北师大版数学八年级下册考点梳理+精讲精练专题01三角形的证明（2份打包，原卷版+含解析）

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一．直角三角形全等的判定（共3小题） 二．角平分线的性质（共2小题）
三．线段垂直平分线的性质（共3小题） 四．等腰三角形的性质（共3小题）
五．等腰三角形的判定（共3小题） 六．等腰三角形的判定与性质（共5小题）
七．等边三角形的性质（共4小题） 八．等边三角形的判定（共4小题）
九．等边三角形的判定与性质（共3小题） 十．直角三角形的性质（共4小题）
十一．含30度角的直角三角形（共3小题） 十二．勾股定理（共5小题）
十三．勾股定理的证明（共4小题） 十四．勾股定理的逆定理
十五．反证法 十六．四种命题及其关系（共1小题）
知识点一、等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
6.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
7.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
8.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
9.反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
用反证法证题的一般步骤
1.假设:先假设命题的结论不成立
2.归谬:从这个假设出发应用正确的推论方法得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确从而肯定命题的结论正确
知识点二、直角三角形
1. 直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等一般判定定理：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)
（2）直角三角形全等的HL判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）
综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.
2.直角三角形的性质
定理：直角三角形的两个锐角互余；
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
3.勾股定理
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；
勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）
勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.
4.逆命题与逆定理
（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；
（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.
要点诠释：
几何证明的分析思路：
（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：
要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；
要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；
要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；
要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.
（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：
已知线段的垂直平分线→线段相等；
已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；
已知直线平行→角相等；
已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.
知识点三、线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（2）线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

M
N
B
A
P
如图：∵MN垂直平分线段AB
∴PA=PB
（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等
的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.
2.角的平分线
（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（2）角的平分线有下面的性质定理：
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

如图：∵OP平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
3.垂线的性质
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
要点诠释：
（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；
（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.
一．直角三角形全等的判定（共3小题）
1．（2022秋•庐江县期中）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28°B．59°C．60°D．62°
2．（2022春•七星区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
3．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
二．角平分线的性质（共2小题）
4．（2022秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．（2022秋•常州期中）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
三．线段垂直平分线的性质（共3小题）
6．（2022秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
7．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（ ）
A．3B．3C．4D．5
8．（2021秋•荔城区校级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果△DBC的周长等于9cm，BC＝4cm，那么AC的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．9cm
四．等腰三角形的性质（共3小题）
9．（2022秋•防城区期中）等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则其腰长为（ ）
A．5cmB．5cm或7.5cmC．7.5cmD．以上都不对
10．（2022秋•梁溪区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
11．（2022春•白塔区校级期中）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
五．等腰三角形的判定（共3小题）
12．（2022春•罗湖区期中）如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）证明：AC＝AF；
（2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小．
13．（2022秋•宁津县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
14．（2022秋•红安县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
六．等腰三角形的判定与性质（共5小题）
15．（2022秋•铜山区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②④⑤D．②④⑤
16．（2020秋•莱西市期中）如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 ．
17．（2022秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 ．
18．（2022秋•横县期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
19．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I做DE∥BC分别交AB，AC于点D，E．求△ADE的周长．请补全以下的解答过程．
解：∵BI平分∠ABC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
又∵DE∥BC（已知），
∴∠2＝ （ ），
∴∠1＝ ，
∴DI＝ （ ）．
同理可得：EI＝ ．
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+DB+EC+AE
＝ + ＝5+6＝11．
七．等边三角形的性质（共4小题）
20．（2022秋•长沙期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
21．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 ．
22．（2022秋•铁锋区期中）如图．已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，M是BE的中点．
（1）求∠E的度数；
（2）求证：DM⊥BC．
23．（2022春•驿城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由；
（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．
八．等边三角形的判定（共4小题）
24．（2021秋•蒙阴县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
25．（2022秋•灌阳县期中）如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等边三角形．
26．（2022秋•东莞市校级期中）已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形．
27．（2022秋•颍泉区期中）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
九．等边三角形的判定与性质（共3小题）
28．（2022秋•金乡县期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
29．（2022秋•夏津县期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
30．（2022春•沈北新区期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
一十．直角三角形的性质（共4小题）
31．（2022秋•屯昌县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．5B．25°C．35°D．45°
32．（2022秋•崇川区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝20°，则∠BDC等于 ．
33．（2022春•榆林期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延长线上取一点E，过点E作EG⊥BC于点G，EG交于AB于点F，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
（1）求证：∠C+∠BFE＝180°；
（2）延长EH交BC于点M，随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，求出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，求出∠BHE的度数．
34．（2022春•三元区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD，过点B作BG⊥CE于F，交AC于点G，连接GE．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）求证：GE⊥AB．
一十一．含30度角的直角三角形（共3小题）
35．（2021秋•密山市校级期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或30°B．75°C．15°D．75°和15°
36．（2021秋•川汇区期中）如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
37．（2022秋•商丘期中）已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为 ．
一十二．勾股定理（共5小题）
38．（2022秋•新城区期中）以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ）
A．B．C．4D．5
39．（2022秋•句容市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
40．（2022秋•金湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S2＝18，S3＝15，S4＝6，则S1的值是 ．
41．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AB⊥BD，AD平分∠BAC，且与BC、BD交于点E、点D，BD＝5，则BC＝ ．
42．（2022秋•莲湖区期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的面积．
一十三．勾股定理的证明（共4小题）
43．（2022春•通道县期中）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为a、b（a≥b），斜边为c的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．
44．（2022春•德城区校级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请写出S1，S2，S3的数量关系： ．
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2＝ ．
45．（2022春•隆阳区期中）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则（a+b）2的值是 ．
46．（2022春•孝义市期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为 ．
一十四．勾股定理的逆定理（共5小题）
47．（2022秋•顺德区校级期中）在△ABC中，若其三条边的长度分别为1、1、，则这个三角形的面积是 ．
48．（2022秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．
49．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 ．
50．（2022秋•市中区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．
51．（2022春•越秀区期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
一十五．反证法（共2小题）
52．（2022春•北仑区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
53．（2022春•大田县期中）若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．B．C．D．
一十六．四种命题及其关系（共1小题）
54．（2022秋•上城区校级期中）命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是 ．