北师大版五年级数学上册第5单元 分数的意义_第04讲_最大公因数(学生版) 试卷

小学数学辅导讲义

[北师大版]

知识图谱

最大公因数的认识

知识精讲

一．公因数和最大公因数的意义

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．

二．求两个数最大公因数的方法

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个．

（2）筛选法：先找出两个数中较小数因数，从中圈出圈大数的因数，再看哪一个因数最大．

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数．

（4）短除法：把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数．

典型例题 怎样求18和27的最大公因数？

名师学堂方法一：列举法．

方法分析：先分别找出18和27各自的因数，然后看18和27的因数中哪些是它们的公因数，再从中找出最大的一个．

18的因数：1，2，3，6，9，18；27的因数：1，3，9，27；18和27的公因数有1，3，9；18和27的最大公因数是9．

方法二：筛选法．

方法分析：先找出两个数中较小数18的因数，再看18的因数中，哪些是27的因数，从中找出最大的．

18的因数：1，2，3，6，9，18．从大到小依次看18的因数是不是27的因数，18不是27的因数，9是27的因数，所以9是18和27的最大公因数，这样找最大公因数更快捷．

方法三：分解质因数法．

方法分析：把18和27分别分解质因数，，．18和27的公因数一定包含18和27公有的质因数．最大公因数就是公因数中最大的一个，所以它一定包含18和27全部公有的质因数3和3，3乘3的积就是18和27的最大公因数．即18和27的最大公因数是．

方法四：短除法．

方法分析：用18和27公有的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是否只有公因数1，如果不1，再接着往下除，一直除到商只有公因数1为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是18和27的最大公因数．

18和27的最大公因数是．

三点剖析

重点：公因数和最大公因数的意义．

难点：求两个数的最大公因数的方法．

易错点：公因数与最大公因数区别不开，混淆公因数和最大公因数的意义．

公因数和最大公因数的意义

例题

例题1、填一填，与同伴交流并回答，10和25的公因数中最大的是________。

例题2、12的因数有（）；16的因数有（）；12和16的公因数有（）；其中最大的一个是（）。

例题3、判断。

（1）两个数的公因数的个数是无限的。（  ）

（2）1是任何两个非零自然数的公因数。（  ）

（3）两个相邻的自然数（0除外）的最大公因数都是1。（  ）

（4）两个合数的最大公因数不能是1。（  ）

（5）两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（  ）

（6）1和任何非零自然数的最大公因数是1。（  ）

随练

随练1、填一填。

（1）a和b相同的因数是它们的（），其中最大的一个是它们的（）。

随练2、下列各组数中有没有公因数2？有没有公因数5？有没有公因数3？填一填．

18和24（   ）    45和60（   ）    36和42（   ）

75和90（   ）    51和84（   ）    72和40（   ）

随练3、判断．（对的画“√”，错的画“×”）

（1）5是因数，10是倍数．（        ）

（2）最简分数的分子和分母没有公因数．（        ）

（3）分数的分子和分母同时除以一个数，分数的大小不变．（        ）

求两个数最大公因数的方法

例题

例题1、选一选．（将正确答案的字母填在括号里）

（1）的分子、分母的公因数有（　　　　）个．

A．4

B．3

C．2

D．1

（2）下列各组数中，最大公因数是1的一组是（　　　　）．

A．15和5

B．11和12

C．100和12

D．81和27

（3）12是36和60的（　　　　）．

A．倍数

B．因数

C．公因数

D．最大公因数

（4）下列各数中，（　　　　）与18的公因数只有1个．

A．36

B．25

C．27

D．15

例题2、写出下面各分数中分子和分母的最大公因数．

（　　　　）（　　　　）（　　　　）

（　　　　）（　　　　）（　　　　）

例题3、在16的因数上画“△”，在28的因数上画“○”。

16和28的公因数有________，最大公因数是________。

例题4、在相应的括号里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。

例题5、你能用短除法求出下面每组数的最大公因数吗？

30和45    16和40

随练

随练1、判断：36和24的最大公因数是4．（　　　　）

随练2、找出18和24的所有因数及最大公因数，并与同伴交流你是怎么找的。

18的因数：________；

21的因数：________；

18和24的最大公因数是________。

随练3、写出下面各数与3的最大公因数，你能发现什么规律？

我发现：当一个数是质数的倍数时，它们的最大公因数是（   ），当一个数不是质数的倍数时，它们的最大公因数是（   ），一个数与质数的最大公因数只有（   ）种情况．

最大公因数的应用

知识精讲

一．两个数最大公因数的特殊情况

1．当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数．

2．当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1．公因数只有1的两个数叫做互质数．

二．互质数的特殊情况

1．1和任意非0的自然数都是互质数．

2．2和任何奇数都是互质数．

3．相邻的两个自然数是互质数．

4．相邻的两个奇数是互质数．

5．不相同的两个质数是互质数．

6．一个合数与一个质数是互质数．（合数是质数的倍数除外）

三．最大公因数的实际应用

当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决．

典型例题 如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？

名师学堂理解题意．题中要求在贮藏室的长方形地面上铺正方形的地砖，铺地砖的要求是既要把地面铺满，又要用边长是整分米数的整块的地砖．如图所示：

分析与解答．

方法分析：正方形地砖的边长是整分米数，而且要所用地砖必须都是整块的，那么正方形地砖的边长要同时符合长方形地面长和宽的要求，即正方形地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数，也就是16和12的公因数．因此，16和12的公因数即所需正方形地砖的边长，其中的最大公因数就是要求的最大正方形地砖的边长．

解决问题：16和12的公因数有1、2、4，最大公因数是4．所以，可以选边长是1dm、2dm、4dm的正方形地砖，正方形地砖的边长最大是4dm．

回顾与反思——用画图法验证结果的准确性．

方法说明．画一个长16dm，宽12dm的长方形，代表贮藏室．分别在长方形里面画边长为1dm、2dm、3dm、……的正方形，用来代表地砖，看是否能正好铺满长方形．

操作验证．用边长是1dm的正方形地砖铺，长边上用16块，宽边上用12块，一共用了（块）地砖，正好铺满地面（如图一）；用边长是2dm的正方形地砖铺，长边上用8块，宽边上用6块，一共用了（块）地砖，正好铺满地面（如图二）；用边长是3dm的正方形地砖铺，宽边上用4块，长边上用5块后，余1dm，所以不能用整数块地砖铺满地面（如图三）；用边长是4dm的正方形地砖铺，长边上用4块，宽边上用3块，一共用了（块）地砖，正好铺满地面（如图四）；用边长是5dm的正方形地砖铺，长边上用3块后，余1dm，宽边上用2块后，余2dm，所以不能用整数块地砖铺满地面（如图五）．……继续画下去，发现剩下的都不能用整数块地砖铺满地面．

得出结论．要想用整数块的正方形地砖把贮藏室的地面铺满，所选正方形地砖的边长必须是16和12的公因数．长和宽的最大公因数就是最大正方形地砖的边长．

三点剖析

重点：用求公因数的方法解决实际问题．

难点：将实际问题转化为数学问题．

易错点：实际情况分析时不全面．

求两个数最大公因数的特殊情况

例题

例题1、选择。

（1）4是32和40的（  ）。

A．倍数   B．公因数   C．最大公因数   D．以上都不对

（2）如果（a，b均为非0自然数），a与b的最大公因数是（  ）。

A．1   B．a    C．b    D．3

（3）两个质数的最大公因数是（  ）。

A．1   B．较小的数   C．较大的数   D．无法确定

（4）如果（a，b均为非0自然数），则a和35的最大公因数是（  ）。

A．1   B．a    C．b    D．35

（5）57和19的最大公因数是（  ）。

A．57   B．19    C．1    D．3

例题2、找出下列每组数的最大公因数，你有什么发现？

（1）4和8（  ）    5和25（  ）

7和56（  ）    13和39（  ）

我发现：当两个数成（  ）关系时，它们的最大公因数就是（  ）。

（2）5和13（  ）    8和9（  ）

11和19（  ）    22和15（  ）

我发现：当两个数只有公因数（  ）时，它们的最大公因数也是（  ）。

例题3、A，B两个数的和是90，其中A是B的5倍，A和B的最大公因数是多少？

随练

随练1、判断．（对的画“√”，错的画“×”）

（1）自然数不是质数就是合数．（    ）

（2）a＝8b（a，b均为非零的自然数），那么a和b的最大公因数是8．（    ）

随练2、探究题找出下列各组数的最大公因数，并写出你的发现．

（1）6和12________    24和8________

5和15________    21和7________

30和6________    12和48________

我发现：________________________________________．

（2）4和9________    5和11________

3和10________   8和9________

14和15________    1和6________

我发现：________________________________．

随练3、两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数。（）

互质数的意义和判断方法

例题

例题1、按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。

（1）两个数都是质数：（  ）和（  ）。

（2）两个数都是合数：（  ）和（  ）。

（3）一个质数，一个合数：（  ）和（  ）。

（4）两个数都是奇数：（  ）和（  ）。

（5）一个奇数，一个偶数：（  ）和（  ）。

（6）一个质数，一个偶数：（  ）和（  ）。

（7）一个奇数，一个合数：（  ）和（  ）。

随练

用求最大公因数的方法解决实际问题

例题

例题1、有一块长方形纸板，长42cm，宽35cm，要将它剪成正方形纸板且没有剩余（损耗忽略不计），剪成正方形的边长最大是多少厘米？

例题2、

例题3、每年的6月5日世界环境日，前进路小学五（1）班56名学生和五（2）班64名学生都要上街参加环保宣传活动．要求按班分组，如果两个班每组的人数必须相同，每组最多有多少人？

例题4、如图有一块长方体木块，长是7dm、宽是5dm、高是4.5dm，如果把它锯成若干块同样大小的正方体木块，可以锯成棱长最大是多少厘米的正方体木块而又不浪费，可以锯成多少块？

随练

随练1、同学们买来84枝红花，60枝黄花，36枝粉花，用这些花最多可以扎成多少束同样的花束？

随练2、把长45cm和30cm的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余。

随练3、有一块长48cm、宽42cm的花布，不浪费边角料，剪出若干个尽量大的正方形布片．正方形布片的边长最长是多少厘米？

随练4、星星幼儿园买回49块水果糖和29块奶糖．刘老师把两种糖果分别平均分给小班的每位小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖少了1块．小班最多会有多少个小朋友？

拓展

拓展1、先用“√”画出各个数的因数，再填空。

（1）4和6的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

（2）4和12的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

（3）6和12的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

（4）4，6和12的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

拓展2、用14个小正方形拼长方形，有几种拼法？画一画，填一填。

14＝（  ）×（  ）    14＝（  ）×（  ）

14的全部因数：________

拓展3、按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1．

（1）两个数都是质数：________和________．

（2）两个数都是合数：________和________．

（3）一个奇数，一个偶数：________和________．

（4）一个质数，一个合数：________和________．

（5）一个奇数，一个合数：________和________．

（6）一个质数，一个偶数：________和________．

拓展4、找一找1，2，…，20各数和8的最大公因数，你有什么发现？

拓展5、填空。

（1）在24的因数上画“○”，在36的因数上画“△”。

24和36的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

（2）18的因数有（  ），27的因数有（  ），18和27的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

（3）把12和30的因数、公因数分别填在相应的位置。

12和30的最大公因数是（  ）。

拓展6、选一选．（将正确答案的序号填在括号里）

（1）18和54的最大公因数是（   ）．

①3    ②6    ③9    ④18

（2）5和15的最大公因数是（   ）．

①1    ②3    ③5    ④7

（3）甲、乙两数是两个相邻的自然数，甲、乙两数的最大公因数是（   ）．

①1    ②甲数    ③乙数    ④甲、乙两数的积

（4）如果自然数b÷a＝3（a≠0），那么a、b的最大公因数是（   ）．

①1    ②a    ③b    ④3

拓展7、已知m＝2×3×5×5，n＝2×3×3×5，m和n的公因数有（  ），最大公因数是（  ）。

拓展8、求出下面每组数的最大公因数。

78和13    24和42

30和45    41和53

9，12和18    36，48和84

拓展9、填一填。

（1）选一选。（将苹果中的数填在对应的括号里）

6    12    7    20

①（  ）和（  ）的最大公因数是6。

②（  ）和（  ）的最大公因数是4。

③（  ）和（  ）的最大公因数是1。

④（  ）和（  ）的最大公因数是2。

（2）在括号里填上一个数，使它和已知数至少有两个公因数。

12和（  ）    20和（  ）

28和（  ）    21和（  ）

拓展10、把下面两种纸条分别剪成同样长的小纸条（每条的长度为整厘米数），并且没有剩余，每小段可能是多长？每小段纸条最长是多少厘米？

A纸条：18cm

B纸条：12cm

拓展11、把长72cm、宽48cm的铁板裁成若干个面积相等的小正方形而没有剩余，裁出的小正方形的边长最大是多少厘米？

拓展12、背景资料

小星利用休息时间去幼儿园当“小老师”。

把幼儿园中班的32个小男孩和24个小女孩分别分组做游戏，要使每组的人数相同，每组最多有多少人？

拓展13、如果要用边长是整分米数的正方形瓷砖把小芳房间的地面（如图）铺满（使用的瓷砖必须都是整块）。可以选择边长是多少分米的瓷砖？边长最大是多少分米？