精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三三模文科数学试题（解析版）

数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0或1或2

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合B，再根据并集结果求解.

【详解】解：，

因为，

所以a=1或2，

故选：C．

2. 已知i为虚数单位，复数的虚部为（    ）

A.  B. -1 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的乘方运算以及除法运算计算可得答案.

【详解】解：，则z的虚部为．

故选：A.

3. 在等比数列中，，则数列的公比（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】用表示出已知等式后可得结论．

【详解】由题意知，所以，所以或.

故选：.

4. 某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：

若y与x线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t的值为（    ）

A. 5.8 B. 5.6 C. 5.4 D. 5.2

【答案】B

【解析】

【分析】由样本中心必在回归直线上即可求解.

【详解】解：由表格中的数据可得，，

将点代入回归直线方程得，解得．

故选：B．

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用诱导公式和倍角公式可以求解.

【详解】，，

所以，

；

故选：A．

6. 在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线家教的定义，AC与 的夹角就是 与 的夹角，构造三角形，运用余弦定理即可求解.

【详解】
 

如上图所示：连接，因为，

所以 与 的夹角就是异面直线与AC所成角，

不妨设，由余弦定理得：

，

，，

在中， ；

故选：C．

7. 剪纸艺术是中国传统的民间工艺，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．其特点主要表现在空间观念的二维性．在小学实验课本中，有这样一幅图例(如图所示)，矩形ABCD满足，E为BC的中点，其中曲线为过A、D、E三点的圆弧，若随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对称性，可以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立平面直角坐标系，设AB=1，，求出各点坐标，求出过A、D、E三点的圆的方程，求出阴影部分面积为，矩形ABCD面积为S，则根据几何概型概率计算方法可知所求概率为．

【详解】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

设AB=1，，

则，，，，

设过A、D、E三点的圆F的方程为，

则，即圆F的方程为，

，

，是等边三角形，，

∴阴影部分的面积为．

又矩形ABCD面积，

故该点落在阴影部分的概率．

故选：A．

8. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出圆锥轴截面图象，根据圆锥的母线与底面所成的角为求出底面半径和圆锥母线的关系，根据圆锥体积求出底面半径和母线长度，判断轴截面三角形形状，从而可求其内切圆半径，从而得到圆锥内切球半径．

【详解】∵圆锥的母线与底面所成的角为60°，∴设底面圆的半径为a，母线长为，

则，∴，

∴圆锥的高，

∴该圆锥的体积，解得，

设该圆锥内切球的半径r，易知圆锥轴截面为等边三角形，故．

故选：D．

9. 已知，下列三个命题：①，，②，，③，．其中是真命题的有（    ）

A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小可判断出结果.

【详解】对于①，因为，所以，对恒成立，故①正确；对于②，因为，所以，所以，所以对恒成立，故②正确；

对于③，因为在上为减函数，所．故③错误．

故选：C．

10. 椭圆C：左，右焦点分别为、，P为椭圆C上一点，且垂直x轴，若，，成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列定义和勾股定理可得c，再由椭圆定义可得a，然后由几何量关系可得.

【详解】由题知，，，，

又垂直x轴，所以，解得，

又由椭圆定义可得，即，

所以，

所以椭圆方程为.

故选：D

11. 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用点M的坐标求出，再代入计算作答.

【详解】由曲线过知，，

即，则，解得，

又，则，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，

代入曲线方程得到，

则，即点N的纵坐标为．

故选：D

12. 已知函数，则方程实根的个数为

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】C

【解析】

【分析】对分类讨论：当时，显然可知有一实根；当时，方程可化为或，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可．

【详解】当时，，，

∴有一实根；

当时，，，

∴，

∴或|，

分别画出函数以及，的图象如图，

由图可知共有3个交点，故实根个数为4个，故选C．

【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数零点的个数即等价于函数和图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若实数x，y满足，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】作出不等式组表示的可行域，利用直线的纵截距的几何意义可求出结果.

【详解】作出不等式组表示的可行域如图所示，

由，得，得，

当经过图中时，．

故答案为：.

14. 已知向量，，若，且，则的坐标为______．

【答案】或

【解析】

【分析】先求得向量的坐标，再根据，且求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

又因为若，且，

，
 

解得

所以．

故答案为：或

15. 已知双曲线D：的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线D左、右两支分别交于M，N两点，若是以MN为斜边的等腰直角三角形，则D的离心率为______．

【答案】

【解析】

【分析】设则，再根据双曲线的定义得到方程组，即可得到，，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：设，则，所以，

即，

所以，则．

在中由余弦定理知：，

即，则，即．

故答案为：

16. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．

【详解】∵①，

∴当时，②，

①－②得，∴；

当时，，∴，此时仍然成立，

∴．

∴当n=1时，；

当时，，

当n=1时，上式也成立，故．

由于，

设

则，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知中，内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若．

（1）求A；

（2）若b=4，，求的值．

【答案】（1）；   

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，利用正弦定理边化角和三角恒等变换化简即可得cosA，从而求出A；

(2)利用余弦定理求出a、cosB、cosC，再求出sinB、sinC，利用正弦的差角公式即可计算sin(B-C)．

【小问1详解】

∵，

∴由正弦定理可知．

∴，∴．

又∵，∴，∴，∴．

【小问2详解】

由余弦定理得，即，

∴，，

∴，．

∴．

18. 中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课．神州十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：

（1）分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生航天知识的整体水平差异；

（2）若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率．

【答案】（1），，，；估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别计算平均数和方差即可得结果；

（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式即可得结果.

【小问1详解】

，

．

，

因为两个班级学生得分平均值相同，所以我们估计两个班级航天知识整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大

【小问2详解】

甲班级得分不低于85分的有4名同学，记为A，B，C，D．乙班级得分不低于85分的有3名同学，记为a，b，c，

从这7名同学中选取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）共21个基本事件．

其中两名学生均来自于乙班级的有（（a，b），（a，c），（b，c）共3个基本事件，

所以所求事件的概率．

19. 如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．

（1）判断HM与面的关系，并证明你的结论；

（2）若，，求斜三棱柱两底面间的距离．

【答案】（1）直线HM与平面平行，证明见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点N．连接NM，AN．通过证明四边形ANMH为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可证直线HM与平面平行；

（2）设斜三棱柱两底面间的距离为d，根据可求出结果.

【小问1详解】

直线HM与平面平行．

证明如下：取的中点N．连接NM，AN．

因为点M是的中点，所以，且．

又是正方形，点H是AB的中点，所以，．

所以，．

所以四边形ANMH为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面．

小问2详解】

因为点在平面上的射影是AB的中点H，所以平面．

连接，，则，．

由正方形的边AB=2，得，

所以，

所以的面积为．

设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面的距离为d，

由得，解得，

即斜三棱柱两底面间的距离为．

20. 已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)由题意，根据所给的几何关系以及抛物线的性质，可以求解；

(2)分别设A，B，M，N，T的坐标，利用其中的几何关系可以证明.

【小问1详解】

由可知，抛物线C的准线为：，

点到准线的距离为，根据抛物线定义：，，

抛物线C的方程为；

【小问2详解】

设，，，，，．

，，

由，，得，即，

同理，

由得…①，

由得…②，

①②两式相加得，

即，

，，点T在定直线上．

综上，抛物线C的方程为.

21. 已知函数与在公共点处有相同的切线．

（1）求a，b的值；

（2）当时．恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，再结合导数的几何意义列式求解作答.

（2）等价变形不等式，构造函数，借助导数探讨恒成立即可求解作答.

【小问1详解】

函数，，求导得：，．

因函数与在公共点处有相同的切线，

则有，且，即，且，解得，，

所以，.

【小问2详解】

由（1）知，，，，

令，，而在上单调递增，且值域为，

当，即时，恒大于等于零，在上单调递增，则恒成立，

当，即时，，使得，当时，，当时，，

于是得在单调递减，在上单调递增，当时，，不符合题意，

综上得：，

所以实数k的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数t即可得到直线l的普通方程，利用，，化简可得曲线的直角坐标方程；

（2）由（1）的曲线的方程为圆的方程，得出圆心坐标即半径，圆上的点到直线的最大距离即为圆心到直线的距离加上半径.

【小问1详解】

解：直线l的参数方程为（其中t为参数），

消去参数t可得，即直线l的普通方程为．

因为曲线C的极坐标方程为，

展开为，

所以，因为，，，

所以曲线C的平面直角坐标方程为．

【小问2详解】

解：将曲线C的方程配方得，

它表示圆心坐标为，半径为圆，

因为圆心到直线的距离，

所以圆上的点到直线l的距离的最大值为．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）当时，求的解集；

（2）设，若对， ，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）去绝对值符号，分区间求解即可；

（2）根据题意，比较 与 的最小值即可求解.

【小问1详解】

当时， ，

无解；，无解；，解得 ，

所以的解集为；