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人教版九年级数学河北专用教案：第二十八章 锐角三角函数
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这是一份人教版九年级数学河北专用教案：第二十八章 锐角三角函数，共55页。试卷主要包含了1 锐角三角函数，理解并掌握锐角的正弦的定义，求下列各式的值，449 578 85等内容，欢迎下载使用。
第1课时 正弦
01 教学目标
1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.
2.理解并掌握锐角的正弦的定义.
3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.
02 预习反馈
阅读教材P61～63，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq \f(∠A的对边,斜边)＝eq \f(a,c).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，sinA＝eq \f(3,5).
(2)sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
03 名校讲坛
例1 (教材例1变式)如图，求sinA和sinB的值.
【解答】 在Rt△ABC中，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,\r(34))＝eq \f(3\r(34),34)，
sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(5,\r(34))＝eq \f(5\r(34),34).
【点拨】 正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.
【跟踪训练1】 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝3∶4∶5，求sinA，sinB的值.
解：设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，
∴a2＋b2＝c2.∴∠C＝90°.
∴sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(3k,5k)＝eq \f(3,5)，sinB＝eq \f(b,c)＝eq \f(4k,5k)＝eq \f(4,5).
【点拨】 此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.
例2 (教材例题补充例题)已知在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(1,3)，BC＝2，求AC，AB的长.
【解答】 ∵∠C＝90°，sinA＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,3).
∵BC＝2，∴AB＝6.
由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(62－22)＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
即AC＝4eq \r(2)，AB＝6.
【跟踪训练2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24 cm，sinA＝eq \f(5,13)，则AB边的长度为26__cm.
04 巩固训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则sinA的值为(A)
A.eq \f(5,13) B.eq \f(5,12) C.eq \f(12,13) D.eq \f(13,5)
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值(C)
A.扩大100倍 B.缩小到原来的eq \f(1,100)
C.不变 D.不能确定
3.如图，在网格中小正方形的边长均为1，三角形的三个顶点都在格点上，则sinα的值是(A)
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
4.如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α＝(A)
A.eq \f(2\r(13),13) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(7),3)
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是eq \f(\r(5),5).
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC于点D.
(1)sinA可以为哪两条线段之比？
(2)若AC＝6，BC＝4，求sinA的值.
解：(1)sinA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(DC,BC).(2)sinA＝eq \f(2,3).
05 课堂小结
锐角的正弦的定义及求法.
第2课时 锐角三角函数
01 教学目标
1.掌握余弦、正切的定义.
2.了解锐角∠A的三角函数的定义.
3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.
02 预习反馈
阅读教材P64～65，自学“探究”与“例2”.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即csA＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c).∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq \f(a,b).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，csA＝eq \f(4,5)，tanA＝eq \f(3,4).
(2)∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
03 名校讲坛
例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
【解答】 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(132－122)＝5，
∴sinA＝csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(5,12)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(12,5).
【点拨】 利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.
【跟踪训练1】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，sinB＝eq \f(1,2)，则a＝eq \r(3)，b＝ 1，S△ABC＝eq \f(\r(3),2).
例2 (教材例题补充例题)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,5)，求sinA，csA的值.
【解答】 在Rt△ABC中，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,5)，
∴设BC为12x，AC为5x，由勾股定理，得AB为13x.
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(12x,13x)＝eq \f(12,13)，
csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(5x,13x)＝eq \f(5,13).
【点拨】 若已知直角三角形中某种三角函数的值，应先设出与这种三角函数相关的边的长度，再根据勾股定理求出第三边长，从而求出其他锐角三角函数的值.
【跟踪训练2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝eq \f(1,3)，那么sinB的值是(A)
A.eq \f(2\r(2),3) B.2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.3
例3 如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值.
【解答】 过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD，
∴CD＝eq \f(2S△ABC,AB)＝eq \f(2×84,15)＝eq \f(56,5).
在Rt△ACD中，sinA＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\f(56,5),13)＝eq \f(56,65).
【点拨】 求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过点C作高CD.
【跟踪训练3】 如图，△ABC在5×5的正方形网格中，则tan∠ABC＝eq \f(3,2).
04 巩固训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)
A.sin A＝eq \f(2,3) B.cs A＝eq \f(2,3)
C.tan A＝eq \f(2,3) D.tan B＝eq \f(3,2)
2.在△ABC中，若AC∶BC∶AB＝5∶12∶13，则tanA＝(D)
A.eq \f(12,13) B.eq \f(5,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(3，1)，则csα的值是(B)
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(1,3) D.3
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是eq \f(3,4).
5.如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则cs∠AOB＝eq \f(2\r(5),5).
6.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为eq \f(1,2).
05 课堂小结
1.本节学习锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.
2.求一个锐角的锐角三角函数值一定要放到直角三角形中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
01 教学目标
1.掌握30°，45°，60°角的锐角三角函数值，能够用它们进行计算.
2.能够根据30°，45°，60°角的锐角三角函数值，说出相应锐角的大小.
02 预习反馈
阅读教材P65～67，自习“探究”、“例3”与“例4”，完成下列内容.
03 名校讲坛
例1 求下列各式的值：
(1)cs230°＋sin230°；(2)eq \f(cs45°,sin45°)－tan60°.
【解答】 (1)cs230°＋sin230°＝(eq \f(\r(3),2))2＋(eq \f(1,2))2＝1.
(2)eq \f(cs45°,sin45°)－tan60°＝eq \f(\r(2),2)÷eq \f(\r(2),2)－eq \r(3)＝1－eq \r(3).
【点拨】 sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.
【跟踪训练】
1.计算：(1)|3－eq \r(12)|＋(eq \f(\r(6),2＋\r(2)))0＋cs230°－4sin60°；
(2)eq \r(2)(2cs45°－sin60°)＋eq \f(\r(24),4)；
(3)(sin30°)－1－2 0180＋|－4eq \r(3)|－tan60°.
解：(1)原式＝－eq \f(5,4).(2)原式＝2.(3)原式＝1＋2eq \r(3).
2.直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为eq \f(1,2)，则k的值为±2.
【点拨】 构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况.
例2 (教材补充例题)如图，在高为2 m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2 m，共需地毯的面积为(4eq \r(3)＋4)m2，则α为多少度？
【解答】 由题意，得BC＋AC＝eq \f(4\r(3)＋4,2)＝2eq \r(3)＋2，
∴AC＝2eq \r(3).
在Rt△ABC中，∵tanα＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴α＝30°.
答：α为30度.
【点拨】 此题应该先理解BC＋AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数.
【跟踪训练】
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝eq \r(3)c，则∠A＝60°.
04 巩固训练
1.如果α是等边三角形的一个内角，那么csα的值为(A)
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.1
2.计算2sin30°－2cs60°＋tan45°的结果是(D)
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1
3.如果在△ABC中，sinA＝csB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是(C)
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则三边的比a∶b∶c等于(B)
A.1∶2∶3 B.1∶eq \r(3)∶2 C.1∶1∶eq \r(3) D.1∶eq \r(2)∶2
5.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)
A.10米 B.15米 C.25米 D.30米
6.已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝eq \f(\r(3),2)，则α＝45°.
7.求下列各式的值：
(1)cs30°＋2sin60°－2tan45°；
(2)eq \f(tan30°,cs245°)＋eq \f(sin60°,sin30°).
解：(1)eq \f(3\r(3),2)－2.(2)eq \f(5\r(3),3).
05 课堂小结
本节主要学习了特殊角的锐角三角函数值，已知角的度数可求出其正、余弦和正切值，也可根据角的正、余弦值和正切值求出角的度数.
第4课时 用计算器求锐角三角函数值
01 教学目标
1.能利用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.
3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.
02 预习反馈
阅读教材P67～68的内容，完成练习题.
用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)
A.eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°)eq \x(3)eq \x(7)eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(＝)
B.eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7) eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(sin) eq \x(＝)
C.eq \x(2nd f) eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7) eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(＝)
D.eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7)eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(2ndf) eq \x(＝)
03 名校讲坛
知识点1 用计算器求下列锐角的三角函数值
例1 用计算器求下列锐角的三角函数值：
(1)cs63°17′； (2)tan27.35°； (3)sin39°47′6″.
【解答】 (1)0.449 578 85. (2)0.517 244 127.
(3)0.639 908 541.
【点拨】 按键顺序：(1)按功能键eq \x(sin)或eq \x(cs)或eq \x(tan)；(2)输入角度值；(3)按eq \x(＝)键.
【跟踪训练1】 四位学生用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(A)
7 6 2 1
知识点2 已知锐角的三角函数值，用计算器求相应的锐角的度数
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角A的度数：
(1)sinA＝0.981 6；(2)csA＝0.806 7；(3)tanA＝0.189.
【解答】 (1)78.991 840 39°.(2)36.225 245 78°.
(3)10.702 657 49°.
【点拨】 先按eq \x(2ndF)键，然后再按eq \x(sin)或eq \x(cs)或eq \x(tan)键，再输入数值，得到的结果为度数的形式.若计算结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按eq \x(2nd F)eq \x(°′″)键.
【跟踪训练2】 已知csθ＝0.741 592 6，则θ为(C)
A.40° B.41° C.42° D.43°
04 巩固训练
1.比较大小：sin46°27′>cs53°28′.
2.根据所给条件求锐角α.(精确到1″)
(1)已知sin α＝0.477 1，求α；
(2)已知cs α＝0.845 1，求α；
(3)已知tan α＝1.410 6，求α.
解：(1)sin α＝0.477 1，α＝28.49°＝28°29′24″.
(2)cs α＝0.845 1，α＝32.31°＝32°18′36″.
(3)tan α＝1.410 6，α＝54.66°＝54°39′36″.
3.如图，要焊接一个高3.5米，底角为32°的人字形钢架，约需多长的钢材(结果保留小数点后两位)?
解：依题意可知，AC＝BC，AD＝BD.
在Rt△CDA中，∵AC＝eq \f(CD,sin32°)＝eq \f(3.5,0.530)＝6.604，AD＝eq \f(CD,tan32°)＝eq \f(3.5,0.625)＝5.6，
∴AC＋BC＋AD＋DB＋CD＝2AC＋2AD＋CD＝2×6.604＋2×5.6＋3.5≈27.91(米).
答：均需27.91米长的钢材.
05 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
2.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
01 教学目标
1.掌握解直角三角形的根据.
2.能由已知条件解直角三角形.
02 预习反馈
阅读教材P72～73，自学“探究”、“例1”与“例2”，完成下列内容.
(1)在直角三角形中，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：
三边之间的关系a2＋b2＝c2；
两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；
边与角之间的关系：sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式 ∠A＋∠B＝90° 求出∠B，用关系式sinA＝eq \f(a,c)求出a.
03 名校讲坛
类型1 已知两边，解直角三角形
例1 (教材例1变式)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq \r(2)；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq \r(3).
【解答】 (1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq \r(2)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(2),2).
∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.
∴AC＝BC＝3.
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq \r(3)，
∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \r(3)，AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝4eq \r(3).
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
【点拨】
【跟踪训练1】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是eq \f(4,5).
类型2 已知一边和一锐角，解直角三角形
例2 (教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形.
【解答】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°.
又∵sinA＝eq \f(BC,AB)，∠A＝45°，AB＝10，
∴BC＝5eq \r(2).
∴AC＝BC＝5eq \r(2).
例3 (教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.
【解答】 ∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°.
∵csA＝eq \f(AC,AB)，
∴AB＝eq \f(AC,csA)＝eq \f(10,\f(\r(3),2))＝eq \f(20\r(3),3).
又∵tanA＝eq \f(BC,AC)，
∴BC＝AC·tanA＝10×tan30°＝10×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(10\r(3),3).
【点拨】
【跟踪训练2】 如图，在△ABC中，∠B＝45°，csC＝eq \f(3,5)，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是14a2.
04 巩固训练
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq \f(1,2)，则BC的长是(A)
A.2 B.8 C.2eq \r(5) D.4eq \r(5)
2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(B)
A.m·sin α米 B.m·tan α米
C.m·cs α米 D.eq \f(m,tan α)米
3.如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cs B＝eq \f(4,5)，则AC＝eq \f(15,4).
4.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，csA＝eq \f(3,5)，BE＝4，则DE的值是8.
5.如图，在△ABC中，AC＝8，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，求AB的长.
解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝8×eq \f(1,2)＝4，
AD＝AC·cs∠CAD＝8×cs 30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).
在Rt△BDC中，DB＝CD·tan∠BCD＝4×1＝4，
∴AB＝BD＋DA＝4eq \r(3)＋4.
05 课堂小结
本节学习的数学知识：解直角三角形.
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题
01 教学目标
1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.
2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.
02 名校讲坛
例1 (教材例3变式)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图2.
已知铁环的半径为15 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝eq \f(3,5).
(1)求点M离地面AC的高度BM；
(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49 cm，求铁环钩MF的长度.
【解答】 过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交点于H，N.
(1)在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝15，
HM＝OM·sinα＝9，
∴OH＝12，
MB＝HA＝15－12＝3。
答：铁环钩离地面的高度为3 cm.
(2)∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，即∠FMN＝∠MOH＝α.
∴eq \f(FN,FM)＝sinα＝eq \f(3,5).
∴FN＝eq \f(3,5)FM.
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝49－9＝40.
∵FM2＝FN2＋MN2，
即FM2＝(eq \f(3,5)FM)2＋402，
解得FM＝50.
答：铁环钩的长度FM为50 cm.
【点拨】 步骤：(1)根据题意画出平面图形，再将所求问题转化为直角三角形问题；(2)利用直角三角形的边角关系与三角函数的有关知识解答.
例2 (教材例4变式)如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶A的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶点A的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
【解答】 过点C作CF⊥AB于点F，则四边形CDBF是矩形.
则CF＝DB，FB＝CD＝4米.设AB＝x米，
则AF＝AB－FB＝(x－4)米.
在Rt△ACF中，CF＝eq \f(AF,tanα)＝eq \r(3)(x－4)米.
∴DB＝eq \r(3)(x－4)米.
在Rt△AEB中，EB＝eq \f(AB,tanβ)＝eq \f(\r(3),3)x米.
∵DB－EB＝DE，
∴eq \r(3)(x－4)－eq \f(\r(3),3)x＝3，
解得x＝6＋eq \f(3,2)eq \r(3).
答：树高AB是(6＋eq \f(3,2)eq \r(3))米.
【跟踪训练】 如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是(D)
A.200米 B.200eq \r(3)米 C.220eq \r(3)米 D.100(eq \r(3)＋1)米
03 巩固训练
1.如图，某同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米，则旗杆AB的高度为(D)
A.10eq \r(3)米 B.(10eq \r(3)＋1.5)米 C.eq \f(10\r(3),3)米 D.(eq \f(10\r(3),3)＋1.5)米
2.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据，可求观光塔的高CD是135m.
3.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)
解：设楼EF的高为x米，可得EG＝EF－GF＝(x－1.5)米.依题意，得EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF(设垂足为G).在Rt△EGD中，DG＝eq \f(EG,tan∠EDG)＝eq \f(\r(3),3)(x－1.5)米.在Rt△EGB中，BG＝eq \r(3)(x－1.5)米，∴CA＝DB＝BG－DG＝eq \f(2\r(3),3)(x－1.5)米.∵CA＝12米，∴eq \f(2\r(3),3)(x－1.5)＝12，解得x＝6eq \r(3)＋1.5≈11.9，则楼EF的高度约为11.9米.
04 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.
第2课时 与方位角、坡度有关的解直角三角形应用题
01 教学目标
1.能运用解直角三角形解决航行问题.
2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
3.理解坡度i＝eq \f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.
02 预习反馈
阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题，完成下列问题.
(1)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形的问题；
b.根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.最后得到实际问题的答案.
(2)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的北偏东40°方向.
03 名校讲坛
类型1 方位角问题
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
【解答】 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.
∴AD＝eq \f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.
答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.
【点拨】 应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.
【跟踪训练1】 如图所示，A，B两城市相距200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)
解：过点P作PC⊥AB，点C是垂足.
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
即eq \f(\r(3),3)PC＋PC＝200，
(eq \f(\r(3),3)＋1)PC＝200.
∴PC＝eq \f(3,3＋\r(3))×200
＝eq \f(3（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)×200
＝100(3－eq \r(3))
≈100×(3－1.732)≈126.8＞100.
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
【点拨】 解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
类型2 坡度、坡角问题
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
【解答】 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,3)，eq \f(CF,FD)＝eq \f(1,2.5)，
∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).
∵斜坡的坡度i＝eq \f(1,3)≈0.333 3，
∴eq \f(BE,AE)＝0.333 3，即tanα＝0.333 3.∴α≈18°26′.
∵eq \f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq \f(BE,sinα)≈eq \f(23,0.3162)≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
【点拨】 这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
【跟踪训练2】 如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.
解：作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝400米，
∴DF＝CD·sin30°＝eq \f(1,2)×400＝200(米)，
CF＝CD·cs30°＝eq \f(\r(3),2)×400＝200eq \r(3)(米).
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米，
∴AE＝tan60°·x＝eq \r(3)x(米).
在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米，
在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
即eq \r(3)x＋200＝200eq \r(3)＋x.
∴x＝200.
∴AB＝AE＋BE＝(200eq \r(3)＋200)米.
04 巩固训练
1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq \r(3)，堤坝高BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是(C)
A.50eq \r(3) m B.100eq \r(3) m C.100 m D.150 m
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是(C)
A.2海里 B.2sin 55°海里 C.2cs 55°海里 D.2tan 55°海里
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)
A.40eq \r(2)海里 B.40eq \r(3)海里 C.80海里 D.40eq \r(6)海里
4.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是3eq \r(5)米.
5.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，根据图中数据，可求出坝底宽AD为(7.5＋4eq \r(3))m.(i＝CE∶ED，单位：m)
6.甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变.求：
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲轮船后来的速度.
解：(1)作BD⊥AC于点D.由题意可知，AB＝30×1＝30(海里)，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.
在Rt△ABD中，∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，
∴BD＝15海里，AD＝ABcs 30°＝15eq \r(3)(海里).
在Rt△BCD中.∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，
∴CD＝15海里，BC＝15eq \r(2)海里.
∴AC＝AD＋CD＝(15eq \r(3)＋15)海里，
即A，C间的距离为(15eq \r(3)＋15)海里.
(2)∵AC＝(15eq \r(3)＋15)海里.
∴轮船乙从A到C的时间为eq \f(15＋15\r(3),15)＝1＋eq \r(3).
由B到C的时间为1＋eq \r(3)－1＝eq \r(3).
∵BC＝15eq \r(2)海里，
∴轮船甲从B到C的速度为eq \f(15\r(2),\r(3))＝5eq \r(6)(海里/小时).
答：甲轮船后来的速度为5eq \r(6)海里/小时.
05 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想. 锐角A
锐角三角函数 )
30°
45°
60°
sinA
eq \f(1,2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(3),2)
csA
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(1,2)
tanA
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边和一直角边(如c，a)
①b＝eq \r(c2－a2)；
②由sinA＝eq \f(a,c)，求∠A；
③∠B＝90°－∠A.
两直角边(如a，b)
①c＝eq \r(a2＋b2)；
②由tanA＝eq \f(a,b)，求∠A；
③∠B＝90°－∠A.
已知类型
已知条件
解法步骤
一边和
一锐角
斜边和一锐角(如c，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②由sinA＝eq \f(a,c)，得a＝c·sinA；
③由csA＝eq \f(b,c)，得b＝c·csA.
一直角边和一锐角(如a，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②由tanA＝eq \f(a,b)，得b＝eq \f(a,tanA)；
③由sinA＝eq \f(a,c)，得c＝eq \f(a,sinA).
第1课时 正弦
01 教学目标
1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.
2.理解并掌握锐角的正弦的定义.
3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.
02 预习反馈
阅读教材P61～63，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq \f(∠A的对边,斜边)＝eq \f(a,c).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，sinA＝eq \f(3,5).
(2)sin30°＝eq \f(1,2)，sin45°＝eq \f(\r(2),2)，sin60°＝eq \f(\r(3),2).
03 名校讲坛
例1 (教材例1变式)如图，求sinA和sinB的值.
【解答】 在Rt△ABC中，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,\r(34))＝eq \f(3\r(34),34)，
sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(5,\r(34))＝eq \f(5\r(34),34).
【点拨】 正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.
【跟踪训练1】 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a∶b∶c＝3∶4∶5，求sinA，sinB的值.
解：设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，
∴a2＋b2＝c2.∴∠C＝90°.
∴sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(3k,5k)＝eq \f(3,5)，sinB＝eq \f(b,c)＝eq \f(4k,5k)＝eq \f(4,5).
【点拨】 此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.
例2 (教材例题补充例题)已知在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(1,3)，BC＝2，求AC，AB的长.
【解答】 ∵∠C＝90°，sinA＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,3).
∵BC＝2，∴AB＝6.
由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(62－22)＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
即AC＝4eq \r(2)，AB＝6.
【跟踪训练2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24 cm，sinA＝eq \f(5,13)，则AB边的长度为26__cm.
04 巩固训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则sinA的值为(A)
A.eq \f(5,13) B.eq \f(5,12) C.eq \f(12,13) D.eq \f(13,5)
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值(C)
A.扩大100倍 B.缩小到原来的eq \f(1,100)
C.不变 D.不能确定
3.如图，在网格中小正方形的边长均为1，三角形的三个顶点都在格点上，则sinα的值是(A)
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
4.如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α＝(A)
A.eq \f(2\r(13),13) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(7),3)
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是eq \f(\r(5),5).
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC于点D.
(1)sinA可以为哪两条线段之比？
(2)若AC＝6，BC＝4，求sinA的值.
解：(1)sinA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(DC,BC).(2)sinA＝eq \f(2,3).
05 课堂小结
锐角的正弦的定义及求法.
第2课时 锐角三角函数
01 教学目标
1.掌握余弦、正切的定义.
2.了解锐角∠A的三角函数的定义.
3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.
02 预习反馈
阅读教材P64～65，自学“探究”与“例2”.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即csA＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c).∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq \f(a,b).如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c＝5，csA＝eq \f(4,5)，tanA＝eq \f(3,4).
(2)∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
03 名校讲坛
例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
【解答】 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(132－122)＝5，
∴sinA＝csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(5,12)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(12,5).
【点拨】 利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.
【跟踪训练1】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，sinB＝eq \f(1,2)，则a＝eq \r(3)，b＝ 1，S△ABC＝eq \f(\r(3),2).
例2 (教材例题补充例题)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,5)，求sinA，csA的值.
【解答】 在Rt△ABC中，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,5)，
∴设BC为12x，AC为5x，由勾股定理，得AB为13x.
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(12x,13x)＝eq \f(12,13)，
csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(5x,13x)＝eq \f(5,13).
【点拨】 若已知直角三角形中某种三角函数的值，应先设出与这种三角函数相关的边的长度，再根据勾股定理求出第三边长，从而求出其他锐角三角函数的值.
【跟踪训练2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝eq \f(1,3)，那么sinB的值是(A)
A.eq \f(2\r(2),3) B.2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.3
例3 如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值.
【解答】 过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD，
∴CD＝eq \f(2S△ABC,AB)＝eq \f(2×84,15)＝eq \f(56,5).
在Rt△ACD中，sinA＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\f(56,5),13)＝eq \f(56,65).
【点拨】 求sinA的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB的长，故可通过点C作高CD.
【跟踪训练3】 如图，△ABC在5×5的正方形网格中，则tan∠ABC＝eq \f(3,2).
04 巩固训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)
A.sin A＝eq \f(2,3) B.cs A＝eq \f(2,3)
C.tan A＝eq \f(2,3) D.tan B＝eq \f(3,2)
2.在△ABC中，若AC∶BC∶AB＝5∶12∶13，则tanA＝(D)
A.eq \f(12,13) B.eq \f(5,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(3，1)，则csα的值是(B)
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(1,3) D.3
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是eq \f(3,4).
5.如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则cs∠AOB＝eq \f(2\r(5),5).
6.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为eq \f(1,2).
05 课堂小结
1.本节学习锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.
2.求一个锐角的锐角三角函数值一定要放到直角三角形中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.
第3课时 特殊角的锐角三角函数值
01 教学目标
1.掌握30°，45°，60°角的锐角三角函数值，能够用它们进行计算.
2.能够根据30°，45°，60°角的锐角三角函数值，说出相应锐角的大小.
02 预习反馈
阅读教材P65～67，自习“探究”、“例3”与“例4”，完成下列内容.
03 名校讲坛
例1 求下列各式的值：
(1)cs230°＋sin230°；(2)eq \f(cs45°,sin45°)－tan60°.
【解答】 (1)cs230°＋sin230°＝(eq \f(\r(3),2))2＋(eq \f(1,2))2＝1.
(2)eq \f(cs45°,sin45°)－tan60°＝eq \f(\r(2),2)÷eq \f(\r(2),2)－eq \r(3)＝1－eq \r(3).
【点拨】 sin230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.
【跟踪训练】
1.计算：(1)|3－eq \r(12)|＋(eq \f(\r(6),2＋\r(2)))0＋cs230°－4sin60°；
(2)eq \r(2)(2cs45°－sin60°)＋eq \f(\r(24),4)；
(3)(sin30°)－1－2 0180＋|－4eq \r(3)|－tan60°.
解：(1)原式＝－eq \f(5,4).(2)原式＝2.(3)原式＝1＋2eq \r(3).
2.直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为eq \f(1,2)，则k的值为±2.
【点拨】 构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况.
例2 (教材补充例题)如图，在高为2 m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2 m，共需地毯的面积为(4eq \r(3)＋4)m2，则α为多少度？
【解答】 由题意，得BC＋AC＝eq \f(4\r(3)＋4,2)＝2eq \r(3)＋2，
∴AC＝2eq \r(3).
在Rt△ABC中，∵tanα＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴α＝30°.
答：α为30度.
【点拨】 此题应该先理解BC＋AC的长就是地毯的长度，所以先根据已知地毯的面积和宽求出地毯长，再求出AC的长，然后根据tanA的值得知α的度数.
【跟踪训练】
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝eq \r(3)c，则∠A＝60°.
04 巩固训练
1.如果α是等边三角形的一个内角，那么csα的值为(A)
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.1
2.计算2sin30°－2cs60°＋tan45°的结果是(D)
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1
3.如果在△ABC中，sinA＝csB＝eq \f(\r(2),2)，则下列最确切的结论是(C)
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则三边的比a∶b∶c等于(B)
A.1∶2∶3 B.1∶eq \r(3)∶2 C.1∶1∶eq \r(3) D.1∶eq \r(2)∶2
5.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)
A.10米 B.15米 C.25米 D.30米
6.已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝eq \f(\r(3),2)，则α＝45°.
7.求下列各式的值：
(1)cs30°＋2sin60°－2tan45°；
(2)eq \f(tan30°,cs245°)＋eq \f(sin60°,sin30°).
解：(1)eq \f(3\r(3),2)－2.(2)eq \f(5\r(3),3).
05 课堂小结
本节主要学习了特殊角的锐角三角函数值，已知角的度数可求出其正、余弦和正切值，也可根据角的正、余弦值和正切值求出角的度数.
第4课时 用计算器求锐角三角函数值
01 教学目标
1.能利用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.
3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.
02 预习反馈
阅读教材P67～68的内容，完成练习题.
用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)
A.eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°)eq \x(3)eq \x(7)eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(＝)
B.eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7) eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(sin) eq \x(＝)
C.eq \x(2nd f) eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7) eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(＝)
D.eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(4) eq \x(°) eq \x(3) eq \x(7)eq \x(°) eq \x(1) eq \x(8) eq \x(°) eq \x(2ndf) eq \x(＝)
03 名校讲坛
知识点1 用计算器求下列锐角的三角函数值
例1 用计算器求下列锐角的三角函数值：
(1)cs63°17′； (2)tan27.35°； (3)sin39°47′6″.
【解答】 (1)0.449 578 85. (2)0.517 244 127.
(3)0.639 908 541.
【点拨】 按键顺序：(1)按功能键eq \x(sin)或eq \x(cs)或eq \x(tan)；(2)输入角度值；(3)按eq \x(＝)键.
【跟踪训练1】 四位学生用计算器求sin 62°20′的值，正确的是(A)
7 6 2 1
知识点2 已知锐角的三角函数值，用计算器求相应的锐角的度数
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角A的度数：
(1)sinA＝0.981 6；(2)csA＝0.806 7；(3)tanA＝0.189.
【解答】 (1)78.991 840 39°.(2)36.225 245 78°.
(3)10.702 657 49°.
【点拨】 先按eq \x(2ndF)键，然后再按eq \x(sin)或eq \x(cs)或eq \x(tan)键，再输入数值，得到的结果为度数的形式.若计算结果要求为度、分、秒的形式，则再继续按eq \x(2nd F)eq \x(°′″)键.
【跟踪训练2】 已知csθ＝0.741 592 6，则θ为(C)
A.40° B.41° C.42° D.43°
04 巩固训练
1.比较大小：sin46°27′>cs53°28′.
2.根据所给条件求锐角α.(精确到1″)
(1)已知sin α＝0.477 1，求α；
(2)已知cs α＝0.845 1，求α；
(3)已知tan α＝1.410 6，求α.
解：(1)sin α＝0.477 1，α＝28.49°＝28°29′24″.
(2)cs α＝0.845 1，α＝32.31°＝32°18′36″.
(3)tan α＝1.410 6，α＝54.66°＝54°39′36″.
3.如图，要焊接一个高3.5米，底角为32°的人字形钢架，约需多长的钢材(结果保留小数点后两位)?
解：依题意可知，AC＝BC，AD＝BD.
在Rt△CDA中，∵AC＝eq \f(CD,sin32°)＝eq \f(3.5,0.530)＝6.604，AD＝eq \f(CD,tan32°)＝eq \f(3.5,0.625)＝5.6，
∴AC＋BC＋AD＋DB＋CD＝2AC＋2AD＋CD＝2×6.604＋2×5.6＋3.5≈27.91(米).
答：均需27.91米长的钢材.
05 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
2.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序.
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
01 教学目标
1.掌握解直角三角形的根据.
2.能由已知条件解直角三角形.
02 预习反馈
阅读教材P72～73，自学“探究”、“例1”与“例2”，完成下列内容.
(1)在直角三角形中，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：
三边之间的关系a2＋b2＝c2；
两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；
边与角之间的关系：sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式 ∠A＋∠B＝90° 求出∠B，用关系式sinA＝eq \f(a,c)求出a.
03 名校讲坛
类型1 已知两边，解直角三角形
例1 (教材例1变式)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq \r(2)；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq \r(3).
【解答】 (1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq \r(2)，
∴sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(2),2).
∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.
∴AC＝BC＝3.
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq \r(3)，
∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \r(3)，AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝4eq \r(3).
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
【点拨】
【跟踪训练1】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是eq \f(4,5).
类型2 已知一边和一锐角，解直角三角形
例2 (教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形.
【解答】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°.
又∵sinA＝eq \f(BC,AB)，∠A＝45°，AB＝10，
∴BC＝5eq \r(2).
∴AC＝BC＝5eq \r(2).
例3 (教材例2变式)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.
【解答】 ∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－30°＝60°.
∵csA＝eq \f(AC,AB)，
∴AB＝eq \f(AC,csA)＝eq \f(10,\f(\r(3),2))＝eq \f(20\r(3),3).
又∵tanA＝eq \f(BC,AC)，
∴BC＝AC·tanA＝10×tan30°＝10×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(10\r(3),3).
【点拨】
【跟踪训练2】 如图，在△ABC中，∠B＝45°，csC＝eq \f(3,5)，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是14a2.
04 巩固训练
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq \f(1,2)，则BC的长是(A)
A.2 B.8 C.2eq \r(5) D.4eq \r(5)
2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(B)
A.m·sin α米 B.m·tan α米
C.m·cs α米 D.eq \f(m,tan α)米
3.如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cs B＝eq \f(4,5)，则AC＝eq \f(15,4).
4.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，csA＝eq \f(3,5)，BE＝4，则DE的值是8.
5.如图，在△ABC中，AC＝8，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，求AB的长.
解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝8×eq \f(1,2)＝4，
AD＝AC·cs∠CAD＝8×cs 30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).
在Rt△BDC中，DB＝CD·tan∠BCD＝4×1＝4，
∴AB＝BD＋DA＝4eq \r(3)＋4.
05 课堂小结
本节学习的数学知识：解直角三角形.
28.2.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题
01 教学目标
1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.
2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.
02 名校讲坛
例1 (教材例3变式)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图2.
已知铁环的半径为15 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝eq \f(3,5).
(1)求点M离地面AC的高度BM；
(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于49 cm，求铁环钩MF的长度.
【解答】 过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交点于H，N.
(1)在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝15，
HM＝OM·sinα＝9，
∴OH＝12，
MB＝HA＝15－12＝3。
答：铁环钩离地面的高度为3 cm.
(2)∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，即∠FMN＝∠MOH＝α.
∴eq \f(FN,FM)＝sinα＝eq \f(3,5).
∴FN＝eq \f(3,5)FM.
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝49－9＝40.
∵FM2＝FN2＋MN2，
即FM2＝(eq \f(3,5)FM)2＋402，
解得FM＝50.
答：铁环钩的长度FM为50 cm.
【点拨】 步骤：(1)根据题意画出平面图形，再将所求问题转化为直角三角形问题；(2)利用直角三角形的边角关系与三角函数的有关知识解答.
例2 (教材例4变式)如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树.在平台顶C点测得树顶A的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶点A的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
【解答】 过点C作CF⊥AB于点F，则四边形CDBF是矩形.
则CF＝DB，FB＝CD＝4米.设AB＝x米，
则AF＝AB－FB＝(x－4)米.
在Rt△ACF中，CF＝eq \f(AF,tanα)＝eq \r(3)(x－4)米.
∴DB＝eq \r(3)(x－4)米.
在Rt△AEB中，EB＝eq \f(AB,tanβ)＝eq \f(\r(3),3)x米.
∵DB－EB＝DE，
∴eq \r(3)(x－4)－eq \f(\r(3),3)x＝3，
解得x＝6＋eq \f(3,2)eq \r(3).
答：树高AB是(6＋eq \f(3,2)eq \r(3))米.
【跟踪训练】 如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是(D)
A.200米 B.200eq \r(3)米 C.220eq \r(3)米 D.100(eq \r(3)＋1)米
03 巩固训练
1.如图，某同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度.他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米，则旗杆AB的高度为(D)
A.10eq \r(3)米 B.(10eq \r(3)＋1.5)米 C.eq \f(10\r(3),3)米 D.(eq \f(10\r(3),3)＋1.5)米
2.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据，可求观光塔的高CD是135m.
3.如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)
解：设楼EF的高为x米，可得EG＝EF－GF＝(x－1.5)米.依题意，得EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF(设垂足为G).在Rt△EGD中，DG＝eq \f(EG,tan∠EDG)＝eq \f(\r(3),3)(x－1.5)米.在Rt△EGB中，BG＝eq \r(3)(x－1.5)米，∴CA＝DB＝BG－DG＝eq \f(2\r(3),3)(x－1.5)米.∵CA＝12米，∴eq \f(2\r(3),3)(x－1.5)＝12，解得x＝6eq \r(3)＋1.5≈11.9，则楼EF的高度约为11.9米.
04 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.
第2课时 与方位角、坡度有关的解直角三角形应用题
01 教学目标
1.能运用解直角三角形解决航行问题.
2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
3.理解坡度i＝eq \f(坡面的铅直高度,坡面的水平宽度)＝tan坡角.
02 预习反馈
阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题，完成下列问题.
(1)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形的问题；
b.根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数等去解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.最后得到实际问题的答案.
(2)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的北偏东40°方向.
03 名校讲坛
类型1 方位角问题
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
【解答】 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.
∴AD＝eq \f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.
答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.
【点拨】 应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.
【跟踪训练1】 如图所示，A，B两城市相距200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414)
解：过点P作PC⊥AB，点C是垂足.
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
即eq \f(\r(3),3)PC＋PC＝200，
(eq \f(\r(3),3)＋1)PC＝200.
∴PC＝eq \f(3,3＋\r(3))×200
＝eq \f(3（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)×200
＝100(3－eq \r(3))
≈100×(3－1.732)≈126.8＞100.
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
【点拨】 解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
类型2 坡度、坡角问题
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
【解答】 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,3)，eq \f(CF,FD)＝eq \f(1,2.5)，
∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).
∵斜坡的坡度i＝eq \f(1,3)≈0.333 3，
∴eq \f(BE,AE)＝0.333 3，即tanα＝0.333 3.∴α≈18°26′.
∵eq \f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq \f(BE,sinα)≈eq \f(23,0.3162)≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
【点拨】 这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
【跟踪训练2】 如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.
解：作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝400米，
∴DF＝CD·sin30°＝eq \f(1,2)×400＝200(米)，
CF＝CD·cs30°＝eq \f(\r(3),2)×400＝200eq \r(3)(米).
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，设DE＝x米，
∴AE＝tan60°·x＝eq \r(3)x(米).
在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米，
在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
即eq \r(3)x＋200＝200eq \r(3)＋x.
∴x＝200.
∴AB＝AE＋BE＝(200eq \r(3)＋200)米.
04 巩固训练
1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶eq \r(3)，堤坝高BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是(C)
A.50eq \r(3) m B.100eq \r(3) m C.100 m D.150 m
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是(C)
A.2海里 B.2sin 55°海里 C.2cs 55°海里 D.2tan 55°海里
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)
A.40eq \r(2)海里 B.40eq \r(3)海里 C.80海里 D.40eq \r(6)海里
4.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是3eq \r(5)米.
5.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，根据图中数据，可求出坝底宽AD为(7.5＋4eq \r(3))m.(i＝CE∶ED，单位：m)
6.甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变.求：
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲轮船后来的速度.
解：(1)作BD⊥AC于点D.由题意可知，AB＝30×1＝30(海里)，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.
在Rt△ABD中，∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，
∴BD＝15海里，AD＝ABcs 30°＝15eq \r(3)(海里).
在Rt△BCD中.∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，
∴CD＝15海里，BC＝15eq \r(2)海里.
∴AC＝AD＋CD＝(15eq \r(3)＋15)海里，
即A，C间的距离为(15eq \r(3)＋15)海里.
(2)∵AC＝(15eq \r(3)＋15)海里.
∴轮船乙从A到C的时间为eq \f(15＋15\r(3),15)＝1＋eq \r(3).
由B到C的时间为1＋eq \r(3)－1＝eq \r(3).
∵BC＝15eq \r(2)海里，
∴轮船甲从B到C的速度为eq \f(15\r(2),\r(3))＝5eq \r(6)(海里/小时).
答：甲轮船后来的速度为5eq \r(6)海里/小时.
05 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想. 锐角A
锐角三角函数 )
30°
45°
60°
sinA
eq \f(1,2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(3),2)
csA
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(1,2)
tanA
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边和一直角边(如c，a)
①b＝eq \r(c2－a2)；
②由sinA＝eq \f(a,c)，求∠A；
③∠B＝90°－∠A.
两直角边(如a，b)
①c＝eq \r(a2＋b2)；
②由tanA＝eq \f(a,b)，求∠A；
③∠B＝90°－∠A.
已知类型
已知条件
解法步骤
一边和
一锐角
斜边和一锐角(如c，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②由sinA＝eq \f(a,c)，得a＝c·sinA；
③由csA＝eq \f(b,c)，得b＝c·csA.
一直角边和一锐角(如a，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②由tanA＝eq \f(a,b)，得b＝eq \f(a,tanA)；
③由sinA＝eq \f(a,c)，得c＝eq \f(a,sinA).
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