安徽省亳州市安徽省蒙城县第二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份安徽省亳州市安徽省蒙城县第二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）将抛物线y＝（x+1）2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2+1B．y＝（x+4）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2+1
2．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．﹣3或1
3．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°      ②sin245°+cs245°＝1
③（tan60°）2＝              ④tan30°＝
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）若sinα＞csα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°
6．（4分）如图，AD，BC相交于点O，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
7．（4分）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．B．
C．D．或
8．（4分）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：℃）（单位：h）的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃
9．（4分）已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），则阴影部分展开后的形状为（ ）
A．等腰三角形B．矩形
C．菱形D．正方形
10．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则s＝a+b+c的值的变化范围是（ ）
A．0＜s＜1B．0＜s＜2C．1＜s＜2D．﹣1＜s＜2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣4x+3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为 ．
12．（5分）已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为 ．
13．（5分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝ ．
14．（5分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点C、F、G在一条直线上
（1）若DM＝1，CM＝2，则正方形AEFG的面积是 ；
（2）直接写出＝ ．
三、（本大题共2小题，共16分）
15．（8分）计算题
（1）；
（2）．
16．（8分）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的位似比等于3：2．
四、（本大题共4小题，共16分）
17．（8分）如图，在某居民楼AB楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅BC，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°（居民楼AB，横幅BC与斜坡DE的剖面在同一平面内），则广告牌BC的高度约为多少？
（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6）、B（a，3）
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）如图，点D在x轴上，四边形OBCD中，OB与DC不平行，OB＝DC，CE和反比例函数的图象交于点P，当四边形OBCD的面积为18时 ，PE：PC的值为 ．
20．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，且CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
六、（本大题共3小题，共12分）
21．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．
（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；
（2）求证：△ACB∽△AED；
（3）若α＝30°，求的值．
22．（12分）已知，如图，AB∥DC
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状；
（3）当tan∠PAE＝时，求a的值．
2022-2023学年安徽省亳州市蒙城二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（4分）将抛物线y＝（x+1）2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2+1B．y＝（x+4）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2+1
【分析】根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位2+8，即y＝（x﹣2）2+5，
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
2．（4分）若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1或3B．﹣1C．3D．﹣3或1
【分析】将原点坐标代入二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．
【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣2＝0，
所以m＝﹣1或m＝8，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时注意分析，注意理解题意．
3．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：设Rt△ACB中，∠C＝90°、∠B、b、c，
由于tanA＝＝2，
可设a＝3k，b＝k，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查互余两角三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
4．（4分）下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°      ②sin245°+cs245°＝1
③（tan60°）2＝              ④tan30°＝
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别计算等式的左右两边，据此即可对每个等式作出判断．
【解答】解：①sin60°﹣sin30°＝﹣，sin30°＝；
②sin245°+cs245°＝（）2+（）2＝+＝1；
③（tan60°）2＝（）2＝3，错误；
④tan30°＝，＝＝，错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．
5．（4分）若sinα＞csα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°
【分析】利用csα＝sin（90°﹣α），载根据锐角三角函数的增减性，即可求出α的取值范围．
【解答】解：∵csα＝sin（90°﹣α），sinα＞csα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查同角的三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的增减性是正确解答的关键．
6．（4分）如图，AD，BC相交于点O，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
7．（4分）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．B．
C．D．或
【分析】设C点为AB的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当AC＞BC时，AC＝5﹣5；当AC＜BC时，BC＝5﹣5，则AC＝15﹣5，从而确定她至少走的路程．
【解答】解：设C点为AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝×10＝5；
当AC＜BC时，BC＝×10＝6，则AC＝10﹣（5，
因为5﹣5﹣（15﹣5﹣20＝10（，
所以她至少走（15﹣3）米才最理想．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．（4分）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：℃）（单位：h）的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃
【分析】将温度y与时间t的函数关系式y＝﹣t2+12t+2写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：∵y＝﹣t2+12t+2
＝﹣（t2﹣12t+36）+38
＝﹣（t﹣6）2+38，
∴当t＝6时，温度y有最大值．
∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（4分）已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），则阴影部分展开后的形状为（ ）
A．等腰三角形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】依据折叠的性质即可得到AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'，进而得出四边形AEA'E'是菱形．
【解答】解：阴影部分展开后如图所示，
由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，EF＝E'F，
∴AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'，
∴四边形AEA'E'是菱形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及菱形的判定，关键是掌握：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
10．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则s＝a+b+c的值的变化范围是（ ）
A．0＜s＜1B．0＜s＜2C．1＜s＜2D．﹣1＜s＜2
【分析】代入两点的坐标可得出c＝1、a＝b﹣1，进而可得出s＝2b，由抛物线的顶点在第一象限可得出﹣＞0且a＜0，解之可得出b＞0，再根据b＝a+1、a＜0，即可得出0＜s＜2，此题得解．
【解答】解：将点（0，1）和（﹣62+bx+c，
，解得：，
∴s＝a+b+c＝4b．
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点在第一象限，
∴对称轴x＝﹣＞6且a＜0，
∴b＞0．
又∵b＝a+2，a＜0，
∴2b＝4a+2＜2，
∴3＜s＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出s＝2b是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣4x+3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为 ﹣1≤y≤8 ．
【分析】先把函数化成顶点式y＝（x﹣2）2﹣1，求出二次函数的最小值，再求出当x＝﹣1和x＝4对应的y值，最后求出最大值和最小值即可．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣3，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1，
当x＝﹣3时，y＝（﹣1）2﹣5×（﹣1）+3＝8+4+3＝7；
当x＝4时，y＝42﹣4×4+7＝16﹣16+3＝3；
∴当﹣2≤x≤4时，y的取值范围为﹣1≤y≤3，
故答案为：﹣1≤y≤8．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x＝﹣1和x＝4对应的y值是解此题的关键．
12．（5分）已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为 1 ．
【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案．
【解答】解：∵tan60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握tan60°＝，tan45°＝1．
13．（5分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝ 3 ．
【分析】根据二次函数的最值问题得到m+1＞0，而抛物线过原点，则m2﹣9＝0，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝（m+1）x2+m6﹣9有最小值，且图象经过原点，
∴m+1＞2且m2﹣9＝5，
∴m＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
14．（5分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点C、F、G在一条直线上
（1）若DM＝1，CM＝2，则正方形AEFG的面积是 ；
（2）直接写出＝ ．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝CD，AG＝FG，∠D＝∠G＝90°，则∠ACM＝∠DAC＝∠GFA＝∠GAF＝45°，所以∠CFM＝∠ACM，而∠CMF＝∠AMC，所以△CMF∽△AMC，得＝，由DM＝1，CM＝2，得AD＝3，则AM＝＝，所以FM＝＝，即可求得AF＝AM﹣FM＝，则2AG2＝AF2＝，所以S正方形AEFG＝AG2＝，于是得到问题的答案；
（2）由AE＝FE，AB＝CB，∠AEF＝∠ABC＝90°，得∠EAF＝∠EFA＝∠BAC＝∠BCA＝45°，则∠FAC＝∠EAB＝45°﹣∠CAE，AF＝＝AE，AC＝＝AB，所以＝＝，则△AFC∽△AEB，所以＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AD＝CD，AG＝FG，
∴∠ACM＝∠DAC＝∠GFA＝∠GAF＝45°，
∵∠CFM＝∠GFA＝45°，
∴∠CFM＝∠ACM，
∵∠CMF＝∠AMC，
∴△CMF∽△AMC，
∴＝，
∵DM＝1，CM＝2，
∴AD＝CD＝DM+CM＝6+2＝3，
∴AM＝＝＝，
∴FM＝＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝﹣＝，
∵AG6+FG2＝2AG5＝AF2＝＝，
∴S正方形AEFG＝AG4＝×＝，
故答案为：．
（2）∵AE＝FE，AB＝CB，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠FAC＝∠EAB＝45°﹣∠CAE，
∵AF＝＝＝AE＝＝AB，
∴＝＝，
∴△AFC∽△AEB，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△CMF∽△AMC及△AFC∽△AEB是解题的关键．
三、（本大题共2小题，共16分）
15．（8分）计算题
（1）；
（2）．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入，计算二次根式、负整数次幂，化简绝对值，最后进行加减计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝＝
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、去绝对值等，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．（8分）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的位似比等于3：2．
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6＝1：2；
（3）要画△A2B2C2，先确定点A2的位置，因为△A2B2C2与△ABC的位似比等于1.5，因此OA2＝1.5OA，所以OA2＝9．再过点A2画A2B2∥AB交O B′于B2，过点A2画A2C2∥AC交OC′于C2．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于＝＝；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
四、（本大题共4小题，共16分）
17．（8分）如图，在某居民楼AB楼顶悬挂“大国点名，没你不行”的横幅BC，斜坡DE的坡度i＝1：2.4，DE＝26m，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°（居民楼AB，横幅BC与斜坡DE的剖面在同一平面内），则广告牌BC的高度约为多少？
（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【分析】作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，则GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，求出AF＝DG＝10m，EG＝24m，则EF＝EG+GF＝54m，由三角函数定义求出CF≈27.54m，则AC＝37.54m，证出△ABD是等腰直角三角形，则AB＝AD＝30m，求出BC即可．
【解答】解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G
则GF＝AD＝30m，AF＝DG，
∵山坡DE的坡度i＝＝，
∴EG＝2.4DG，
∵DE＝26m，DE3+EG2＝DE2，
∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，
∴EF＝EG+GF＝54（m），
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝，
∴CF≈6.51×54＝27.54（m），
∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），
又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝30m，
∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；
答广告牌BC的高度约为8.5米．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，由折叠的性质得出∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，证出∠AB'E＝∠B'DC＝α，设AE＝a，AB'＝n，得出BE＝2n﹣a，由勾股定理a2+n2＝（2n﹣a）2，求出n＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）方法同（1）可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）同理可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（4）设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，设AE＝a，则B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，由勾股定理得出a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，求出a＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，
∴∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，
∴∠AB'E+∠DB'C＝135°，
∵∠B'DC+∠DB'C＝135°，
∴∠AB'E＝∠B'DC＝α，
∵＝1，
∴AB＝AC＝2AB'，
设AE＝a，AB'＝n，
∴BE＝3n﹣a，
∴B'E＝2n﹣a，
∵AE2+AB'6＝EB'2，
∴a2+n3＝（2n﹣a）2，
∴n＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝；
故答案为：；
（2）∵＝2，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝2n，
∴BE＝B'E＝8n﹣a，
∴a2+（2n）4＝（3n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：；
（3）∵＝8，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝6n，
∴BE＝B'E＝4n﹣a，
∴a2+（2n）2＝（4n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：．
（4）；
理由如下：
当＝n时，
设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，
设AE＝a，则B′E＝BE＝[（n+6）x﹣a]，
∴a2+（nx）2＝[（n+6）x﹣a]2，
∴a＝x，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6）、B（a，3）
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）如图，点D在x轴上，四边形OBCD中，OB与DC不平行，OB＝DC，CE和反比例函数的图象交于点P，当四边形OBCD的面积为18时 4 ，PE：PC的值为 2：1 ．
【分析】（1）首先把A点坐标代入反比例函数的解析式中，求得k2的值，知道反比例函数的解析式后把B点代入求出a的值，最后求出一次函数解析式的k1的值，
（2）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE＝3，BC＝m﹣2，OD＝m+2，利用梯形的面积是18列方程，可求得m的值，从而求得点C和P的坐标，根据线段的长度关系可知BC＝4，PC＝2PE．
【解答】解：（1）将点A（1，6）代入2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把点B（a，3）代入，
∴B（3，3），
把A（1，5），3）代入y＝k1x+b得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+6
（2）当S梯形OBCD＝18时，PC＝2PE．
设点P的坐标为（m，n），
∵BC∥OD，CE⊥OD，B（2，
∴C（m，8），BC＝m﹣2．
∴S梯形OBCD＝，即18＝．
∴m＝4，
∴C（6，3），
∴BC＝8﹣2＝4，
又∵mn＝2，m＝6，
∴n＝1，即PE＝．
∴PC＝2PE，
∴PE：PC＝8：2，
故答案为4，6：2．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．
20．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，且CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴∠ACH＝∠CBH，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴△ACE∽△ABD；
（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，
∴∠CAD＝∠G，
∵△ACE∽△ABD，
∴＝，∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠G，
∴AB＝BG，
∵BG∥AC，
∴△ADC∽△GDB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
六、（本大题共3小题，共12分）
21．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．
（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；
（2）求证：△ACB∽△AED；
（3）若α＝30°，求的值．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出AE＝DE，DE＝BE，由等腰三角形的性质得出结论；
（2）证出∠C＝∠AED＝90°，由相似三角形的判定可得出结论；
（3）设EF＝x，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出AE＝x，CD＝x，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵BD和AD的垂直平分线交于点E，
∴AE＝DE，DE＝BE，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠EAB＝α，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝45°+α，
∴∠BDE＝∠DBE＝45°+α，
∴∠BED＝180°﹣2∠DBE＝90°﹣2α；
（2）证明：
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠5+∠DAB＝∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵BD和AD的垂直平分线交于点E，
∴AE＝ED＝BE，
∴∠1＝∠2，∠8+∠CBA＝∠EDB，
∴∠CAB+∠2＝∠1+∠CBA，
即∠EDB＝∠CAE，
∵∠EDB+∠CDE＝180°，
∴∠CAE+∠CDE＝180°，
∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠A ED＝360°，
∴∠C+∠AED＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AC：BC＝AE：ED＝3，
∴△ACB∽△AED；
（3）解：当α＝30°时，∠BED＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝120°﹣30°＝90°，
∵AE＝ED，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDE＝60°，
设EF＝x，则AE＝x，
∴AD＝AE＝x，
∴CD＝x，
∴＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ACB∽△AED是解题的关键．
22．（12分）已知，如图，AB∥DC
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，进而可以解决问题；
（2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，角平分线的比等于相似比，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC，∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC+∠ADB＝180°，
∴∠C＝∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
（2）解：∵△ABD∽△BDC，AE平分∠DAB，BF＝2AE，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∵S△ABD＝3，
∴S△BDC＝4S△ABD＝12；
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，角平分线的比等于相似比．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状；
（3）当tan∠PAE＝时，求a的值．
【分析】（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE2＝PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把a＝3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值，进而判断即可．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到＝＝2，再分情况讨论，从而求出a的值．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，
∵BP＝a，
∴PC＝5﹣a，DE＝4﹣CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，∠2+∠2＝90°，
∵∠1+∠5＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
自变量的取值范围为：0＜a＜4；
（2）如图1，当a＝3时＝，
∴DE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝3，
∴PF＝AD＝6，
∴四边形APFD是平行四边形，
∵AP＝＝3，
∴AP＝PF，
∴平行四边形APFD是菱形；
（3）如图2，根据tan∠PAE＝＝2，
∵∠APB+∠BPE＝90°，∠CEP+∠EPC＝90°，
∴∠CEP＝∠APB，
又∵∠ABP＝∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴＝＝2
于是：＝＝2 ＝＝2 ②
解得：a＝4，EC＝1.5或 a＝6．
∴a＝3或7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．
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