2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的倾斜角是( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
2.“1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条
3.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点(−2,−1)；乙：该圆的圆心为(2,−3)；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点(5,1).如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.两直线方程为l1：3x−2y−6=0，l2：x−y−2=0，则l1关于l2对称的直线方程为( )
A. 3x−2y−4=0B. 2x+3y−6=0C. 2x−3y−4=0D. 3x−2y−6=0
5.从圆x2−2x+y2−2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 32D. 0
6.已知圆C1：x2+y2−2x+2y−2=0与圆C2：x2+y2−2mx=0(m>0)的公共弦长为2，则m的值为( )
A. 62B. 32C. 6D. 3
7.直线mx−y−4m+1=0与圆x2+y2=25相交，所得弦长为整数，这样的直线有条( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
8.已知A，B是圆C：(x−2)2+(y−m)2=4(m>0)上两点，且|AB|=2 3.若存在a∈R，使得直线l1：ax−y=0与l2：x+ay+2a−4=0的交点P恰为AB的中点，则实数m的取值范围为( )
A. [ 5−2,2]B. [ 5−2, 5]C. [2,2+ 5]D. [ 5,2+ 5]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.直线l经过点(3,−2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. 3x+2y=0B. 2x+3y=0C. x−y−5=0D. x+y−1=0
10.已知P是椭圆x225+y216=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，cs∠F1PF2=12，则下列结论正确的是( )
A. △F1PF2的周长为16B. S△F1PF2=16 33
C. 点P到x轴的距离为16 39D. PF1⋅PF2=83
11.已知实数x，y满足曲线C的方程x2+y2−2x−2=0，则下列选项正确的是( )
A. x2+y2的最大值是 3+1
B. y+1x+1的最大值是2+ 6
C. |x−y+3|的最小值是2 2− 3
D. 过点(0, 2)作曲线C的切线，则切线方程为x− 2y+2=0
12.设直线l：(a−2b)x+by−a=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是( )
A. r的取值范围是[ 5,+∞)
B. 若r的值固定不变，则当2a−3b=0时∠ACB最小
C. 若r的值固定不变，则△ABC的面积的最大值为12r2
D. 若r=3，则当△ABC的面积最大时直线l的斜率为1或17
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.直线l1：mx+2y−3=0与直线l2：3x+(m−1)y+m−6=0平行，则m= ______ ．
14.若直线l：y=kx−1与曲线C： 1−(y−2)2=x−1有两个交点，则实数k的取值范围是______ ．
15.已知圆C：x2+y2−2x−2y=0，点P在直线x+y+2=0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠ACB= ______ ．
16.过点P(1, 3)作斜率为k的直线l交圆E：x2+y2=8于A，B两点，动点Q满足|PA||PB|=|QA||QB|，若对每一个确定的实数k，记|PQ|的最大值为dmax，则当k变化时，dmax的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知光线经过已知直线l1：3x−y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为 10的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
18.(本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1, 32)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2 3，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
19.(本小题12.0分)
已知圆C经过A(2,0)、B(0,4)两点，且圆心在直线2x−y−3=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点T(−1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，且CP⋅CQ=−5，求直线l的方程．
20.(本小题12.0分)
已知A(0,3)，直线l：y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=x−1上，且过点A的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的纵坐标的取值范围．
21.(本小题12.0分)
如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？
22.(本小题12.0分)
已知圆O：x2+y2=16，点A(6,0)，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设T(2,0)，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的斜率为3+ 3−1− 3=− 3，
因为直线的倾斜角大于等于0°小于180°，
故经过A(−1,3)，B( 3,− 3)两点的直线的倾斜角是120°．
故选：D．
求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：方程x2k−1+y25−k=1表示椭圆⇔5−k>0k−1>05−k≠k−1，解得1∴“1故选：B．
方程x2k−1+y25−k=1表示椭圆⇔5−k>0k−1>05−k≠k−1，解出k即可判断出结论．
本题考查了椭圆的定义、不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若乙、丙正确，
则圆的方程为(x−2)2+(y+3)2=25，
又(5−2)2+(1+3)2=25，
即丁正确，
又(−2−2)2+(−1+3)2≠25，
即甲错误，
即如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是甲．
故选：A．
由圆的标准方程的求法求解即可．
本题考查了圆的标准方程的求法，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：联立两直线方程，解得x=2，y=0，
所以直线l1与l2的交点坐标为A(2,0)，
在直线l1：3x−2y−6=0上取一点(0,−3)，设它关于直线l2的对称点为B(m,n)，
则n−(−3)m−0⋅1=−1m2−n−32−2=0，解得m=−1，n=−2，即B(−1,−2)，
由A(2,0)，B(−1,−2)，可得所求直线方程为y=0−(−2)2−(−1)(x−2)，即2x−3y−4=0．
故选：C．
联立两直线方程，求得交点坐标A，在直线l1上取一点(0,−3)，根据中垂线求得该点关于直线l2的对称点为B，再由A，B两点的坐标，得解．
本题考查直线中的对称问题，熟练掌握两条直线的垂直关系，中点坐标公式等是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：圆x2−2x+y2−2y+1=0的圆心为M(1,1)，半径为1，从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，
则点P到圆心M的距离等于 5，每条切线与PM的夹角的正切值等于12，
所以两切线夹角的正切值为tanθ=2⋅121−14=43，该角的余弦值等于35，
故选：B．
先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．
本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：联立x2+y2−2x+2y−2=0和x2+y2−2mx=0，
得(m−1)x+y−1=0，由题得两圆公共弦长l=2，
圆C1：x2+y2−2x+2y−2=0的圆心为(1,−1)，半径r为12 (−2)2+22−4×(−2)=2，
圆心(1,−1)到直线(m−1)x+y−1=0的距离为|(m−1)×1+1×(−1)−1| (m−1)2+12=|m−3| m2−2m+2，
所以|m−3| m2−2m+2= r2−(l2)2= 22−(22)2= 3，
平方后整理得，2m2−3=0，即m2=32，
所以m= 62或m=− 62(舍去)．
故选：A．
根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解．
本题主要考查两圆位置关系的应用，求出两圆的公共弦，利用弦长公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：直线mx−y−4m+1=0过定点(4,1)，圆半径为5，圆心到直线的距离d=|4m−1| 1+m2，
最短弦长为2 r2−d2= 25−17= 32∈(5,6)，恰有一条，但不是整数；
弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，
故选：C．
由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离d，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数．
本题考查直线与与圆相交时的相交弦长的求法，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：圆C：(x−2)2+(y−m)2=4(m>0)，半径r=2，
因为M恰为AB的中点，直线与圆相交弦长|AB|=2 r2−|MC|2=2 3，所以|MC|=1，
∴M的轨迹方程是(x−2)2+(y−m)2=1．
又直线l1：ax−y=0过定点Q(0,0)，直线l2：x+ay+2a−4=0过定点S(4,−2)，且l1⊥l2，
则点P是两垂线的交点，所以P在以QS为直径的圆上，则圆心(2,−1)，半径为12|QS|= 5，
∴P的轨迹方程是(x−2)2+(y+1)2=5由于l1的斜率存在，
所以点P的轨迹要除去点(0,−2)，
由已知得圆M与圆P有公共点，
∴ 5−1≤|MP|≤ 5+1，即 5−1≤|m+1|≤ 5+1，
又m>0，
所以 5−1≤m+1≤ 5+1，解得 5−2≤m≤ 5．
∴实数m的取值范围为[ 5−2, 5]．
故选：B．
根据直线与圆相交弦长可得AB的中点M的轨迹方程为圆(x−2)2+(y−m)2=1，又根据直线l1，l2的方程可确定l1⊥l2，交点P的轨迹(x−2)2+(y+1)2=5，若P恰为AB的中点，即圆M与圆P有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数m的取值范围．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：当直线l的截距为0时，此时直线l的方程为y=−23x，即2x+3y=0，
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为xa+yb=1，
则3a+−2b=1|a|=|b|，解得a=1b=1或a=5b=−5，
当a=1，b=1时，可得直线l的方程为x+y=1，即x+y−1=0，
若a=5，b=−5时，可得则直线l的方程为x5+y−5=1，即x−y−5=0．
故选：BCD．
根据题意，分直线l的截距为0和直线l的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解．
本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意得，a=5，b=4，c=3，
A选项，△F1PF2的周长为=2a+2c=16，A正确；
B选项，由cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=12，|PF1|+|PF2|=2a，可知|PF1||PF2|=643，∠F1PF2=60°，∴S△F1PF2=12×|PF1||PF2|×sin60°=16 33，B正确；
C选项，∴S△F1PF2=12×|F1F2|×h=16 33，h=16 39，C正确；
D选项，PF1⋅PF2=|PF1||PF2|cs60°=643×12=323，D错误．
故选：ABC．
根据椭圆的性质逐项求解即可．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为C的方程x2+y2−2x−2=0可化为(x−1)2+y2=3，它表示圆心(1,0)，半径为 3的圆，
对于A：x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方，
故它的最大值为[ (1−0)2+02+ 3]2=( 3+1)2=4+2 3：故A错误；
对于B：y+1x+1表示圆上的点与点P(−1,−1)的斜率k，
由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=|2k+1| k2+1≤ 3，可得2− 6≤k≤2+ 6，
即其最大值为2+ 6，故B正确；
对于C：|x−y+3|表示圆上任意一点到直线x−y+3=0的距离的 2倍，
圆心到直线的距离d=4 2=2 2，所以其最小值为 2(2 2− 3)=4− 6，故C错误；
对于D.设过点(0, 2)作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y=mx+ 2，
由| 2+m| m2+1= 3，解得m= 22，故切线方程为x− 2y+2=0，故D正确．
故选：BD．
由A：x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方；对于B：|x−y+3|表示圆上任意一点到直线x−y3=0的距离的 2倍：C：y+1x+1表示圆上的点与点P(−1,−1)的斜率；D.由切线过点(0, 2)，可设切线方程为y=mx+ 2.由| 2+m| m2+1= 3可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：A选项：因为直线l：(a−2b)x+by−a=0，即a(x−1)−b(2x−y)=0，所以直线l过定点P(1,2)，连接PC，因为直线l与圆C恒有两个公共点，所以r>|PC|= 5，故A错误．
B选项：因为直线l过定点P(1,2)，所以当l⊥PC时，∠ACB最小，因为kPC=−2，所以此时直线l的斜率为12，即−a+2bb=12，即2a−3b=0，故B正确．
C选项：设圆心C到直线l的距离为d，则△ABC的面积S=12⋅d⋅|AB|=d r2−d2= −d4+r2d2= −(d2−r22)2+r44，因为0⩽d⩽ 5，所以0⩽d2⩽5，
①若r22⩽5，即 5②若r22>5，即r> 10，则函数S随着d的增大而增大，所以Smax= 5r2−25，故C错误．
D选项：由C选项知，当d2=r22=92时，△ABC的面积最大，
因为d=|a−4b| (a−2b)2+b2，所以(a−4b)2(a−2b)2+b2=92，整理得7a2−20ab+13b2=0，所以a=b或a=137b，
因为b≠0，所以直线l的斜率k=2−ab，所以k=1或k=17，故D正确．
故选：BD．
A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当l⊥PC时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将△ABC的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果．
本题主要考查(1)整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；(2)熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小，属于中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：由l1：mx+2y−3=0，得到l1：y=−m2x+32，
因为l1//l2，所以m−1≠0，由3x+(m−1)y+m−6=0，得到y=−3m−1x−m−6m−1
所以−m2=−3m−132≠−m−6m−1，即m2−m−6=0m≠3，解得m=−2．
故答案为：−2．
利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果．
本题主要考查直线的一般式方程，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】(34,1]
【解析】解：直线l：y=kx−1恒过定点(0,−1)，
由曲线C： 1−(y−2)2=x−1⇒(x−1)2+(y−1)2=1，(x≥1)．
所以曲线C表示以点(1,1)为圆心，半径为1，
且位于直线x=1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))，如图所示：
当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=1；
当l与半圆相切时，由|k−2| 1+k2=1，得k=34，
分析可知当34故答案为：(34,1]．
根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
15.【答案】120°
【解析】解：由圆C：x2+y2−2x−2y=0，得(x−1)2+(y−1)2=2，
∴圆心C(1,1)，半径为r= 2，
∵四边形PACB的面积为S=2S△PAC=2×|PA|× 2，
故当PA最小时，S有最小值，
记圆心到直线距离d=|1+1+2| 2=2 2，∴|PC|≥2 2，
又|PA|= |PC|2−|AC|2≥ 6，
∴S≥4，当|PC|=2 2时四边形PACB的面积最小，
此时，tan∠APC=|AC||AP|= 2 6= 33，∴∠APC=30°，
∴∠APB=60°，故∠ACB=120°，
故答案为：120°．
四边形PACB的面积为S=2S△PAC=2×|PA|× 2，|PA|= |PC|2−|AC|2，从而求得|PO|的最小值即可求得∠ACB．
考查直线与圆的位置关系，圆的切线问题，最值问题，中档题．
16.【答案】2
【解析】解：由题设1+3=4<8，即P(1, 3)在圆E：x2+y2=8内，
令|PA||PB|=|QA||QB|=λ且λ≠1，显然P是A，B内分比点，若P′为外分比点，
则|PA||PB|=|P′A||P′B|=λ，此时PP′的中点C为P，Q所在阿氏圆的圆心，
对于每一个确定的实数k，|PQ|最大值为dmax=|PP′|，即Q，P′重合时dmax为对应圆直径，
根据圆的对称性，如上图，讨论λ>1的情况，而|CP|=2，
当AB为直径时，λmax=|PA||PB|=2 2+22 2−2=3+2 2，
此时|P′A||P′B|=|P′B|+4 2|P′B|=3+2 2，可得|P′B|=4−2 2，
故|PQ|的最大值为dmax=|PP′|=|P′B|+|PB|=2，
当AB不为直径时1<λ<3+2 2，4<|AB|<4 2，且λ，|AB|增减趋势相同，
由|P′A||P′B|=|P′B|+|AB||P′B|=λ，得|P′B|=|AB|λ−1，显然λ接近于1时|P′B|趋向无穷大，
此时|PQ|的最大值为dmax趋向无穷大．，
综上，dmax的最小值是2．
故答案为：2．
首先确定P与圆的位置关系，令|PA||PB|=|P′A||P′B|=λ且P是A，B内分比点，若P′为外分比点，由阿氏圆易知P，Q在以PP′的中点C为圆心的圆上，且|PQ|最大值为圆的直径，讨论λ>1及数形结合判断|PQ|的最大情况的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题可设所求直线方程为3x−y+m=0，
根据平行线间的距离公式|m−7| 32+(−1)2= 10，
解得m=−3或17，
所以与l1距离为 10的直线方程为3x−y−3=0或3x−y+17=0；
(2)由3x−y+7=02x+y+3=0，
可得x=−2y=1，即M(−2,1)，又N(1,0)，
所以kMN=1−0−2−1=−13，
所以反射光线所在的直线l3的斜率为13，
故反射光线所在的直线l3的方程y=13(x−1)，
即x−3y−1=0．
【解析】(1)设出直线方程，利用平行线间的距离公式建立方程，求解即可；
(2)求出交点M的坐标，利用入射光线和反射光线所在直线斜率相反得到反射光线所在直线的斜率，即可求解．
本题考查了点对称、直线对称问题，也考查了点到直线的距离问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1, 32)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2 3，
则2c=2 31a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
(2)∵c= 3，F1(− 3,0)，F2( 3,0)，设P(x,y)，
则PF1⋅PF2=(− 3−x,−y)⋅( 3−x,−y)=x2+y2−3，
∵x24+y2=1，
∴PF1⋅PF2=x2+y2−3=x2+1−x24−3=14(3x2−8)≤14，
解得−2 63≤x≤2 63，
∵点P在第一象限，∴x>0，
∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,2 63].
【解析】(1)由椭圆经过点M(1, 32)，|F1F2|=2 3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
(2)设P(x,y)，PF1⋅PF2=x2+y2−3=x2+1−x24−3=14(3x2−8)≤14，由此能求出点P的横坐标的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、合理运用
19.【答案】解：(1)圆C经过A(2,0)、B(0,4)两点，线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为−2，
所以线段AB的中垂线方程为y−2=12(x−1)，即x−2y+3=0，
圆心C为AB的中垂线与直线x+2y−9=0的交点，
联立x−2y+3=02x−y−3=0，解得x=y=3，故圆心为C(3,3)，
圆C的半径r= (3−2)2+(3−0)2= 10，
所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=10；
(2)过点T(−1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，且CP⋅CQ=−5，
可得 10⋅ 10cs∠PCQ=−5，可得∠PCQ=120°，所以C到PQ的距离为： 102，
可知直线l的斜率存在，设为k，直线l：y=k(x+1)，即kx−y+k=0，
可得|3k−3+k| 1+k2= 102，解得k=13或k=139，
直线l的方程：x−3y+1=0或13x−9y+13=0．
【解析】(1)求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线2x−y−3=0的方程，可得出圆心C的坐标，求出圆C的半径，即可得出圆C的标准方程；
(2)说明直线l的斜率存在，设直线l的方程，通过向量的数量积，转化求解圆心到直线l的距离，求出k的值，即可求解直线l的方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，斜率的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题得圆心在直线l：y=2x−4和直线y=x−1上，
则联立y=2x−4y=x−1，解得x=3y=2，即圆心C的坐标为(3,2)，
故圆的方程为(x−3)2+(y−2)2=1，
故设过点A(0,3)的直线方程为：y=kx+3，即kx−y+3=0，
由直线m与圆C有公共点，则圆心到直线m的距离满足d=|3k−2+3| 1+k2≤1，
解得−34≤k≤0，则直线m的斜率k的取值范围为[−34,0]；
(2)根据圆心C在直线l：y=2x−4上，可设圆心为C(2,2a−4)，
则圆的方程为(x−a)2+(y−2a+4)2=1，
若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，设M(x,y)，
∴ x2+(y−3)2=2 x2+y2，整理可得x2+(y+1)2=4，
故点M在以D(0,−1)为圆心，2为半径的圆上，又点M也在圆C上，
故圆C和圆D有交点，∴2−1≤|CD|≤2+1，即1≤ a2+(2a−4+1)2≤3，
解得0≤a≤125，即a的取值范围为[0,125]，
所以圆心C的纵坐标2a−4的取值范围为[−4,45]．
【解析】(1)联立两直线方程，求出圆心，从而得到圆的方程，再由直线m与圆有公共点，可求出k的取值范围；
(2)设圆心C为(2,2a−4)，设M(x,y)，根据|MA|=2|MO|得到点M的轨迹方程为圆，由题意得到两圆有交点，从而得到不等式组，求出圆心C的横坐标a的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，
则Q(10,6)，P(−10,−10)，
所以kPQ=45，
则直线PQ的方程为45x−y−2=0，即4x−5y−10=0，
故圆心O到直线PQ的距离为d=10 41=10 4141<2，
所以圆O与直线PQ相交，
故仪器Q在仪器P的“盲区”中．
(2)建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A(−10,−10)，B(10,−10)，C(10,10)，D(−10,10)，
由题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中，
假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，
则P(−10,32t−10),Q(10,10−t)，
所以直线PQ的斜率为kPQ=8−t8，
则直线PQ的方程为y=(10−t)=8−t8(x−10)，即(t−8)x+8y−2t=0，
从而点O到直线PQ的距离为d=|−2t| (t−8)2+64≤2，
解得t≤8，
又t≥0，
所以0≤t≤8，
故在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8s．
【解析】(1)建立平面直角坐标系，求出点P，Q的坐标，求出直线PQ的方程，利用点到直线的距离公式求出点O到直线PQ的距离，由此判断即可；
(2)建立平面直角坐标系，假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，求出点P，Q的坐标，求出直线PQ的方程，利用点到直线的距离公式求出点O到直线PQ的距离，建立不等式，求解即可．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设M(x,y)，B(x0,y0)，
因为点B在圆O上，所以到x02+y02=16①，
因为M为AB中点，所以x=6+x02y=y02，整理得x0=2x−6y0=2y，
代入①式中得(2x−6)2+4y2=16，整理得(x−3)2+y2=4，
所以曲线C的方程为(x−3)2+y2=4．
(2)(i)因为直线l不与x轴重合，所以设直线l的方程为x=my+2，即x−my−2=0，
则直线GH为mx+y−2m=0，设曲线C的圆心到直线l和直线GH的距离分别为d1，d2，
则d1=1 1+m2,d2=|m| 1+m2，
所以|EF|=2 4−11+m2=2 4m2−3m2+1，|GH|=2 4−m2m2+1=2 3m2+4m2+1，
所以SEGFH=12×2 4m2+3m2+1×2 3m2+4m2+1=2 12+m2m4+2m2+1，
当m=0时，SEGFH=4 3；
当m≠0时，SEGFH=2 12+1m2+2+1m2≤2 12+12+2 m2⋅1m2=7，当且仅当m2=1时等号成立，
综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7．
(ii)设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
联立x=my+2(x−3)2+y2=4，得(m2+1)y2−2my−3=0，
则y1+y2=2mm2+1，y1y2=−3m2+1，y1y2=−32m(y1+y2)，
因为曲线C与x轴交于P，Q两点，所以P(1,0)，Q(5,0)，
则直线PE的方程为y=y1x1−1(x−1)=y1my1+1(x−1)，
直线QF的方程为y=y2x2−5(x−5)=y2my2−3(x−5)，
联立两直线方程得x=4my1y2+3y1+5y23y1+y2=−6y1−6y2+3y1+5y23y1+y2=−3y1−y23y1+y2=−1，
y=4y1y23y1+y2，所以N(−1,4y1y23y1+y2)，
所以N在定直线x=−1上．
【解析】(1)根据点B在圆O上，得到x02+y02=16，再根据M为AB中点，得到x0=2x−6y0=2y，然后代入，整理即可得到曲线C的方程；
(2)(i)设直线方程，得到弦长|EF|和|GH|，然后将面积表示出来，最后分m=0和m≠0两种情况讨论面积的最大值；
(ii)联立直线l和曲线C的方程，根据韦达定理得到y1y2=−32m(y1+y2)，然后通过联立直线PE和直线QF的方程得到N的坐标，再结合y1y2=−32m(y1+y2)即可得到点N在定直线x=−1上．
本题主要考查求点的轨迹方程，属于中档题．

2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

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