2021湖北省黄梅国际育才高级中学高二下学期3月月考数学试卷含答案

这是一份2021湖北省黄梅国际育才高级中学高二下学期3月月考数学试卷含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二数学三月月考试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）
A. B. C. D.
2. 已知p：，q：方程表示双曲线，则p是q的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交C于A，B两点，若△AF1B的周长为​，则椭圆C的方程为( )
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
4. 与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(     )
A. x2－＝1 B. y2－2x2＝1 C. －＝1 D. －x2＝1
5. 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是(     )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（）
A. 1 B. C. D.
7. 已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且，若△F1PF2的内切圆的半径r满足，则椭圆的离心率为（   ）
A. B. C. D.
8. 若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（      ）
A. 2 B. ​ C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知双曲线-=1,则下列说法正确的是（    ）
A. 双曲线的离心率e=2 B. 双曲线的渐近线方程为xy=0
C. 双曲线的焦距为2 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
10. 已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为  
A. B. C. D.
11. 椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（    ）
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.
B. 椭圆上存在点，使得=0.
C. 椭圆的离心率为
D. 为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.
12. 已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（   ）
A. C的方程为
B. B. C的离心率为
C. 曲线经过C的一个焦点
C. D. 直线与C有两个公共点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为            
14. 动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________.
15. 点P是椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小______．
16. 已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于 两点，若，且，则的离心率是_________.



四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. （10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)以直线为渐近线，焦点是(－4，0)，(4，0)的双曲线；
(2)离心率为，短轴长为8的椭圆.




18（12分）已知双曲线C：的离心率为,实轴长为2．
求双曲线C的方程；
若直线被双曲线C截得的弦长为,求实数m的值．







19（12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为
（1）求双曲线C的方程
（2）设直线与双曲线C交于A、B两点，当k为何值时，以此线段AB为直径的圆过原点？







20（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；
(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点，求k的取值范围.





21（12分）已知曲线C上任意一点P（x，y）满足=2，直线L的方程为y=kx+m，且与曲线C交于不同两点A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点M（2，0），直线AM与BM的斜率分别为k1，k2且k1+k2=0，判断直线L是否过定点？若过定点，求该定点的坐标．







22（12分）已知点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(2,0),且动点M到点A的距离是8,线段MB的垂直平分线交线段MA于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知D(2,-1),过原点且斜率为k(k>0)的直线l与曲线C交于E,F两点,求DEF面积的最大值.

答案和解析
1.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用以及点到直线的距离公式运用，属于基础题．
先求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，再利用点到直线的距离求解即可．
【解答】
解：根据双曲线的方程为，得到其焦点为（±3，0），渐近线方程为，
考虑到双曲线的对称性，取其中一个焦点（3，0），一条渐近线为代入求解即可，
即焦点到渐近线的距离为，
故选D.
2.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件的判断以及双曲线的标准方程，属于基础题.
根据双曲线定义求出m的范围，结合充分、必要条件的定义进行判断即可,
【解答】
解：∵q：方程+=1表示双曲线，
∴（m-2）（5-m）＜0，
∴m＞5或m＜2．
又∵p：5＜m＜8
∵p⇒q，,
故p是q的充分条件；反过来不成立,
∴则p是q的充分不必要条件
故选A.
3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用△AF1B的周长为，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】
​解：∵△AF1B的周长为，
∵△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为．
故选B．
4.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程，是高考中常见的题型，属于基础题.
先求出椭圆的焦点，然后设出双曲线的标准方程，代入(1，)，即可求解.
【解答】
解：椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，
设双曲线的标准方程为－​＝1( m>0， n>0)，
则解得 m＝ n＝2.
​所以双曲线的标准方程为－＝1.
故选C.
5.【答案】D

【解析】解：设双曲线方程为-=1．
将y=x-1代入-=1，整理得（b2-a2）x2+2a2x-a2-a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=，则==-．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是．
故选：D．
先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
6.【答案】D

【解析】
​【分析】
本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形的周长，欲使的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案.
【解析】
解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a＝2，
由椭圆的定义可知：，
所以，
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
即 ，可求得，即.
故选D.
7.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及a，b，c的关系，考查运算能力，属于中档题．
由椭圆的定义和题设条件可得，，在△F1PF2中利用正弦定理得到（r是△F1PF2内切圆的半径），设，有，同时利用余弦定理得到，再利用△F1PF2面积法得到，于是可得到椭圆的离心率．
【解答】
解：根据题意，由，得，
由，在△F1PF2中根据正弦定理得
，
即得，
设，则，
且根据余弦定理，得，
所以，
又
，
所以，
即得，
故椭圆离心率.
故选：C．
8.【答案】A

【解析】
​【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．
​通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨设为：bx-ay=0，
圆（x-2)2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，
由双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到bx-ay=0的距离为d==，及即,
又,
可得e2=4，即e=2．
故选A．
9.【答案】AB

【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程以及性质和几何意义，属于基础题.
根据双曲线的标准方程，求出a,b,c,然后逐个判断即可.
【解答】
解：因为双曲线-=1，
则,
对于A，,故A正确；
对于B，渐近线为,故B正确；
对于C，双曲线的焦距为,故C错误；
对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，故D错误；
故选AB.
10.【答案】BC

【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查椭圆、双曲线的方程以及简单性质，并且考查了等比数列的性质，也考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．
由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率．
【解答】
解：∵三个数1，a，9成等比数列，
∴a2=9，则a=±3．
当a=3时，曲线方程为，表示椭圆，
则长半轴长为，半焦距为1，
离心率为；
当a=-3时，曲线方程为，表示双曲线，
则实半轴长为，半焦距为，
​离心率为．
故选BC.

11.【答案】ABD

【解析】
【分析】
本题考查椭圆相关命题真假的判定,椭圆的概念及标准方程和椭圆的性质及几何意义，椭圆和圆的关系，有关椭圆和圆的最值问题,属中档题.
根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.
【解答】
解：对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A正确；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
​​​​​​​则点坐标满足，且,
又，，所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：，
因为，所以,故D正确.
故选ABD.

12.【答案】AC

【解析】
【分析】
本题主要考查圆锥曲线、直线与圆锥曲线以及指数与指数函数，属于中档题.
由题对选项逐一分析求解即可.
【解答】
解：由题意，设双曲线的方程为,
将点代入双曲线方程得：,
故双曲线方程为,
​​​​​​​故A正确；
对于B项，因为双曲线C的方程为，
所以，
所以，
则其离心率为，
故B项结论错误，
对于C项，由c=2知双曲线C的两个焦点为（-2,0）与（2,0），
当x=2时，，
所以曲线经过的焦点（2,0），
故C项结论正确，
对于D项，联立，
消去y后得，
整理得，
解得x=3，
将x=3代入可得，
解得，
所以直线与C有且仅有一个公共点，
故D项结论错误，
则本题正确答案为AC.
故选AC.
13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质及双曲线的标准方程，属于基础题.由题意得椭圆的焦点为，顶点，即可得双曲线标准方程.
【解答】
解：由题意得椭圆的焦点为（,0），顶点，
所以双曲线a=，c=，
又双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线标准方程为，
故答案为​.
14.【答案】​​​​​​​

【解析】
【分析】
​​​​​​​本题考查椭圆的概念及标准方程，属于中档题.
设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，根据两圆外切和内切时圆心距和两圆半径的关系及椭圆的定义即可解决问题.
【解答】
解：圆C1：（x+1）2+y2=1，圆心C1（-1，0），半径为1，
圆C2：（x-1）2+y2=25，圆心C2（1，0），半径为5， 
设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
则|MC1|=r+1，|MC2|=5-r，
 ∴|MC1|+|MC2|=r+1-r+5=6>|C1C2|=2， 
由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
且2a=6，c=1，∴b2=a2-c2=8，
椭圆的方程为：.
故答案为​.

15.【答案】​

【解析】
​【分析】
​本题考查椭圆的定义、简单几何性质以及余弦定理的应用，属于中档题．
利用椭圆的定义，结合余弦定理和已知条件，可得，由此可解．
【解答】
解：由椭圆+=1，可得a=4，b=3，
则2a=8，c2=a2-b2=16-9=7,
设|PF1|=m，|PF2|=n，可得，
化简可得cos∠F1PF2=，
∵，
​∴∠F1PF2=，
故答案为．
16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质，考查双曲线的性质及几何意义，考查直线与双曲线的位置关系，考查分析与计算能力，属于难题.
解题关键是根据已知条件，设|F1Q|=m，则|PF1|=2|F1Q|=2m，根据垂直关系得出m=a，进而得到4c2=（）2+（a）2=，可得​​​​​​​，即可求出离心率.
【解答】
解：∵经过左焦点F1的直线与双曲线C的左支交于P，Q两点，
且|PF1|=2|F1Q|，
∴设|F1Q|=m，则|PF1|=2|F1Q|=2m，
|PF2|=|PF1|+2a=2m+2a，
|QF2|=|QF1|+2a=m+2a，
∵PQ⊥F2Q，
∴|PF2|2=|PQ|2+|QF2|2，
即（2m+2a）2=（3m）2+（m+2a）2，
整理得4m2+8ma+4a2=9m2+m2+4ma+4a2，
即4am=6m2，则 m=a，
则|QF2|=a+2a=，|F1Q|=a，
由|F1F2|2=|F2Q|2+|QF1|2，
即4c2=（）2+（a）2=，
即，
则，
故答案为.
17.【答案】解：(1)由题意设双曲线方程为,
由焦点可得,
双曲线的渐近线方程为,可得,
又,解得,,
所以双曲线的方程为.
(2)当焦点在x轴时，设椭圆方程为,
由题可得,解得,,
所以椭圆方程为；
当焦y轴时，设椭圆方程为,
由题可得,解得,,
所以椭圆方程为；
所以综上可得椭圆方程为或.

【解析】本题考查双曲线、椭圆的方程得求法，根据双曲线和椭圆的基本性质即可求解，属于基础题.
（1）由题意设双曲线方程为,根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a,b即可；
（2）分椭圆的焦点在x轴时和y轴时两类讨论求解即可.
18.【答案】解：（1）∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．
∴由题意，得，解得a=1，c=，b2=2，
∴所求双曲线C的方程为.
（2）联立，得x2-2mx-m2-2=0，
∵直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为4，
∴=4m2+4m2+8＞0，
设直线与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
由弦长公式得，
解得m=±1．

【解析】本题考查双曲线方程的求法,考查直线与双曲线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．
（1）由双曲线的离心率为，实轴长为2，列出方程组，求出a=1，c=，b​​​​​​​2=2，由此能求出双曲线C的方程．
（2）联立，得x2-2mx-m2-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出实数m的值．
19.【答案】解：（1）设双曲线的方程是，
​​​​​​​则，
又∵c2=a2+b2，
∴b2=1，，
所以双曲线的方程是；
（2）由，
得（3-k2）x2-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k2≠0，得，且 ．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以x1x2+y1y2=0,
又，
所以y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，
所以，解得k=±1．
所以，当k=±1时， 以线段AB为直径的圆过原点.


【解析】本题考查双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，考查运算化简的能力，属于中档题.
（1）设双曲线的方程是，则，由此能求出双曲线的方程；
（2）由，得（3-k2）x2-2kx-2=0，由△＞0，且3-k2≠0，得，且 ，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由以AB为直径的圆过原点，知 x1x2+y1y2=0．由此能够求出k=±1.
20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：，得，
故椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，，，将代入椭圆方程，
消去得，
所以，
即…………①
由根与系数关系得，则，
所以线段AB的中点的坐标为．
又线段AB的垂直平分线的方程为，
由点在直线上，得，
即，
​​​​​​​所以…………②
由①②得，

所以，即或，
所以实数的取值范围是．

【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．
（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解.
（Ⅱ）设出A，B的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到，再结合根与系数关系得到AB中点P的坐标为．求出AB的垂直平分线l'方程，由P在l'上，得到．结合求得k的取值范围．
21.【答案】解：（1）设F1（-1，0），F2（1，0），则=2等价于|PF1|+|PF2|=2＞|F1F2|，
∴曲线C为以F1，F2为焦点的椭圆，且长轴长为2，焦距为2，
故曲线C的方程为：=1，
（2）联立方程组，消去y可得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=16k2-8m2+8＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，
∴k1+k2=+==0，
∴x2y1+x1y2-2（y1+y2）=0，
即x2（kx1+m）+x1（kx2+m）-2（kx1+kx2+2m）=0，
即2k•-（m-2k）•-4m==0，
∴k+m=0，
故直线L的方程为y=kx-k=k（x-1），
∴直线L过定点（1，0）．

【解析】（1）根据两点间的距离公式和椭圆的定义可知曲线C为椭圆，从而得出椭圆方程；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系和k1+k2=0可求出k，m的关系，从而可求出直线l的定点坐标．
本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：(1)|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=8,|AB|=40,4k+4(当且仅当k=时取“=”),
DEF面积的最大值为4.


【解析】本题考查定义法求轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系;考查了综合分析能力和计算能力，属于中档题.
(1)由题意,得到|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=8,|AB|=4