黄梅国际育才高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、圆的圆心和半径分别为( )
A.，2B.，4C.，2D.，4
2、若直线与互相垂直，则a的值为( )
A.1B.-1C.±1D.
3、如图，在平行六面体中，点E在面对角线上，满足，点F为面对角线的中点，若，，，则( )
A.B.
C.D.
4、长轴长为10，焦点坐标为，的椭圆方程为( )
A.B.C.D.
5、若a，，则函数有零点的概率为( )
A.B.C.D.
6、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则( )
A.6B.5C.4D.3
7、若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
8、曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则( )
A.恰有一人解出的概率为
B.没有人能解出的概率为
C.至多一人解出的概率为
D.至少两个人解出的概率为
10、下面叙述错误的是( )
A.经过点，倾斜角为的直线方程为
B.若方程表示圆，则
C.直线和直线间的距离为
D.若椭圆的一个焦点坐标为，则长轴长为10
11、给出下列命题，其中正确的是( )
A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则
12、如图，在四棱锥中，底面，，，点E为的中点，，，，则( )
A.
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.点B到平面的距离为
D.与平面所成的角为
三、填空题
13、已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则________.
14、椭圆的焦距为2，则________.
15、求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程________.
16、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为________.
四、解答题
17、如图，在三棱柱中，平面，，，D，E分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18、已知①，②，③在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A的大小；
（2）已知________，________，若存在，求的面积；若不存在，说明理由.
19、已知圆C经过点，，.
（1）求圆C的方程；
（2）设点在圆C上运动，求的最大值与最小值.
20、如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，，且，异面直线与所成的角为.
（1）求证：平面；
（2）若E是线段的中点，求点E到直线的距离.
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
21、已知椭圆，的离心率为，上顶点为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点M，N，且，求k的值.
22、随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
参考答案
1、答案：C
解析：由题可知：圆即，
所以该圆的圆心为，半径为2.
故选：C.
2、答案：C
解析：因为直线与互相垂直，
所以，得，
解得.
故选：C.
3、答案：A
解析：点E在面对角线上，满足，
，
点F为面对角线的中点，
，
，
，，，
.
故选：A.
4、答案：B
解析：由题得椭圆焦点在y轴上，且，所以，
由焦点坐标为，，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
故选：B.
5、答案：A
解析：显然总的方法中数为：16种，
当时：无论b取中何值，
原函数必有零点，所以有4种取法；
当时，函数为二次函数，
若有零点须使：即即，
所以a，b取值组成的数对分别为：
，，，，，
，，，共9种，
综上符合条件的概率为：.
故选：A.
解法二：（排除法）总的方法种数为16种，
其中原函数若无零点须有且即，
所以此时a，b取值组成的数对分别为：，，共3种，
所以所求有零点的概率为：.
故选：A.
6、答案：A
解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得：
，，
，.
故选：A.
7、答案：C
解析：设弦两端点为，，
则，
①-②得即直线为，
化简得.
故选：C.
8、答案：A
解析：曲线即圆的一半，如图，
因为曲线与直线有两个交点，直线过定点，
所以满足条件的直线即处于图中两条直线之间，
当直线过点时，，解得；
当直线与圆相切时，圆心，半径为2，
结合图像易知，直线斜率k存在，此时圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
综上所述，实数k的取值范围是.
故选：A.
9、答案：AC
解析：A：
恰有一人解出的概率为：
，正确；
B：没有人能解出的概率为：，错误；
C：由A、B知：至多一人解出的概率为：，正确；
D：至少两个人解出的概率为：
，错误.
故选：AC.
10、答案：AC
解析：A.因为直线经过点，当倾斜角为时，
则直线方程为，故错误；
B.若方程表示圆，
则，解得，故正确；
C.直线可化为和直线，
则两直线间的距离为，故错误；
D.因为椭圆的一个焦点坐标为，
所以，解得，所以长轴长为10，故正确.
故选：AC.
11、答案：ACD
解析：对于A，，，不共面，则，，不共面，
所以也是空间的一个基底，故正确；
对于B，点关于坐标平面的对称点是，故错误；
对于C，由可得，
即，所以A，B，C三点共线，故正确；
对于D，由平面平行可得，
所以，解得，故正确.
故选：ACD.
12、答案：BCD
解析：以A为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
，则，
，
则异面直线与所成角的余弦值为.
设平面的一个法向量为，
则，即，解得，
令，则，，
所以平面的一个法向量为.
则，
所以点B到平面的距离为，
又，所以与平面所成的角为.
故选：BCD.
13、答案：1
解析：，，
，.
故答案为：1.
14、答案：3或5
解析：因为椭圆的焦距为2，所以，
若焦点在轴上，则有，解得；
若焦点在y轴上，则有，解得；
综上所述，或5.
故答案为：3或5.
15、答案：或
解析：当直线经过原点时，直线的方程为，化为.
当直线不经过原点时，设直线的截距式为，
把点代入可得：，.
直线的方程为：.
故答案为：或.
16、答案：
解析：根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：
甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为.
故答案为：.
17、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设，，，
根据题意得，且，
，，
，
，即.
（2），
，，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
18、
（1）答案：
解析：（1），
由正弦定理可得：，即，
，
，.
（2）答案：不存在
解析：方案一：选择条件①和②，
由正弦定理，可得，
可得的面积：
.
方案二：选择条件①和③，
由余弦定理，可得，
可得，可得，
的面积：.
方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，
理由如下：在三角形中，
由（1），则，
由正弦定理，由③可得，
而，
则，所以这样的三角形不存在.
19、答案：（1）
（2）最大值为64，最小值为4
解析：（1）由题意，圆C经过点，，，
设圆C的方程为，，
可得，解得，
所以圆C的方程为，即.
（2）由圆，可得圆心，半径为，
又由的表示圆上的点P到点的距离的平方，
因为，
根据圆的性质，可得，，
所以的最大值为64，最小值为4.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）四边形是菱形，，
，，平面，
平面，∴，
，O为中点，，
又， 平面，
平面.
（2）以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
，为异面直线与所成角，
，在菱形中，，
，，，
设，则，，
在中，由余弦定理得：
，
，解得，
，，，，，
，，
，，
点E到直线的距离为.
（3）由（2）得，，
设平面的法向量，
则，
取，则，，，
设是平面的法向量，
因为，，
由，
令，则，，得，
设二面角的平面角为，
，
二面角的余弦值为.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
椭圆E的方程为.
（2）设直线，设，，
则，整理得：，
，即，
，，
，
即，解得：或（舍去）.
.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1），分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，
则，，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则：，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件：
，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.