甘肃省酒泉市2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题

这是一份甘肃省酒泉市2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题，文件包含六上31《紧密联系的工具和技术》pptx、六上31《紧密联系的工具与技术》docx、第1课-紧密联系的工具和技术mp4等3份课件配套教学资源，其中PPT共21页， 欢迎下载使用。

（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.已知集合A={x|lg3(3x-2)<1},B={x|(13)1-2x<3},则A∩B=( )
A.(23,1)B.(-∞,1)C.(-∞,53)D.(1,53)
2.已知复数z=2+4i1-i,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点的坐标为( )
A.(-1,3)B.(1,-3)C.(3,-1)D.(-3,1)
3.已知4a2+b2=6,则ab的最大值为( )
A.34B.32C.52D.3
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且a2+a5+a5=30,则S9=( )
A.30B.60C.90D.180
5.已知a=sin3,b=cs12,c=tan1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a6.已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,0)时,f(x)=2x+sinπx3,则f(2023)=( )
A.14-32B.-14C.34D.-14+32
7.如图,在ΔABC中,∠BAC=π3,AD→=3DB→,P为CD上一点,且满足AP→=mAC→+14AB→,若|AC→=3,|AB→|=4,则AP→⋅CD→的值为( )
A.-3B.3C.-32D.32
8.已知函数f(x)={ex-ax,x⩾0,-x2-(a+2)x+1,x<0有3个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(1e,+∞)B.(1,+∞)C.(e,+∞)D.(e2,+∞)
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.下列函数既是偶函数,又在(-∞,0)上是减函数的是( )
A.y=x45B.y=3C.y=lg(x2+1)D.y=x-1x
10.要得到函数f(x)=sin(2x+π6)的图象,可以将函数g(x)=cs(π6+2x)的图象( )
A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度
C.向左平移3π4个单位长度D.向右平移3π4个单位长度
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn-2an-2n-1,则下列结论正确的是( )
A.a5=192B.S6=780C.Snan=2nn+1D.数列{4nanSn}的前100项的和为50101
12.已知函数f(x)=e2-12x2-x,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在R上单调递增
B.x=0是函数f(x)的极值点
C.过原点O仅有一条直线与曲线y=f(x)相切
D.若a+b>0,则f(a)+f(b)>2
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.某学校有高中学生800人,其中高一年级、高二年级、高二年级的人数分別为260,240,300.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向,现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本,那么应抽取高一年级学生的人数为__________.
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S8=12,S12=15,则S16=__________.
15.已知sin(α+β)=-45,sin(α-β)=13,则tanαtanβ=__________.
16.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若f(1)=4,且f'(x)-2x<3对任意的x∈R恒成立,则不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为__________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）在ΔABC中,角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且满足b2csC+c2bcsB=ab2+ac2-a2.
(1)求A;
(2)若b+c=2,求a的最小值.
18.（12分）已知指数函数f(x)=(3a2-10a+4)ax在其定义域内单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(2x)-4f(x)-3,当x∈[0,2]时,求函数g(x)的值域.
19.（12分）在平面直角坐标系xOy中,已知点A(4,0),B(1,m)(m>0),|AB→|=5.
(1)求m的值;
(2)C,M是坐标系上的点,BC→=(-1,-1),OM→=xOA→+(2-x)OC→(020.（12分）在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n+2n+1-1.
(1)证明:{an+n2n}是等差数列;
(2)求{an}的前n项和Sn.
21.（12分）如图,在半径为4m的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=xm,圆柱的体积为Vm2.
(1)求出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域;
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?最大体积是多少?
22.（12分）已知函数f(x)=1x+alnx(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=x-f(x)有两个极值点x1,x2.
①求实数a的取值范围;
②若x1∈[1e,1)(e为自然对数的底数,且e=2.71828…),求g(x1)-g(x2)的取值范围.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】A
【解析】A={x|lg3(3x-2)<1}=(23,53),B={x|(13)1-2x<3}=(-∞,1),A∩B=(23,1),故选 A.
2.【答案】A
【解析】因为z=(2+4i)(1+i)(1-i)(1+i)=(1+2i)(1+i)=-1+3i,
所以z在复平面内对应的点的坐标为(-1,3).故选 A.
3.【答案】B
【解析】ab=12×2a×b⩽12×(2a)2+b22=32,当且仅当2a=b,即a=-32,b=-3或a=32,b=3时等号成立.故选 B.
4.【答案】C
【解析】a2+a5+a8=2a5+a5=30,解得a5=10,所以S9=9(a1+a9)2=9a5=90,故选 C.
5.【答案】C
【解析】因为a=sin3=sin(π-3),b=sin(π2-12),π2-12>π-3,y=sinx在(0,π2)上单调递增,所以atanπ4=1,所以c>b>a.故选 C.
6.【答案】D
【解析】因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)
=f(-2+3)=-f(-2)
=-[2-2+sin(-2π3)]
=-14+32,故选 D.
7.【答案】C
【解析】因为AD→=3DB→,所以AB→=43AD→,
所以AP→=mAC→+14AB→=mAC→+13AD→,因为C,P,D三点共线,所以m+13=1,即m=23,
所以AP→=23AC→+14AB→,又CD→=AD→-AC→=34AB→-AC→,所以AP→⋅CD→
=(23AC→+14AB→)⋅(34AB→-AC→)
=316AB→2-23AC→2+14AB→⋅AC→
=316×16-39×9+14×3×4×12
=3-6+32=-32.故选 C.
8.【答案】C
【解析】当x<0时,f(x)=-x2-(a+2)x+1,又f(0)=1,所以f(x)在(-∞,0)上有唯一零点,所以f(x)有3个零点,即f(x)=ex-ax在[0,+∞)上有2个零点,即y=ex与y=ax的图象有2个交点,如图所示.设切点为(x0,ex0),y'=ex,所以{ex0=a,ex0=ax0,解得a=e,所以实数a的取值范围是(e,+∞).故选 C.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ABC
【解析】幂函数y=x45是偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,故A正确;
y=3|x|={3x,x⩾0,3-x,x<0是偶函数,在(-∞,0)上单调递减,故B正确;
y=lg(x2+1)是偶函数,且函数y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,函数y=lgx在定义域上为增函数,所以y=lg(x2+1)在(-∞,0)上单调递减,故C正确;
y=x-1x是奇函数,故D错误.故选AB C.
10.【答案】BC
【解析】由g(x)=sin[π2+(π6+2x)]=sin(2x+2π3)=sin[2(x+π4)+π6],可知将函数g(x)的图象向右平移π4个单位长度,可得函数f(x)的图象,又由函数g(x)的周期为π,可知正确选项为BC,故选B C.
11.【答案】ACD
【解析】当n=1时,有a1=2a1-4,可得a1=4;当n⩾2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2n+1)-(2an-1-2n),有an=2an-1+2n,有an2n=an-12n-1+1,可得数列{an2n}是以2为首项,1为公差的等差数列,有an2n=2+(n-1),可得an=(n+1)×2n,Sn=(n+1)×2n+1-2n+1=n×2n+1.
对于A选项,有a5=6×25=192,故A选项正确;
对于B选项,有S6=6×27=768,故B选项错误;
对于C选项,有Snan=n×2n+1(n+1)×2n=2nn+1,故C选项正确;
对于D选项,4nanSn=4nn(n+1)×22n+1=12n(n+1)=12(1n-1n+1),可得数列{4nanSn}的前100项的和为12×[(1-12)+(12-13)+⋯+(1100-1101)]=12×(1-1101)=50101,故D选项正确.故选AC D.
12.【答案】ACD
【解析】由f'(x)=ex-x-1⩾0,可得函数f(x)单调递增,此时x=0不是极值点,可得选项A正确,选项B错误;对于选项C,设切点P的坐标为(m,em-12m2-m),过P的切线方程为y-(em-12m2-m)=(em-m-1)(x-m),代入原点的坐标有-(em-12m2-m)=(em-m-1)(-m),整理为(m-1)em-12m2=0,令g(x)=(x-1)ex-12x2,有g'(x)=x(ex-1),当x⩾0时,ex⩾1;当x<0时,ex<1,有g'(x)>0,可得函数g(x)单调递增,又由g(0)=-1<0,g(2)=e2-2>0,可得函数g(x)在区间(0,2)内有且仅有一个零点,故过原点O仅有一条直线与曲线y=f(x)相切,选项C正确;对于D选项,若a+b>0,有a>-b,由函数f(x)单调递增,有f(a)>f(-b),f(a)+f(b)>f(b)+f(-b)=eb-12b2-b+e-b-12b2+b=eb+e-b-b2,令h(x)=ex+e-x-x2,有h'(x)=ex-e-x-2x.令φ(x)=ex-e-x-2x,有φ'(x)=ex+e-x-2⩾2ex⋅e-x-2=0(当且仅当x=0时取等号),可得函数φ(x)单调递增,又由φ(0)=0,可得函数h(x)的减区间为(-∞,0),増区间为(0,+∞),可得h(x)⩾h(0)=2,故f(a)+f(b)>2成立,选项D正确.故选AC D.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】65
【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为200800=14,则高一年级抽取的人数是260×14=65.
14.【答案】16
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,所以S4,S8-S4,S12-S8,S15-S12成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8,解得S4=7,所以S16-S12=1,解得S16=16.
15.【答案】717
【解析】因为sin(α+β)=-45,sin(α-β)=13,所以sinαcsβ+csαsinβ=-45,sinαcsβ-csαsinβ=13,解得sinαcsβ=-730,csαsinβ=-1730,所以tanαtanβ=sinαcsαsinβcsβ=sinαcsβcsαsinβ=-730-1730=717.
16.【答案】(2,+∞)
【解析】令g(x)=f(x)-x2-3x,则g'(x)=f'(x)-2x-3<0在R上恒成立,所以g(x)在R上单调递减,又f(2x-3)<2x(2x-3),即f(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0=f(1)-12-3×1,即g(2x-3)1,解得x>2,所以不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为(2,+∞).
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2-a2)=a⋅2bcsA
⇒bcsC+ccsB=2acsA,即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA,
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12⇒A=60°;
(2)由余弦定理有a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc⩾(b+c)2-3⋅(b+c2)2=1,
当且仅当b=c=1时取等号,故a的最小值为1.
18.（12分）(1)∵f(x)是指数函数,且在其定义域内单调递增,∴3a2-10a+4=1,
解得a=3或a=13(舍),∴f(x)=3x;
(2)g(x)=32x-4⋅3x-3=(3x)2-4(3x)-3,∵x∈[0,2],
∴3x∈[1,9],令t=3x,t∈[1,9],
∴g(t)=t2-4t-3,t∈[1,9],∴g(t)min=g(2)=-7,
g(t)max=g(9)=92-4×9-3=42,
∴g(x)的值域为[-7,42].
19.（12分）(1)AB→=(-3,m),故AB→2=9+m2=25⇒m=±4.
由m>0,可得m=4;
(2)OC→=OB→+BC→=(0,3),OM→=xOA→+(2-x)OB→+(2-x)BC→
=x⋅(4,0)+(2-x)⋅(0,3)
=(4x,6-3x),
OM→2=16x2+(6-3x)2
=25x2-36x+36
=25(x-1825)2+57625⇒|OM→|2⩾57625⇒|OM→|⩾245.
故|OM→|的最小值为245.
20.（12分）(1)证明:an+1+n+12n+1-an+n2n=2an+n+2n+1-1+n+12n+1-an+n2n=1,
因为a1+121=1,所以{an+n2n}是以1为首项,1为公差的等差数列;
(2)解:由(1)知,an+n2n=1+n-1=n,所以an=n⋅2n-n.
令bn=n⋅2n,令Tn=b1+b2+⋯+bn=1×2+2×22+⋯+n⋅2n,
2Tn=1×22+2×23+⋯+n⋅2n+1,
所以
-Tn=2+22+⋯+2n-n⋅2n+1=(1-n)⋅2n+1-2,
所以-Tn=2+22+⋯+2n-n⋅2n+1=(1-n)⋅2n+1-2,
所以Tn=(n-1)⋅2n+1+2.
所以Sn=a1+a2+⋯+an=b1+b2+⋯+bn-(1+2+⋯+n)
=(n-1)⋅2n+1+2-n(n+1)2.
21.（12分）(1)在RtΔOAB中,因为AB=x,所以OA=16-x2,
设圆柱的底面半径为r,则16-x2=2πr,
即16-x2=4π2r2,
所以V=πr2x=16x-x34π,0(2)由(1)得,V'=16-3x24π,
令V'=0,得x=433,
当00,V(x)单调递增,当433所以当x=433时,圆柱形罐子的体积V最大,最大体积是f(433)=6433-64394π=3239π.
22.（12分）(1)由题知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x2+ax=ax-1x2,
当a⩽0时,对任意的x>0,f'(x)⩽0且f'(x)不恒为零,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1a,
所以当x∈(0,1a)时,f'(x)<0;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)>0.
此时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(1a,+∞).
综上,当a⩽0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(1a,+∞);
(2)①由题知,g(x)=x-f(x)=x-1x-alnx,
函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=1+1x2-ax=x2-ax+1x2,
当a⩽0时,对任意的x>0,g'(x)⩾0且g'(x)不恒为零,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,没有极值点;
当0当a>2时,令g'(x)=0,解得x2=a+a2-44,x1=a-a2-44,则x2>x1>0,
当x∈(0,x1)时,g'(x)>0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,
此时,函数g(x)的单调递增区间为(0,a-a2-44),(a+a2-44,+∞),单调递减区间为(a-a2-44,a+a2-44).
综上,当a>2时,g(x)有两极值点x1,x2;
②由①可知,x1+x2=a,x1x2=1,
所以g(x1)-g(x2)=x1-1x1-alnx1-(x2-1x2-alnx2)
=2(x1-1x1)-alnx1x2=2(x1-1x1)-2(x1+1x1)lnx1,
设x1=t,h(t)=t-1t-(t+1t)lnt,其中t∈(1,e],
所以h'(t)=1+1t2-(1-1t2)lnt-(1+1t2)=(1-t2)lntt2,
又因为t∈[1e,1),可知h'(t)<0,所以h(t)在[1e,1)上单调递减.
∴h(1e)⩾h(t)>h(1),即2e⩾h(t)>0,所以g(x1)-g(x2)的取值范围为(0,4e].