重庆市育才中学2023-2024学年高一数学上学期拔尖强基联合定时检测试题（一）（Word版附解析）

这是一份重庆市育才中学2023-2024学年高一数学上学期拔尖强基联合定时检测试题（一）（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了 下列说法中，正确的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.
注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.
第I部分（选择题，共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的补集和并集的运算即可求得.
【详解】因为全集，集合，则，
又因为，所以.
故选：A
2. 在下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案
【详解】解：对于A，由于，所以此函数的值域为，不合题意；
对于B，由于，所以，所以，所以此函数的值域为，符合题意；
对于C，的值域为，不合题意；
对于D，由于，所以，所以此函数的值域为，不合题意，
故选：B
【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于基础题
3. 德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出，进而求出的值.
【详解】因为，所以，故.
故选：D
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. ，
B. “且”是“”的充要条件
C. ，
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】AB选项可举出反例；C选项，解方程得到C错误；D选项，解方程得到或2，从而得到D正确.
【详解】A选项，当时，，A错误；
B选项，且时，，充分性成立，
但时，满足，不满足且，必要性不成立，B错误；
C选项，，解得，C错误；
D选项，，解得或2，所以不能推出，充分性不成立，
但能得到，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确.
故选：D
5. 若函数在R上是增函数，且，，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可.
【详解】∵函数在R上是增函数，且，
∴由函数单调性的定义可知，，
解得，
∴实数的取值范围是．
故选：C．
6. 已知集合，，则能使成立的实数a的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根据集合之间的交集运算关系，得到，列出不等式，求解即可.
【详解】由，
得，
∵，
∴．
又，
所以，
解得．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了由集合之间的包含关系，求参数范围的问题，属较易题.
7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】在上单调递减，，解得，
故选：C
8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
二.多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9. 下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. 与
C. ，D. 与
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义域和解析式是否都相同来判断是否同一函数.
【详解】A. ，定义域和解析式都相同，是同一函数；
B. 的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
C. 的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
D. ，的定义域均为，解析式都相同，是同一函数.
故选：AD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为2
B. 已知，则的最小值为
C. 实数，满足，的最小值为5
D. 若正数，为实数，若，则的最小值为3
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；CD选项，变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；
【详解】选项A，当时，，A错误；
选项B，，则，
，
当且仅当，即时等号成立，B正确；
选项C，∵，
∴，
其中，
令，
则，，
又因为，当且仅当，即时取得最小值，
所以的最小值为，所以C不正确.
D选项，因为正数，满足，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，D正确；
故选：BD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，，，则
B. 的一个必要不充分条件是
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 已知，，若，则实数的范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，作差法比较大小；B选项，不能得到，B错误；C选项，先得到的定义域为，进而得到不等式，求出的定义域；D选项，先求出时实数的取值范围，从而得到时的的取值范围.
【详解】A选项，若，，，
故，
因为，，所以，，
又，所以，故，所以A错误；
B选项，不能得到，所以一个必要不充分条件是不成立，B错误；
C选项，函数的定义域为，故，则，
所以的定义域为，所以，
即函数定义域为，故C正确；
D选项，已知，，若，
当时，则，
当，此时，则需要或，无解，
综上可知，当时，，
故时实数的范围是，D正确.
故选：CD
12. 若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存保值区间
B. 函数存在保值区间
C. 若函数存在保值区间，则
D. 若函数存在保值区间，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，
【详解】对于A，在和上单调递增，
令，得，，故不存在保值区间，故A正确，
对于B，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，，
若存在保值区间，
若，令得无解，
若，则，作差后化简得或，不合题意，
故不存在保值区间，故B错误，
对于C，若存在保值区间，
而在上单调递增，故，得，故C正确，
对于D，函数在上单调递减，
若存在保值区间，
则，作差得，
得，则原式等价于在上有两解，
令，则在上有两解，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，故D正确，
故选：ACD
第II部分（非选择题，共90分）
三.填空题（每小题5分，共20分.）
13. 不等式的解集是_______
【答案】
【解析】
【分析】移项通分，再转化为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，即，因此，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
14. 的单调增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求函数定义域,再求复合函数中内外函数的单调性,根据同增异减原则,写出结果即可.
【详解】解:由题知,
由解得或,
故函数的定义域为或,
因为对称轴为,开口向上,
故在单调递减,在单调递增,
因为在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:.
故答案为:
15. 已知，满足，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】变形得到，从而相加后得到取值范围.
【详解】显然有，
∵，，
∴相加得到.
故答案为：
16. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影. 设,用符号表示不大于x的最大整数，如称函数叫做高斯函数. 给出下列关于高斯函数的说法：
①
②若,则
③函数的值域是
④函数在上单调递增
其中所有正确说法的序号是_____________
【答案】①②④
【解析】
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】对①，由高斯函数的定义，可得，故①正确；
对②，若，则，而表示不大于x的最大整数，
则，即，故②正确；
对③，函数，当时，，故③错误；
对④，函数，即函数为分段函数，
在上单调递增，故④正确.
故选：①②④.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的定义域为集合，集合
（1）求集合；
（2）求，
【答案】（1）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）利用函数定义域的求法即可求出集合；
（2）可求集合，然后进行交集，并集和补集的运算即可.
【小问1详解】
（1）因为函数的定义域为集合，
则
【小问2详解】
因为或，
所以，
又因为或，
则或.
18. （1）已知为二次函数，且 ，求函数的解析式；
（2）已知，求函数 的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论；
（2）用换元法，令代入计算即可.
【详解】（1）设 ，
则有：
，
所以 ， 所以 ，
所以 .
（2） 令 .
则 ，
所以 ，
所以 的解析式为 .
19. 已知函数,（）.
（1）分别计算， 的值.
（2）由（1）你发现了什么结论?并加以证明.
（3）利用（2）中结论计算的值.
【答案】（1），.
（2）结论，证明见解析.
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案；
（2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可；
（3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案.
【小问1详解】
由题意得，
.
【小问2详解】
由（1），得结论.
证明如下:
.
【小问3详解】
由，可得，
故
.
20. 已知恒成立.
（1）求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二次项系数是否为零，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
因为恒成立，
①当时，恒成立；
②当时，要使恒成立.则且，
即，解得：.
综上，a的取值范围为：；
【小问2详解】
由，得.
因为：，
①当，即时，则；
②当，即时，，不等式无解；
③当，即时，则.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
21. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
（1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【解析】
【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解，
（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.
【小问1详解】
由题意可得，
当时，，
所以，解得．
所以
【小问2详解】
当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值750万元；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值850万元，
因为，
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
22. 已知函数，．
（1）若，说明函数在的单调性并证明；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）单调递增，证明见详解.
（2）
【解析】
【分析】（1）按照定义法证明单调性的步骤：取值、作差后通分、因式分解、定号、下结论；
（2）先对a进行分类讨论函数的单调性，由恒成立可知，然后可得a的范围，结合最小值对进行放缩，最后由二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
当时，，此时函数在的单调递增.
且，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以函数在的单调递增.
【小问2详解】
当时，和在都为增函数，所以在上单调递增；
当时，显然在上单调递增；
当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增；
当时，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由对勾函数性质可知，在单调递减，所以在上单调递减.
综上，当或时，在上单调，要使不等式恒成立，
必有，即，解得，不满足；
当时，，所以，
由，解得，
所以；
当时，，所以，
由，解得，
所以.
综上，
因为，所以，
所以，
由二次函数性质可知，当时，取得最小值.
【点睛】难点点睛：本题难点在于分类讨论函数单调性，根据求出a的取值范围，然后利用得，再由二次函数性质可解.
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