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浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题及答案
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这是一份浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，其中表示不超过的最大整数，则=
A．2B．3C．D．6
8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
二、多选题
9．下列各组中表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列关系中，正确的有（ ）
A． B．C．D．
11．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A．2B．C．1D．0
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
三、填空题
13．已知集合，若，则实数a等于
14．函数的定义域是 .
15．已知，则 ．
16．已知不等式的解集为，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知集合，全集.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3).
19．求下列函数的最值．
(1)求函数的最小值．
(2)已知，求函数的最大值．
20．已知函数，.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21．已如函数.
（1）若不等式解集为时，求实数的值；
（2）当时，解关于的不等式.
22．“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
参考答案：
1．C
【分析】根据交集与补集的概念及运算方法，即可求解.
【详解】由题意，集合，可得或，
所以.
故选：C.
2．C
【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”.
故选：C
3．A
【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得或，
所以由可以得到，但由不一定得到，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．D
【分析】利用不等式的性质，根据，证明不等式，若不正确，只需要举出一个反例即可.
【详解】解：A选项：当，，时不符合题意；
B选项：当时不符合题意；
C选项：当时，不符合题意；
D选项：，.又.
故选：D.
5．A
【分析】通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像.
【详解】由题意，
在中，定义域为，值域为，
选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确.
选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误.
选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误.
选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以故D中图象不是函数的图像，D错误.
故选：A.
6．B
【分析】依题意，由基本不等式可得，当等号成立时即可求出最大值.
【详解】因为，，根据基本不等式可得，，
整理得，当且仅当时，等号成立，
此时，的最大值为.
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，需注意基本不等式的使用条件和等号成立的条件，属基础题.
7．D
【分析】由该特殊符号的性质求出的值，带入解析式即可求出函数值.
【详解】由特殊符号的性质：，所以.
故选D.
【点睛】本题考查新定义函数及函数的代入求值，由题意求解即可，注意负数的大小关系.
8．A
【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
9．ABD
【分析】根据同一函数需同时满足：定义域相同，化简后的对应法则相同，对选项逐一分析即可.
【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为，，所以A符合题意；
B选项的定义域均为，，故B选项符合题意；
C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以C错误；
D选项，的定义域均为，，，，所以D符合题意.
故选：ABD
10．AB
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】根据集合间关系可得正确，错误
根据元素与集合之间的关系可得正确，错误
故选：AB.
11．AB
【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.
【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；
当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．
故选AB．
【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.
12．CD
【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
13．3
【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.
【详解】因为，所以，即，
解得或，
经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾；
时，，满足题意.
故答案为：3
14．且
【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域，逐项求解即可.
【详解】解：由题意得，解得且，
故函数的定义域为且.
故答案为：且
15．
【分析】将代入已知关系式即可求得结果.
【详解】令，解得：，.
故答案为：.
16．
【解析】根据不等式的解集为，，列出不等式求出解集即可.
【详解】∵不等式的解集为，
∴，即，即，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答，是基础题目.
17．(1)
(2)
【分析】（1）集合的并集运算，可运用画数轴数形结合方法求出.
（2）由，得出，根据集合的包含关系可以求出对应参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，全集，
（2），
，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上，的取值范围是或.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法解原不等式，即可得解；
（3）将所求不等式变形为，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解.
【详解】（1）解：可化为，
对应方程的两个根为，，
故原不等式的解集为.
（2）解：原不等式等价于，解得，
故原不等式的解集为.
（3）解：不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值；
（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.
【详解】（1），，而，
当且仅当，即当时，该函数取得最小值；
（2），，则，
当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.
20．（1）函数在区间上为减函数，证明见解析；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性，即可求解在闭区间上的最值.
【详解】解：（1）根据题意，函数在区间上为减函数，
证明：，
设，则
，
又由，则
，，，
则，
则函数在上为减函数；
（2）由（1）的结论，函数在上为减函数，
则在上最大值为，最小值为.
21．(1) 或 (2)答案见解析
【分析】（1）易得和2是方程的根．
（2）可知两根为或者，再分别讨论和的大小即可.
【详解】
（1）的解集为
或
或
（2）当，即时，恒成立.
当，即时，或
当，即时，或
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或
【点睛】此题考查二次函数含参解不等式题型，涉及到分类讨论，讨论时注意不重不漏，属于较难题目．
22．(1)；
(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.
【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
(2)当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.
【详解】（1）当时，
.
当时，
，
所以；
（2）当时，
，
所以当时，(万元).
当时，
(万元)，
当且仅当即时，等号成立.
因为，
所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
一、单选题
1．设全集，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，其中表示不超过的最大整数，则=
A．2B．3C．D．6
8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
二、多选题
9．下列各组中表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列关系中，正确的有（ ）
A． B．C．D．
11．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A．2B．C．1D．0
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
三、填空题
13．已知集合，若，则实数a等于
14．函数的定义域是 .
15．已知，则 ．
16．已知不等式的解集为，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知集合，全集.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3).
19．求下列函数的最值．
(1)求函数的最小值．
(2)已知，求函数的最大值．
20．已知函数，.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21．已如函数.
（1）若不等式解集为时，求实数的值；
（2）当时，解关于的不等式.
22．“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
参考答案：
1．C
【分析】根据交集与补集的概念及运算方法，即可求解.
【详解】由题意，集合，可得或，
所以.
故选：C.
2．C
【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”.
故选：C
3．A
【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得或，
所以由可以得到，但由不一定得到，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．D
【分析】利用不等式的性质，根据，证明不等式，若不正确，只需要举出一个反例即可.
【详解】解：A选项：当，，时不符合题意；
B选项：当时不符合题意；
C选项：当时，不符合题意；
D选项：，.又.
故选：D.
5．A
【分析】通过函数的定义域和值域，分析四个选项的定义域和值域，即可得出正确图像.
【详解】由题意，
在中，定义域为，值域为，
选项A，定义域为，值域为，满足题意，A正确.
选项B，定义域，值域为，不满足定义域和值域，B错误.
选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误.
选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以故D中图象不是函数的图像，D错误.
故选：A.
6．B
【分析】依题意，由基本不等式可得，当等号成立时即可求出最大值.
【详解】因为，，根据基本不等式可得，，
整理得，当且仅当时，等号成立，
此时，的最大值为.
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，需注意基本不等式的使用条件和等号成立的条件，属基础题.
7．D
【分析】由该特殊符号的性质求出的值，带入解析式即可求出函数值.
【详解】由特殊符号的性质：，所以.
故选D.
【点睛】本题考查新定义函数及函数的代入求值，由题意求解即可，注意负数的大小关系.
8．A
【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
9．ABD
【分析】根据同一函数需同时满足：定义域相同，化简后的对应法则相同，对选项逐一分析即可.
【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为，，所以A符合题意；
B选项的定义域均为，，故B选项符合题意；
C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以C错误；
D选项，的定义域均为，，，，所以D符合题意.
故选：ABD
10．AB
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】根据集合间关系可得正确，错误
根据元素与集合之间的关系可得正确，错误
故选：AB.
11．AB
【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.
【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；
当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．
故选AB．
【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.
12．CD
【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
13．3
【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.
【详解】因为，所以，即，
解得或，
经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾；
时，，满足题意.
故答案为：3
14．且
【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域，逐项求解即可.
【详解】解：由题意得，解得且，
故函数的定义域为且.
故答案为：且
15．
【分析】将代入已知关系式即可求得结果.
【详解】令，解得：，.
故答案为：.
16．
【解析】根据不等式的解集为，，列出不等式求出解集即可.
【详解】∵不等式的解集为，
∴，即，即，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答，是基础题目.
17．(1)
(2)
【分析】（1）集合的并集运算，可运用画数轴数形结合方法求出.
（2）由，得出，根据集合的包含关系可以求出对应参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，全集，
（2），
，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上，的取值范围是或.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法解原不等式，即可得解；
（3）将所求不等式变形为，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解.
【详解】（1）解：可化为，
对应方程的两个根为，，
故原不等式的解集为.
（2）解：原不等式等价于，解得，
故原不等式的解集为.
（3）解：不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值；
（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.
【详解】（1），，而，
当且仅当，即当时，该函数取得最小值；
（2），，则，
当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.
20．（1）函数在区间上为减函数，证明见解析；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性，即可求解在闭区间上的最值.
【详解】解：（1）根据题意，函数在区间上为减函数，
证明：，
设，则
，
又由，则
，，，
则，
则函数在上为减函数；
（2）由（1）的结论，函数在上为减函数，
则在上最大值为，最小值为.
21．(1) 或 (2)答案见解析
【分析】（1）易得和2是方程的根．
（2）可知两根为或者，再分别讨论和的大小即可.
【详解】
（1）的解集为
或
或
（2）当，即时，恒成立.
当，即时，或
当，即时，或
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或
【点睛】此题考查二次函数含参解不等式题型，涉及到分类讨论，讨论时注意不重不漏，属于较难题目．
22．(1)；
(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.
【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
(2)当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.
【详解】（1）当时，
.
当时，
，
所以；
（2）当时，
，
所以当时，(万元).
当时，
(万元)，
当且仅当即时，等号成立.
因为，
所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
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