甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了 已知平面内两点A，B.等内容，欢迎下载使用。

1．已知数列{an}满足a1>0,2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
2.已知数列{an}满足an=1an−1+1(n≥2,n∈N ∗)，若a4=53，则a1=( )
A． 1 B． 32 C． 2 D． 85
3.直线的纵截距为( )
A. B. C. D.
4. 等比数列{an}中，a3a7a15＝6，a8＝3，则a9＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(3,2) C．2 D．12
5.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为( )
A．2x＋3y－5＝0 B． eq \f(3,2) 2x＋y＋2＝0 C．x＋2y－2＝0. D．x－y－7＝0
6.椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，则点到轴的距离为（ ）
A．2.4B．2.8C．4.0D．4.8
7.抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
8.已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.或
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
9.已知数列{an}满足a1=−12，an+1=11−an，则下列各数是{an}的项的有( )
A. −2 B. 23 C. 32 D. 3
10.已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
11.）若直线2x+y+m=0被圆x2+y2=4截得的弦长为23,则m不可能是( ).
A.5 B.5 C.10 D.25
12.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 021a2 022＞1， eq \f(a2 021－1,a2 022－1)＜0，下列结论正确的是( )
A．S2 021＜S2 022 B．a2 021a2 023－1＜0 C．T2 022是数列{Tn}中的最大值 D．数列{Tn}无最大值
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13.直线y=x+1与圆x2+y2+2y−3=0交于A,B两点,则|AB|= .
14.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________.
15.设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝__________.
16.如图，赛马场的形状是长100m,宽50m的椭圆.则距离顶点10m的宽度是__________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分) 已知平面内两点A(8，-4)，B(2，2).
①求过点P(2，-3) QUOTE ?2,−3 且与直线AB平行的直线l的方程 QUOTE ; ;
②一束光线从点B射向（1）的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．
18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，数列{bn}满足
b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*).
①求数列{an}和{bn}的通项公式；
②求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值．
19.(12分)已知点P(2+1,2−2),M(3,1),圆C:x−12+y−22=4.
①求过点P的圆C的切线方程；
②求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
20.(12分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若|MF|＝6，
①求则点M的横坐标
②求△MNF的面积
21.(12分)已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
①求数列，的通项公式；
②求数列的前n项和．
22. (12分)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(\r(2),2)，且过点A(2，1).
①求C的方程；
②点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
一、二单选，多选题
三、填空题
22 14. an＝10－2n 15. 32 16. 30
四、解答题
17.解：（1）因为A(8，-4)，B(2，2)，所以，因为直线l//AB
所以直线l1的斜率.所以直线l的方程为，即.
（2）设B(2,2)关于直线l的对称点，则，解得，即，.
直线AC的方程为，即，所以反射光线所在直线方程为.
18.解：(1)由数列{an}为等差数列可知：S6＝ eq \f((a1＋a6)×6,2)＝3a4＝9⇒a4＝3，a3＝0，
故d＝a4－a3＝3.
则数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)×3＝3n－9(n∈N*).
当n≥2时，b2－b1＝21，b3－b2＝22，…，bn－1－bn－2＝2n－2，bn－bn－1＝2n－1，
将上述式子累加得：bn－b1＝21＋22＋…＋2n－2＋2n－1＝2n－2，则bn＝2n(n≥2)；
当n＝1时，b1＝21＝2满足上式．
综上可得，bn＝2n(n∈N*).
(2)设cn＝anbn＝(3n－9)×2n，
则Tn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn
＝(3－9)×2＋(6－9)×22＋…＋[3(n－1)－9]×2n－1＋(3n－9)×2n，
2Tn＝(3－9)×22＋(6－9)×23＋…＋[3(n－1)－9]×2n＋(3n－9)×2n＋1，
两式相减得：－Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1，
则Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).
显然：当n≥4时，Tn≥24且单调递增，
则依次求出T1，T2，T3，T4比较大小即可．
易得T1＝－12，T2＝－24，T3＝－24，T4＝24，
故{Tn}的最小值为(Tn)min＝T2＝T3＝－24.
19.解：由题意得圆心为C(1,2),半径r=2.
（1）∵2+1−12+2−2−22=4,∴点P在圆C上.
又kPC=−1,∴切线的斜率k=−1kPC=1.
∴过点P的圆C的切线方程是y−(2−2)=x−(2+1),即x−y+1−22=0.
（2）∵3−12+1−22=5>4,∴点M在圆C外部.
当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x−3=0.又点C(1,2)到直
线x−3=0的距离d=3−1=2=r,∴直线x−3=0是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y−1=k(x−3),即kx−y+1−3k=0,则圆心C到切线的距离d=|k−2+1−3k|k2+1=r=2,
解得k=34.∴切线方程为y−1=34(x−3),即3x−4y−5=0.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为x−3=0或3x−4y−5=0.
∵MC=3−12+1−22=5,
∴过点M的圆C的切线长为MC2−r2=5−4=1.
20.解：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)，
因为|MF|＝6，所以xM＋ eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2 eq \r(5)，所以S△FMN＝ eq \f(1,2)×(5－1)×2 eq \r(5)＝4 eq \r(5).
21.解：(1)，；
(2).
解：（1）设的公差为，的公比为，，，
联立，整理可得，解得，
所以，.
（2由（1）知，
则，①
，②
①-②，得
.
所以.
22.解：(1)由题意得 eq \f(4,a2)＋ eq \f(1,b2)＝1， eq \f(a2－b2,a2)＝ eq \f(1,2)，解得a2＝6，b2＝3.
所以C的方程为 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入 eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,3)＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－ eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝ eq \f(2m2－6,1＋2k2).①
由AM⊥AN知， eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AN,\s\up6(→))＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式可得(k2＋1) eq \f(2m2－6,1＋2k2)－(km－k－2) eq \f(4km,1＋2k2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.
于是直线MN的方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))－ eq \f(1,3)(k≠1).
所以直线MN过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3))).
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).
由 eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AN,\s\up6(→))＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又 eq \f(x eq \\al(2,1),6)＋ eq \f(y eq \\al(2,1),3)＝1，可得3x eq \\al(2,1)－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去)，x1＝ eq \f(2,3).
此时直线MN过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3))).
令Q为AP的中点，即Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝ eq \f(1,2)|AP|＝ eq \f(2\r(2),3)．
若D与P重合，则|DQ|＝ eq \f(1,2)|AP|.
综上，存在点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，使得|DQ|为定值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
A
A
D
B
D
BD
BCD
ACD
AB