影部分的概率是（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积比得出概率是解题的关键．
6. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
8. 下表示用计算器探索函数时所得的数值：
则方程的一个解的取值范围为（ ）
A. 0【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
【详解】∵二次函数中，a=1>0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴
∴时y随x的增大而增大，
∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0，
∴方程的一个正根：0.5故选C.
【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法.
9. 如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，
【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
10. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【详解】x+1+（x+1）x=81
整理得，（1+x）2=81．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
12. 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:，且
所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 点关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
14. 已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】若半径为，点到圆心的距离为，根据当时，点在圆外即可求解．
【详解】解：∵的半径为，点在外，
∴点到圆心的距离的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断．解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
15. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
则估计这种绿豆发芽概率为______（精确到0.01）
【答案】0.93
【解析】
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
16. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数关系式，求出抛物线的对称轴即可解决．
【详解】解：h=-5t2+20t，
a=-5，b=20，
∴t=-，
则小球在2s时，达到最大高度．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
17. 已知a为方程一个根，则代数式的值为______
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件，求出代数式的值，然后再把所求的代数式的前两项提取公因数，再整体代入计算即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
18. 如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，，
，
正方形的边长为2，
，
阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程和答题步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方，计算加减法即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了有理数的加减法运算，有理数的乘除法运算和乘方运算的运用，解题关键是要注意运算的顺序和符号的确定．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法可进行求解．
【详解】解：
或
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）画出绕点B逆时针旋转后得到的，并求出点C旋转到的路径长．
【答案】（1）图见详解
（2）图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据弧长计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，△即为所求；
【小问2详解】
如图所示，△即为所求，
，，
点在旋转过程中经过的路径．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质，轨迹，熟练掌握旋转变换的性质，以及弧长公式是解题的关键．
22. 小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮．

（1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能亮起来的概率是____；
（2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图分析所有结果总数与闭合开关和或和的结果数，再用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：，
答：小灯泡能亮起来的概率是．
【小问2详解】
解：画树状图如下 ：

由图可知，所有可能发生的结果共有12种，能使灯泡亮的共有4种，所以小灯泡能亮起来的概率为．
答：小灯泡能亮起来的概率为．
【点睛】本题考查用概率公式和用画树状图可列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
23. 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）.
（4）归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4），越小
（5）0
【解析】
【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
（2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果；
（3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
（4）比较大小得出结果；
（5）圆的半径相等，从而得出结果．
【小问1详解】
解：图1，
，，
，
，
是等边三角形，
，
∵C为的中点，为半径，
∴，
；
【小问2详解】
解：如图2，

，，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，

，，
是等边三角形，
，
在中，
，
，
故答案为：，；
【小问4详解】
解：，
，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
故答案为：；越小．
【小问5详解】
解：圆的半径相等，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．
24. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

（1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）
【答案】（1）
（2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为．
∵图象过两点，
，解得
∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
设销售收入为万元，
①当时，，
，当时，（万元）．
②当时，，
，
∴随的增大而增大，
∴当时，（万元）．
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．

（1）求的大小；
（2）若点F在的延长线上，且，求证：与相切．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质，得出，进而求出，，再根据圆周角定理得出答案；
（2）根据等腰三角形的判定和性质可得，进而得出，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出即可．
【小问1详解】
解：连接，

与相切于点，
，即，
，
，
，
，
【小问2详解】
证明：连接，

，，
，
，
又，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
是直角三角形，
即，
，是半径，
是的切线．
【点睛】本题考查切线性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．
26. 如图1，正方形和正方形，A，E，B三点共线，AB＝8，，将正方形绕点A逆时针旋转，连接，．
（1）如图2，求证：；
（2）如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求BE的长；
（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）过点作于，根据正方形的性质与勾股定理得，从而求得，再在在中，由勾股定理，求得，即可由求解．
（3）过点作交的延长线于，根据邻补角的定义求出，解直角三角形求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根据代入数据计算即可得解；
【小问1详解】
证明：在正方形和正方形中，
，，，
，
，
，
在和中，，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，
∵正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴
在中，由勾股定理，得
∴．
【小问3详解】
解：如图2，过点作交的延长线于，
，
，
，
，
，
在中，，
；
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形．属四边形综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键．每批粒数n
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
4000
5000
发芽的频数m
9
44
92
461
928
1396
1866
2794
3728
4646
发芽的频率（精确到0.001
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
0932
0.929