专题24.1 全册综合测试卷（沪科版）

这是一份专题24.1 全册综合测试卷（沪科版），文件包含专题241全册综合测试卷沪科版原卷版docx、专题241全册综合测试卷沪科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

 全册综合测试卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋·四川广元·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=513，则tanA的值为（）
A．512 B．125 C．23 D．1213
【答案】B
【分析】根据cosA=513，设AC=5x,AB=13x,，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得cosA=513，
故设AC=5x,AB=13x,
则BC=AB2-BC2=12x，
∴tanA=BCAC=12x5x=125.
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设AC=5x,AB=13x是解题关键．
2．（3分）（2023春·山西大同·九年级校联考期中）将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）．
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
【答案】D
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式．
【详解】解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）
∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）
∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称
∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数
∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1
∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键．
3．（3分）（2023秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线a∥b∥c，若AB=CD，ADDF=23，则BGGE=（    ）

A．14 B．13 C．23 D．32
【答案】A
【分析】根据a∥b可得AGGD=ABCD=1，从而得到AG=GD=12AD，再由ADDF=23，可得DF=32AD，最后再由a∥b∥c可得BGGE=AGGF=12ADGD+DF=12AD12AD+32AD=14，进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵a∥b，AB=CD，
∴AGGD=ABCD=1，
∴AG=GD，
∴AG=GD=12AD，
∵ADDF=23，
∴DF=32AD，
∵a∥b∥c，
∴BGGE=AGGF=12ADGD+DF=12AD12AD+32AD=14，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键．
4．（3分）（2023秋·浙江·九年级期末）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数y=x2+2mx-m (m为常数）的图象上存在两个二倍点Mx1，y1，Nx2,y2，且x1<1 A．m<2 B．m<1 C．m<0 D．m>0
【答案】B
【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，x1、x2是方程x2+2mx-m=2x的两个解，根据根与系数的关系得出x1+x2=2-2m，x1⋅x2=-m，根据根的判别式得出Δ=2m-22+4m>0，根据4m-122+3>0，得出m取任意实数时，Δ>0总成立，根据x1<10，即x1-1x2-1<0，得出-m-2-2m+1<0，求出m的值即可．
【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，
∴点Mx1，y1，Nx2,y2一定在直线y=2x上，
又∵点Mx1，y1，Nx2,y2在二次函数y=x2+2mx-m (m为常数）的图象上，
∴x1、x2是方程x2+2mx-m=2x的两个解，
即x2+2m-2x-m=0，
∴x1+x2=2-2m，x1⋅x2=-m，
Δ=2m-22+4m>0，
∵2m-22+4m=4m2-4m+4=4m2-m+4=4m-122+3，
又∵m-122≥0，
∴4m-122+3>0，
∴m取任意实数时，Δ>0总成立，
∵x1<1 ∴x1-1<0，x2-1>0，
∴x1-1x2-1<0，
即x1x2-x1+x2+1<0，
∴-m-2-2m+1<0，
解得：m<1，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出x1、x2是方程x2+2mx-m=2x的两个解，且x1-1x2-1<0．
5．（3分）（2023秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，对折矩形ABCD使得BC与AD重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点G落在EF上，折痕是BM，连接MF，若MF⊥BM，则点BC的长是（    ）
  
A．53 B．33 C．8 D．43
【答案】A
【分析】由矩形性质和折叠性质可得BG=AB=6，AE=BE=DF=12AB=3，∠GEB=90°，∠ABM=∠GBM，可得∠EGB=30°，从而可得∠GBE=60°，可得∠ABM=30°，从而可得AM的长，∠DMF=30°，DF=3即可求解DM，进而求出AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
由折叠性质可得：BG=AB=6，AE=BE=DF=12AB=3，∠GEB=90°，∠ABM=∠GBM，
在Rt△GEB中，
BE=12AB=12BG，
∴∠EGB=30°，
∴∠GBE=60°，
∴∠ABM=12∠GBE=30°，
∴∠AMB=90°-30°=60°，
∴AM=tan30°⋅AB=33×6=23，
∵MF⊥BM，
∴∠BMF=90°，
∴∠DMF=180°-60°-90°=30°，
∴∠DFM=60°，
在Rt△MDF中，
MD=tan60°⋅DF=3×3=33，
∴AD=AM+MD=23+33=53，
∴BC=AD=53，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出∠EGB=30°．
6．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）如图，直线y=-x与反比例函数y=-6x的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接AD,BC，则四边形ACBD的面积为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12∣k∣，得出S△AOC=S△ODB=12∣k∣=3，再根据反比例函数的对称性可知OC=OD,AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC=S△ODB=12∣k∣=3，
又∵OC=OD,AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=3，
∴四边形ACBD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×3=12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k；图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12∣k∣，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．
7．（3分）（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+m+1x-14m2-1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（　　）
A．2+5 B．2-5 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】当x=0时，可求得B为0，-14m2-1，由OA=OB可得A为-14m2-1，0或14m2+1，0，将A的坐标代入y=x2+m+1x-14m2-1，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当x=0时，y=-14m2-1，
∴抛物线与y轴的交点B为0，-14m2-1，
∵ OA=OB，
∴抛物线与x轴的交点A为-14m2-1，0或14m2+1，0，
∴-14m2-12+m+1-14m2-1-14m2-1=0或14m2+12+m+114m2+1-14m2-1=0，
∴-14m2-1-14m2-1+m+1+1=0或14m2+114m2+1+m+1-1=0，
∴-14m2-1=0或-14m2-1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1-1=0，
解得：m=22+2或m=-22+2或m=-2，
∵ m为整数，
∴m=-2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（3分）（2023·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点F是BC的中点，AF与BD交于点E，则△ABE与四边形EFCD的面积之比是(    )
  
A．13 B．23 C．25 D．35
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易证得△ADE∽△FBE，又由点F是BC的中点，根据相似三角形的对应边成比例，可得AEEF=ADBF=2，然后设S△BEF=a，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△ABE的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AED的面积，继而求得四边形EFCD的面积，则可求得答案．
【详解】解：设S△BEF=a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥ BC，AD=BC，
∴△ADE∽△FBE，
∵点F是BC的中点，
∴BF= 12 BC= 12 AD，
∴AEEF=ADBF=2，
∴ S△ABE=2a， S△ADES△FBE=ADBF2=4
即S△ADE=4a，
∴ S△BCD=S△ABD=2a+4a=6a，
∴ S四边形CDEF=S△BCD-S△BEF=6a-a=5a，
∴△ABE与四边形EFCD的面积之比为：2a：5a=2：5．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意三角形面积的求解方法：等高三角形的面积比等于对应底的比与相似三角形的面积比等于相似比的平方．
9．（3分）（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）若点A-1,y1、B5,y2、Cm,y3在抛物线y=ax2-2ax+c上，且y2＜y3＜y1，则 m 的取值范围是（       ）
A．-1＜m＜1 B．m＜-3或m＞1 C．3＜m＜5或-3＜m＜-1 D．-5＜m＜-3或-1＜m＜1
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=--2a2a=1，根据抛物线对称性可知：点A-1,y1与点A'3,y1关于对称轴为x=1对称，点B5,y2与点B'-3,y2关于对称轴为x=1对称，由y2＜y1，-3＜-1，3＜5，可得当x＜1时，函数值y随着x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线y=ax2-2ax+c的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．
【详解】解：抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=--2a2a=1，
∵A-1,y1、B5,y2、Cm,y3在抛物线y=ax2-2ax+c上，
∴根据抛物线对称性可知：
点A-1,y1与点A'3,y1关于对称轴直线x=1对称，
点B5,y2与点B'-3,y2关于对称轴直线x=1对称，
∵y2＜y1，-3＜-1，3＜5，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线y=ax2-2ax+c的图象开口向下，
作图如下：

由图可知：要满足y2＜y3＜y1，则m的取值范围为：3＜m＜5或-3＜m＜-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点A-1,y1与点A'3,y1关于对称轴为x=1对称，点B5,y2与点B'-3,y2关于对称轴为x=1对称．解题时，要注意数形结合的思想．
10．（3分）（2023秋·安徽合肥·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（）
  
A．169 B．43 C．32或169 D．34或169
【答案】C
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得CE的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当△CDE∽△CBA时，
则CECA=DEBA，
∵∠C=90°,AC=3,BC=4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB=5,BE=DE,BE=4-CE，
∴CE3=4-CE5,
解得CE=32；
当△CDE∽△CAB时，
则CECB=DEAB，
∵∠C=90°,AC=3,BC=4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB=5,BE=DE,BE=4-CE,
∴CE4=4-CE5,
解得CE=169；
由上可得，CE的长为32或169，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋·四川成都·九年级期末）设k=a+b-c2c=a-b+c2b=-a+b+c2a，则k的值为 ．
【答案】12或-1
【分析】依据等比性质可得，k=a+b+c2a+b+c，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【详解】解：当a+b+c≠0时，
∵ k=a+b-c2c=a-b+c2b=-a+b+c2a，
∴由等比性质可得，k=a+b+c2a+b+c，
即k=12；
当a+b+c=0时，b+c=-a，
∴k=-a+b+c2a=-2a2a=-1；
综上所述，k的值为12或-1．
故答案为：12或-1
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
12．（3分）（2023春·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）如图，已知Rt△ABC中，∠B=30°，∠A=∠BED=90°，BE=AC，若AB+DE=480，则DE= ．
  
【答案】120
【分析】根据30°角正切值可求得BE=3DE，AB=3AC，结合AB+DE=480，即可列方程，求解即可得出答案．
【详解】解：∵tan30°=33，∠B=30°，
则在Rt△BDE中，tanB=DEBE=33，
即BE=3DE，
∴BE=AC=3DE，
则在Rt△ABC中，tanB=ACAB=33，
即AB=3AC=3×3DE=3DE，
故AB+DE=3DE+DE=4DE=480，
∴DE=120．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
13．（3分）（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知二次函数y=-x2-2x+4，当a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】0或-3
【分析】利用二次函数图像上点的特征找出y=1时自变量x的值，结合a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．
【详解】解：令y=1，则-x2-2x+4=1，
解得：x1=-3，x2=1．
∵ a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1
∴ a=-3或a+1=1，
∴ a=-3或a=0．
故答案为： -3或0．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出y=1时自变量x的值是解题的关键．
14．（3分）（2023春·浙江·八年级统考期末）已知点Pa,1-a在反比例函数y=kxk≠0的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是
【答案】-12
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵点Pa,1-a，
∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为a+9,-a-5，
依题意，得k=a1-a=a+9-a-5，
解得a=-3，
∴k=-3×1+3=-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、点的坐标平移规律，解题的关键是由点坐标表示出平移后的点的坐标．
15．（3分）（2023秋·山西临汾·九年级统考期中）如图，E是正方形ABCD的对角线BD的延长线上一点，且DE=2，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF交DC于点H．已知EH=3，则EFAB的值是 ．
  
【答案】322
【分析】证明△EAD≌△FABSAS，得出∠AED=∠AFB，∠ADE=∠ABF，证明△EDH∽△ABF，得出EDAB=EHAF，根据EF=2AF，ED=2，EH=3，得出2AB=322EF，求出结果即可．
【详解】解：∵将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠FAB，
∴△EAD≌△FABSAS，
∴∠AED=∠AFB，∠ADE=∠ABF，
∵∠ADB=∠BDC=45°，
∴∠ADE=∠EDH=135°，
∴∠ABF=135°，
∴∠ABF=∠EDH，
∵∠AED+∠EDH=45°，∠BAF+∠AFB=45°，
∴∠BAF=∠DEH，
∴△EDH∽△ABF，
∴EDAB=EHAF，
∵EF=2AF，ED=2，EH=3，
∴2AB=322EF，
∴EFAB=322．
故答案为：322．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，证明△EDH∽△ABF．
16．（3分）（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，一次函数y=x与反比例函数y=1x(x>0)的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去……，则点A2023的横坐标为 ．

【答案】2024+2023/2023+2024
【分析】根据直OA的关系式为y=x，以及OA⊥AB，可得到ΔAOB是等腰直角三角形，进而得到△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形，设OC=a=AC，则点A(a,a)，点A在反比例函数y=1x的图象上，可求出a=1，进而得到点A的横坐标为1，同理BC1=b=A1C1，则点A1(2+b,b)，求出点A1的横坐标为2+1，同理得出点A2的横坐标为3+2；点A3的横坐标为4+3；点A4的横坐标为5+4；点A5的横坐标为6+5；根据规律可得答案．
【详解】解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3…


∵直线OA的关系式为y=x，OA⊥AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OC=AC，
同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形，
设OC=a=AC，则点A(a,a)，点A在反比例函数y=1x的图象上，
∴a×a=1，
解得a=1（负值舍去），
∴点A的横坐标为1，
设BC1=b=A1C1，则点A1(2+b,b)，点A1在反比例函数y=1x的图象上，
∴(2+b)×b=1，
解得b=2-1，
∴点A1的横坐标为2+2-1=2+1；
设B1C2=c=A2C2，则点A2(22+c，c)，点A2在反比例函数y=1x的图象上，
∴(22+c)×c=1，
解得b=3-2，
∴点A2的横坐标为2+22-2+3-2=3+2；
同理可得点A3的横坐标为4+3；
点A4的横坐标为5+4；
点A5的横坐标为6+5；
…
∴点A2023的横坐标为2024+2023；
故答案为：2024+2023．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=6，BC=4，tanA=43，求AD的长．

【答案】345
【分析】如图，延长AD与BC交于点E．先解Rt△ABE求出BE=8，进而求出AE=10，EC=4，再证明tan∠DCE=tanA=DECD=43，设DE=4x，则CD=3x，利用勾股定理得到方程42=4x2+3x2，解方程求出DE=165，则AD=AE-DE=345．
【详解】解：如图，延长AD与BC交于点E．
在Rt△ABE中， tanA=BEAB=43，AB=6，
∴BE=8，
∴AE=AB2+BE2=10，EC=BE-BC=8-4=4．
∵∠B=∠CDE=90°，∠E=∠E，
∴∠DCE=∠A，
∴在Rt△CDE中，tan∠DCE=tanA=DECD=43，
∴设DE=4x，则CD=3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得EC2=DE2+CD2，
∴42=4x2+3x2，
解得：x=45（负值舍去），
∴DE=165
∴AD=AE-DE=345，即AD的长为345．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（6分）（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．

(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)若AC=3，BC=4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)165

【分析】（1）由已知可得∠ADC=∠ACB=90°，又因为∠A=∠A，根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=AC⋅BCAB=125，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵∠ACB=90°，CD是边AB上的高，AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，∠CDB=90°，
∵S△ABC=12×AB⋅CD=12×AC⋅BC，
∴AB⋅CD=AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∵∠CDB=90°，
∴BD=BC2-CD2=42-1252=165，
∴BD的长为165．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，三角形高的定义．掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19．（8分）（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26m，在距山脚点A水平距离16m的E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°，（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.1）
  
【答案】约为34m
【分析】延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，可求CF:AF=5:12，设CF=5k，则AF=12k，可求k=2，从而可求CF=10，AF=24，EF=40，由tan∠AED=DFEF，即可求解．
【详解】解：如图，延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，
  
∵山坡AC上坡度i=1:2.4，
∴CF:AF=1:2.4，
∴CF:AF=5:12，
∴设CF=5k，则AF=12k，
在Rt△ACF中，
AC=CF2+AF2
=5k2+12k2=13k，
∴13k=26，
解得：k=2，
∴CF=5×2=10，AF=12×2=24，
∴EF=AE+AF
=16+24=40，
在Rt△DFE中，tan∠AED=DFEF，
∴DF=40tan48°
≈40×1.1
=44（m），
∴CD=DF-CF
=44-10=34（m）；
答：古树CD的高度约为34m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．
20．（8分）（2023秋·山东日照·九年级期末）某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天）
1≤x<50
50≤x≤90
销售价格
x+50
90
任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p（件）与时间（第x天）满足一次函数关系p=-2x+200，设小王第x天销售利润为W元．
(1)直接写出W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)求小王第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金，请计算小王一共可获得多少元奖金？
【答案】(1)W=-2x2+180x+2000 (1≤x<50)-100x+10000 (50≤x≤90)
(2)第45天的销售利润最大，最大利润为6050元
(3)6200元

【分析】（1）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，
（2）再依据（1）中函数的增减性求得最大利润．
（3）根据销售利润为W（元）与x（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额．
【详解】（1）解：依题意：W=p⋅(x+50-40) (1≤x<50)(90-40)p   (50≤x≤90)
整理得W=-2x2+180x+2000(1≤x<50)-100x+10000(50≤x≤90)；
（2）①当1≤x<50时，W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，
∵-2<0，
∴开口向下，
∴当x=45时，W有最大值为6050；
②当50≤x≤90时，W=-100x+10000，
∵-100<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W有最大值为5000，
∵6050>5000，
∴当x=45时，W的值最大，最大值为6050，
即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；
（3）①当1≤x<50时，令W=4800，得W=-2(x-45)2+6050=4800，
解得x1=20，x2=70，
∴当W>4800时，20 ∵1≤x<50，
∴20 ②当50≤x≤90时，令W>4800，W=-100x+10000>4800，
解得x<52，
∵50≤x≤90，
∴50≤x<52，
综上所述：当204800，即共有52-20+1-2=31天的销售利润超过4800元，
∴可获得奖金200×31=6200元，
即小王一共可获得6200元奖金．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
21．（8分）（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4．
【分析】此题涉及的知识点是两三角形全等的判定，平行四边形的性质点的综合应用，解题时先根据已知条件证明△ADE≌△BFE，再根据两三角形相似的判定，等量代换得出边的大小关系
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，

∵点G是边BC中点，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴MGHF=CGCF=14，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴===，
∴=，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴==，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
【点睛】此题重点考查学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键．
22．（8分）（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，已知正比例函数图象经过点A2,2，Bm,3

(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD=4AC，求反比例函数的解析式；
(3)在第（2）小题的前提下，连接AD，试判断△ABD的形状，并说明理由．
【答案】(1)y=x，m=3
(2)y=3x
(3)△ABD是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】（1）把A2,2代入y=kx可得其解析式，再利用正比例函数的性质可得m的值；
（2）设反比例函数的解析式为y=m1x，再求解AC=2-m12，BD=3-m13，再建立方程求解即可；
（3）由D3,1，A2,2，B3,3，求解AB2=2，AD2=2，BD2=4，再利用勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵正比例函数图象经过点A2,2，
∴2=2k
∴k=1
∴正比例函数的解析式为y=x把B(m，3)代入解析式得m=3．
（2）∵AC∥BD∥y轴，
∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，
设反比例函数的解析式为y=m1x，分别代入得yC=m12，yD=m13，
∴AC=2-m12，BD=3-m13，
∵BD=4AC，
∴3-m13=4(2-m12)，解得m1=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x；
（3）△ABD是等腰直角三角形．
理由如下：由（2）得：D3,1，A2,2，B3,3，
∴AB2=3-22+3-22=2，AD2=2-32+2-12=2，BD2=4，
∴BD2=AB2+AD2，且AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形，勾股定理的逆定理的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解本题的关键．
23．（8分）（2023秋·安徽·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
  
(1)请写出抛物线的解析式为__________．
(2)若N是抛物线对称轴上一动点，请写出使△NCA周长最小的N点的坐标为__________．
(3)点N在抛物线的对称轴上，点M在x轴上，请写出，使得以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为__________．
(4)若点P为第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为t，请求出使点P到直线CB距离最大的t的值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)(1,2)
(3)(4,0)或(-2,0)或(2,0)
(4)当t=32时，点P到直线CB距离最大

【分析】（1）利用待定系数法解抛物线解析式即可；
（2）首先确定该抛物线对称轴为x=1，因为点A(-1,0)，B(3,0)关于直线x=1对称，故有NA=NB，结合△ACP的周长=AC+NA+CN=AC+NB+CN≥AC+BC，可得当点C、N、B共线时，△ACN的周长最小；利用待定系数法解得直线BC的解析式，令x=1，求解即可获得答案；
（3）若以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则可分当CM为对角线时，当CN为对角线时，当CB为对角线时三种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可；
（4）连接BC，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P到BC的距离为h，易知S△PBC=12PD⋅OB=12BC⋅h，故当S△PBC面积最大时，h的值最大，设点P坐标为(t,-t2+2t+3)，点D坐标为(t,-t+3)，易得PD=-t2+3t，可求得S△PBC=-32t2+92t，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入，
可得0=a-b+c0=9a+3b+c3=c，解得a=-1b=2c=3，
∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
故答案为：y=-x2+2x+3；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴其对称轴为x=-22×(-1)=1，
如下图，
  
∵点A(-1,0)，B(3,0)关于直线x=1对称，
∴NA=NB，
∴△ACN的周长=AC+NA+CN=AC+NB+CN≥AC+BC，
∴当点C、N、B共线时，△ACP的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b'，将点B(3,0)，C(0,3)代入，
可得0=3k+b'3=b'，解得k=-1b'=3，
∴线BC的解析式为y=-x+3，
令x=1，则有y=-1+3=2，
∴点N(1,2)．
故答案为：(1,2)；
（3）设点M(m,0)，
若以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，
①当CM为对角线时，如下图，
  
此时CN∥BM，
∴点N的纵坐标yN=3，即点N(1,3)，
∴CN=1-0=1，
则BM=CN=1，即m-3=1，
解得m=4，
∴M(4,0)；
②当CN为对角线时，如下图，
  
此时xN-xM=xB-xC，即1-m=3-0，
解得m=-2，
∴M(-2,0)；
③当CB为对角线时，如下图，
  
此时可有xB+xC2=xM+xN2，即3+02=m+12，
解得m=2，
∴M(2,0)．
综上所述，点M的坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)．
故答案为：(4,0)或(-2,0)或(2,0)；
（4）如下图，连接BC，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
  
设点P到BC的距离为h，
则S△PBC=12PD⋅OB=12BC⋅h，
∴当S△PBC面积最大时，h的值最大，
由（1）可知，直线BC的函数解析式为y=-x+3，
设点P坐标为(t,-t2+2t+3)，点D坐标为(t,-t+3)，
∴PD=-t2+3t，
∴S△PBC=12(-t2+3t)×3=-32t2+92t=-32(t-32)2+278，
∴当t=32时，S△PBC最大，
即当t=32时，点P到直线CB距离最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数和一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．