2024重庆市育才中学、西南大学附中拔尖强基联盟高二下学期3月联合考试数学含解析

这是一份2024重庆市育才中学、西南大学附中拔尖强基联盟高二下学期3月联合考试数学含解析，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，在等差数列中，，则的值是，已知正项数列满足，且，则的值是，下列计算正确的是，定义等内容，欢迎下载使用。

数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
命题学校：重庆育才中学
2024年3月
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
第Ⅰ卷
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数求导正确的是（ ）
A.B.C.D.
2.设函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A.函数有极大值B.函数有极大值
C.函数的单调递增区间为D.函数的单调递增区间为
3.已知，，则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ）
A.9B.8C.7D.6
4.在等差数列中，，则的值是（ ）
A.12B.18C.24D.30
5.已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
6.已知正项数列满足，且，则的值是（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.如图，已知，是双曲线的左、右焦点，、为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A.，B.函数的极大值与极小值之和为6
C.函数有三个零点D.函数在区间上的最小值为1
11.已知直线经过抛物线的焦点，与交于，两点，与的准线交于点，则（ ）
A.B.若，则
C.若，则的取值范围是D.若，，成等差数列，则
第Ⅱ卷
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的函数为（的单位是cm），则时，弹簧振子瞬时速度是______cm/s.
13.甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种；若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有______种.
14.若实数，分别是方程，的根，则的值为______.
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
已知函数在处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求的极值.
16.（本小题15分）
已知数列的前项乘积为，即，若对，，都有成立，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求使得成立的的最大值.
17.（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，左焦点为，过点的直线交椭圆于点（不与顶点重合），交轴于点，且满足，若，求直线的方程.
18.（本小题17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，在区间上有且仅有2个零点.
19.（本小题17分）
对于整系数方程，当的最高次幂大于等于3时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根，则，若已经可以求解，则问题解决；否则，就对再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：
有理根定理：如果整系数方程有有理根，其中、，，，那么，.
符号说明：对于整数，，表示，的最大公约数；表示是的倍数，即整除.
（1）过点作曲线的切线，借助有理根定理求切点横坐标；
（2）试证明有理根定理；
（3）若整数，不是3的倍数，且存在有理数，使得，求，.
西南大学附中重庆育才中学
高2025届拔尖强基联盟高二下三月联合考试
数学参考答案及评分意见
8.解析：因为，不妨设，则有，
即，令，由函数单调性可知，在上单调递增，
则在上恒成立.
法一：若，则，
又过点且与相切的切线方程为，
由函数图象可知，只需即可.
法二：若，则，
令，，
若，则，在上单调递增，，符合题意，所以；
若，令，则，所以在上单调递减，
所以，不合题意，舍；综上.
法三：若，则，
令，则，
令，，
所以在上单调递增，，
则，所以在上单调递增，
由洛必达法则知，所以.
11.解析：因为直线过点，即，所以，A选项正确；
过作于，过作于，则，，
若点在第二象限，过作于，因为，所以，
所以斜率，则，
同理，当点在第一象限时，，B选项错误
若，设，则，
令且，，且，
所以，C选项正确；
因为，，成等差数列，所以，可得，
又，，所以即，且，
所以，，所以为中点，则，选项D正确.
14.解析：∵，分别是方程，的根，∴，，
即，变形为，从而，
同构得：且，.
设，∴，即在上单调递增，
又∵，∴，从而.
15.（1）由已知可得……2分
……5分
（2）由（1）得……6分
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；……9分
故极大值为……11分极小值为……13分
16.解：（1）由……3分
又由已知条件可得，则为公比为2的等比数列，∴……6分
（2）……8分
则……10分
所以……12分
若，则……14分
又因为，所以的最大值为7……15分
17.解：（1）由题知即，所以；……2分
又点在椭圆上，即，解得，……4分
所以，，……5分则椭圆的标准方程；……6分
（2）设直线的方程为：，，，∴，……7分
因为，所以，
即，则有，又，可得与同号，所以，……10分
联立椭圆和直线的方程：得，则，……12分
所以即，，……14分
所以直线的方程为：或……15分
18.解：（1）
当时，令，，所以在上单调递增，
令，，所以在上单调递减，……2分
当时，，所以在上单调递增，……4分
当时，令，，所以在上单调递增，
令，，所以在上单调递减，……6分
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题，
，令，则，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以在上有一个零点，即……8分
当时，，则在上单调递减，……9分
又，，所以存在使得，……10分
则当，，在单调递增，当，，在上单调递减，而，，
所以在上必存在唯一零点，即在上存在唯一零点……12分
当时，在上单调递增且，，
所以存在，使得，……13分
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得……15分
则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，，所以在上无零点……17分
综上，在上有且仅有2个零点.
19.解：（1）设切点为，∵，∴
即：∴……1分
由有理根定理知，该方程有理根可能为：，，，经验证满足方程，即有理根有……2分
进一步分解因式为：，即：或或……4分
（2）因为是的一个有理根，因此在有理数域上，
从而……5分
所以，可将分解为：，式中都是整数……6分
比较两边系数，即得，.因此，，……8分
（3）求解之前先引入下面引理：
引理 方程不存在整数解.
证明：假设存在整数解，即，变形为
∴是1的约数，即……9分
当时，，因此不成立……10分
当时，，即.
又因为整数，不是3的倍数，不妨设，，
即，或.同理可得情形；
∴3除以的余数为2与1矛盾……12分
∴不存在整数解.
下面正式求解：
假设这样的写成最简分数是，其中.根据引理，，因此
，化简得到.
注意到是整数，所以是的约数，
另外，互质，所以……14分
代入回上面的式子，得到，即是4的约数.
考虑到，互质，……15分
分别代入即可，当时，，矛盾.
当时，也就是，.
可得：，，，……17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
D
B
A
A
B
BC
AB
ACD
题号
12
13
14
答案
64，37