浙江省金华市浦江县中山中学2023-2024学年高一上学期10月素养检测数学试卷

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2023.10
注意：选择题用2B铅笔将答案填涂在机读卡上；非选择题用0.5mm及以上黑色字迹的笔，在答题卷上每题限定区域内作答，答在草稿纸上或试卷上概不评分。
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共20分）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知集合，，，，则
A． B． C． D．
3．已知x∈R，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
5．已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的可能取值是
A． B． C． D．
6．“，且”的一个必要条件为
A． B． C． D．
7．命题，使得成立，若是假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8．已知，则的最小值为.
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中每题全都选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分）
9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是
A． B．
C． D．
10．下列说法中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
11．已知集合，，记表示有限集中的元素的个数，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知，且，
A．当时，当且仅当时，有最小值
B．当时，当且仅当时，的最小值为25
C．若的最小值为9，则t的值为2
D．若的最小值为25，则t的值为6
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合，，满足，则实数________．
14．不等式的解集为________．
15．已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是________．
16．已知实数，，且，则的最小值为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集，集合，，．
(Ⅰ)求； (Ⅱ)若，求实数取值范围．
18．（12分）(Ⅰ)已知集合，，且，求实数的值；
(Ⅱ)已知命题，命题 ，都是真命题．求实数的取值范围．
19．（12分）(Ⅰ)已知，试比较与的大小；
(Ⅱ)已知，为实数，试比较与的大小．
20．（12分）(Ⅰ)若，求的最小值；
(Ⅱ)已知，求的最小值.
21．（12分）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(Ⅰ)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
22．（12分）已知关于的不等式.
(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；
(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
(Ⅲ)已知，，，若恒成立，则实数的取值范围
浦江县中山中学2023学年第一学期高一10月素养检测
数学试卷参考答案
命题：姚淞 审题：郑华亭 2023.10.5
注意：选择题用2B铅笔将答案填涂在机读卡上；非选择题用0.5mm及以上黑色字迹的笔，在答题卷上每题限定区域内作答，答在草稿纸上或试卷上概不评分。
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共20分）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知．
2．已知集合，，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
由，为整数，为奇数，故集合M､N的关系为.
3．已知x∈R，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由于，所以“”是“”的必要不充分条件.
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
5．已知关于的不等式的解集为，若且，则实数的可能取值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，，
，综上，
6．“，且”的一个必要条件为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当，且时，必有成立，即不能推出，A不正确.
对于B，当，且时，不可能成立，B不正确；
对于C，当，且时，不一定成立，如满足条件，而，C不正确；
对于D，因，且，则，即是“，且”的必要条件，D正确；
7．命题，使得成立，若是假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题，使得成立.若是假命题
则命题的否定为：，使得成立，为真命题.
所以在上恒成立，
由，当且仅当时取得等号，所以
8．已知，则的最小值为.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
，且，，
当且仅当，即时，取得最小值2.
的最小值为.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中每题全都选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分）
9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，，解得，所以；
由，解得，所以.
对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由选项C可知，，故D正确.
10．下列说法中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】AD
【解析】A选项：因为成立，则，则，故A正确；
B选项：因为，所以，所以，故选项B不正确；
C选项：令,满足，，但，故C不正确；
D选项：因为，所以，又，所以，故D正确；
11．已知集合，，记表示有限集中的元素的个数，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】，
对于A：若，则，若或，则，故选项A不正确；
对于B：若，则，此时，，，故选项B正确；
对于C：若，则或或。当时，，，故选项C不正确；
对于D：若，则且且，，此时，故选项D正确.
12．已知，且，
A．当时，当且仅当时，有最小值
B．当时，当且仅当时，的最小值为25
C．若的最小值为9，则t的值为2
D．若的最小值为25，则t的值为6
【答案】BC
【解析】对于选项A：当时，，，
当且仅当，即时等号成立，所以时，有最小值，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，，
当且仅当，即时等号成立，所以时，有最小值，故选项B正确；
对于选项C：，
令即，可得，
即，当且仅当，即时等号成立，所以，故选项C正确；
对于选项D：
，令即，可得，
即，当且仅当即时等号成立，所以，故选项D不正确.
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合，，满足，则实数________．
【答案】
【解析】由，可知：无解，或，成立； 故.
14．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由，得，即，解得，
所以不等式的解集为.
15．已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】命题：，命题：，若是的充分条件，则，
所以，解得.
16．已知实数，，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】实数，，且，故，即【构造和为定值】
所以，【1的代换法】
当且仅当，即，解得，故的最小值为.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集，集合，，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求实数取值范围．
【解析】(Ⅰ)【解一元二次不等式，补集运算，交集运算】∵或，
∴， ∴．
（Ⅱ）【并集性质，空集是任何集合子集，根据集合包含关系求参数范围】∵，∴
①当时，满足，即，解得．
②当时，因为，所以
，即，
综上，实数的取值范围为．
18．（12分）(Ⅰ)已知集合，，且，求实数的值；
(Ⅱ)已知命题，，命题 ，，都是真命题．求实数的取值范围．
【解析】(Ⅰ)【空集是任何集合子集，含参一次函数讨论】∵，∴
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或
即实数的取值为或或.
(Ⅱ)【原命题与命题否定真假相反，二次方程有实根条件】由命题为真，可得不等式在上恒成立．
因为，，所以，
若命题为真，则方程有解．
所以判别式，
所以或．
又因为，都为真命题，所以所以或．
所以实数的取值范围是或．
19．（12分）(Ⅰ)已知，试比较与的大小.
(Ⅱ)已知，为实数，比较与的大小．
【解析】(Ⅰ)【作差比较法，分类讨论】∵，
又∵，，
∴当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
综上，当时，；当时，；当时，.
(Ⅱ)【作差比较法，配方变形】，
当且仅当，取等号．
所以≥．
20．（12分）(Ⅰ)若，求的最小值；
(Ⅱ)已知，求的最小值.
【解析】(Ⅰ)【分离常数法，配凑法】∵，∴，
∴
当且仅当，即时取等号。
(Ⅱ)【直接用解不等式，因式分解】∵，
∴.
当且仅当时，即时等号成立.
∴的最小值为
21．（12分）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(Ⅰ)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【解析】(Ⅰ)【一元二次不等式实际应用】设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(Ⅱ)【基本不等式实际应用，存在性问题】依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22．（12分）已知关于的不等式.
(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；
(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
(Ⅲ)已知，，，若恒成立，则实数的取值范围
【解析】(Ⅰ)【已知一元二次不等式解集求参数】因为关于的不等式的解集为，
所以，且和时关于的方程的两个实数根，
则，解得.
(Ⅱ)【一元二次不等式恒成立求参数范围，恒成立问题】因为关于的不等式恒成立，
所以或，即或，
则实数的取值范围为.
(Ⅲ)【含参基本不等式恒成立问题，恒成立问题】若恒成立，则，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以
所以，即，解得：．.