新高考物理一轮复习讲义第9章 电路及其应用 实验十三 测量电源的电动势和内阻 (含解析)

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方法。
考点一 教材原型实验
例1 (2023·福建龙岩高三质检)某同学为测量玩具电瓶车上蓄电池的电动势和内电阻，现有如下实验器材：
图3
A.电压表V(0～10 V，内阻约为3 kΩ)
B.电流表A(0～0.6 A，内阻约为2 Ω)
C.定值电阻R0＝13 Ω
D.滑动变阻器R(0～50 Ω)
E.待测蓄电池
F.开关S、导线若干
为了便于进行实验和保护蓄电池，该同学给蓄电池串联了一个定值电阻R0。实验中，多次调节外电阻R，读出相应的电压表和电流表示数U和I，通过描点、作图得到如图4所示的U－I图像。
图4
(1)为使测量结果尽量准确，应该选择________(填“甲”或“乙”)电路图。
(2)由图像信息可知，蓄电池的电动势E＝________V，内电阻r＝________Ω。
(3)实验中电表内阻会引起实验误差，若电压表内阻RV已知，在甲电路中电压表示数U和电流表示数I满足表达式U＝kI＋b，k、b均为常数，则b＝________(结果用RV、R0、r、E表示)。
答案 (1)甲 (2)12 2 (3)eq \f(RV,RV＋R0＋r)E
解析 (1)因电流表内阻对电池内阻的影响较大，则实验应该采用甲电路。
(2)由图像信息可知，蓄电池的电动势E＝12 V，内电阻r＝eq \f(ΔU,ΔI)－R0＝eq \f(12,0.8) Ω－13 Ω＝2 Ω。
(3)由电路可得E＝U＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I＋\f(U,RV)))(r＋R0)，即U＝eq \f(ERV,RV＋R0＋r)－eq \f(RV（R0＋r）,RV＋R0＋r)I，则b＝eq \f(RV,RV＋R0＋r)E。
跟踪训练
(2023·江西南昌高三质检)某同学需测量一电源的电动势E和内阻r，但是发现实验室没有合适的电压表，于是他利用实验室的两电流表设计了如图5甲所示的电路。其中电流表A1内阻为RA1，电流表A2内阻为RA2。R0为定值电阻的阻值，RP为阻值范围适当的滑动变阻器。闭合开关S，移动滑动变阻器的滑动触头至某一位置，读出电流表A1和A2的示数分别为I1和I2。多次改变滑动触头的位置，利用所测数据在I1－I2中描出的坐标点如图乙所示。
甲
乙
图5
(1)电流表A2是该同学利用一灵敏电流计(满偏电流Ig＝100 mA，内阻R g＝39 Ω)改装而成，该同学希望改装后的电流表量程为4 A，则该同学改装电表过程中所使用的定值电阻，你认为他应该选________。
A.1 Ω B.3.9 Ω C.15.2 Ω D.39 Ω
(2)该同学正确改装电流表A2且正确操作和测量后，测量数据描点如图乙所示，请你根据乙图上的点作出I2－I1图线。
(3)已知电流表A1量程0～30 mA、内阻RA1＝5 Ω ，定值电阻R0＝45 Ω，则结合图像可求出被测电源的电动势E＝________V，电源的内阻r＝________Ω(保留2位有效数字)。
答案 (1)A (2)图见解析 (3)2.0 0.50
解析 (1)把灵敏电流计改装成大量程电流表需要并联一个电阻，则(4A－Ig)R＝IgRg，代入数据得R＝1 Ω，故选A。
(2)连线时让数据点尽可能在直线上，明显偏离的点分居直线两侧且两侧个数差不多，偏离太大的点直接舍去。I2－I1图线如图所示。
(3)根据闭合电路欧姆定律有
E＝I1(RA1＋R0)＋r(I1＋I2)
整理得I2＝－eq \f(RA1＋R0＋r,r)I1＋eq \f(E,r)
结合I2－I1图线可得eq \f(RA1＋R0＋r,r)
＝eq \f(4.0－0.5,（34.5－0）×10－3)≈101，eq \f(E,r)＝4.0 A
代入数据得E＝2.0 V ，r＝0.50 Ω。
考点二 拓展创新实验
1.安阻法测电动势和内阻
(1)实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图6所示。
图6
(2)实验器材
电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
(3)数据处理
①计算法：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))
解方程组求得E，r。
②图像法：由E＝I(R＋r)可得
eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r,E)，可作eq \f(1,I)－ R图像(如图7甲)，eq \f(1,I) －R图像的斜率k＝eq \f(1,E)，纵轴截距
为eq \f(r,E)
也可写成R＝E·eq \f(1,I)－r，可作R－eq \f(1,I)图像(如图乙)，R－eq \f(1,I)图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r。
图7
例2 (2023·山东泰安高三一模)某物理兴趣小组测量一电池的电动势和内阻。按照图8甲所示连接好电路，闭合开关，调节电阻箱，测得多组电阻箱接入电路的阻值R及对应的电流表的示数I，作eq \f(1,I)－R图线如图乙所示，已知R0＝4 Ω。

甲 乙
图8
(1)根据图像可知电池的电动势为________V，内阻为________Ω(两空均保留1位小数)。
(2)考虑到电流表内阻的影响，电动势的测量值________实际值，内阻的测量值________实际值(选填“大于”“小于”或“等于”)。
答案 (1)12.5 1.0 (2)等于 大于
解析 (1)根据闭合电路欧姆定律有
E＝I(R＋R0＋r)
整理得eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(R0＋r,E)
因此在eq \f(1,I)－R图线中，利用图像的斜率和纵轴截距数据可得
eq \f(1,E)＝eq \f(1.20,10－（－5）) V －1，eq \f(R0＋r,E)＝0.4 Ω·V －1
解得E＝12.5 V，r＝1.0 Ω。
(2)考虑到电流表内阻的影响，欧姆定律的表达式应为E＝I(R＋R0＋r＋rA)
整理得eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(R0＋r＋rA,E)
图像的斜率不变，也就是电动势的测量值等于真实值，而内电阻的测量值应为内电阻与电流表内阻之和，因此测量值偏大。
2.伏阻法测电动势和内阻
(1)实验原理
闭合电路欧姆定律E＝U＋eq \f(U,R)r，电路图如图9所示。
图9
(2)实验器材
电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺。
(3)数据处理
①计算法：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))
解方程组可求得E和r。
②图像法：由E＝U＋eq \f(U,R)r得eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,E)·eq \f(1,R)。故eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像的斜率k＝eq \f(r,E)，纵轴截距为eq \f(1,E)，如图10所示。
图10
例3 (2023·山东省实验中学高三一模)某同学从实验室找到如下器材，准备测未知电源电动势和内阻。
A.待测电源一个
B.直流电压表V，量程为3 V，内阻非常大
C.定值电阻R0＝150 Ω
D.电阻箱R
E.导线和开关
该同学设计的电路如图11甲所示，根据该电路进行实验操作：多次改变电阻箱的阻值，记录每次电阻箱的阻值R和电压表的示数U，在eq \f(1,U)－R坐标系中描出的坐标点如图乙所示。

甲 乙
图11
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则eq \f(1,U)与R的关系式为________。
(2)在图乙的坐标纸上画出eq \f(1,U)－R关系图线。
(3)根据图线求得电源电动势E＝________V，内阻r＝________Ω(保留3位有效数字)。
答案 (1)eq \f(1,U)＝eq \f(1,ER0)R＋eq \f(R0＋r,ER0) (2)见解析图 (3)2.95～3.05 27.0～33.0
解析 (1)由题图可知，电压表与定值电阻R0并联，所测为定值电阻R0两端的电压，由欧姆定律可求得电路中电流为I＝eq \f(U,R0)，由闭合电路欧姆定律可得
E＝I(R0＋R＋r)＝eq \f(U,R0)(R0＋R＋r)，变形得eq \f(1,U)＝eq \f(1,ER0)R＋eq \f(R0＋r,ER0)。
(2)拟合一次函数直线关系，作图如图所示。
(3)根据图线求得斜率
k＝eq \f(0.75－0.40,160)V－1·Ω－1＝2.2×10－3V－1·Ω－1
截距b＝0.40 V－1
eq \f(1,ER0)＝k＝2.2×10－3V－1·Ω－1
eq \f(R0＋r,ER0)＝b＝0.40 V－1
解得E＝3.03 V，r＝31.8 Ω。
1.在测量电源电动势和内阻的实验中，实验室提供了如下器材和参考电路：
电压表V1(量程3 V，内阻约6 kΩ)
电压表V2(量程1 V，内阻约6 kΩ)
电流表A1(量程0.6 A，内阻约0.1 Ω)
电流表A2(量程2 mA，内阻约1 Ω)
滑动变阻器R1(最大阻值3 kΩ)
滑动变阻器R2(最大阻值10 Ω)
定值电阻R3(阻值1 Ω)
开关，导线若干
(1)甲同学想要测量马铃薯电池的电动势(约1.0 V)和内阻(约500 Ω)。选用合适器材后，应选择最优电路________(填写参考电路对应的字母)进行测量。
(2)乙同学想要测量一节新干电池的电动势和内阻。选用合适器材后，应选择最优电路________(填写参考电路对应的字母)进行测量。
(3)乙同学将测得的数据在坐标纸上描点如图1所示。请画出U－I图像，并求出电动势E为________V，内阻r为________Ω(小数点后保留2位)。
图1
答案 (1)A (2)C (3)见解析图 1.48 0.09
解析 (1)马铃薯电池的电动势较小，内阻较难大。题图B中电压表分流，所以电流表测量的干路电流偏小，则电动势测量值偏小；题图A测量的干路电流I准确，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知当I＝0时，断路电压即为电动势，所以A图能准确测量马铃薯的电动势，内阻测量偏大，为电流表和马铃薯内阻之和，但因为马铃薯内阻远大于电流表内阻，所以误差较小，故选A。
(2)新的干电池内阻较小，所以需要给电池串联一个定值电阻R3，方便测量，而题图D中测量的内阻为电流表内阻、电源内阻和定值电阻R3之和，因为干电池内阻较小，所以内阻的测量会存在较大误差，所以选C。
(3)作出U－I图像如图所示。
根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir变形得U＝E－Ir，则图像纵截距即为电源电动势，则E＝1.48 V。根据图像斜率可知r＝R3＋r0＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1.0－1.48,0.44)))Ω≈1.09 Ω，则电源内阻为r0＝r－R3＝1.09 Ω－1 Ω＝0.09 Ω。
2.(2023·湖北八市高三联考)某校举行了一次物理实验操作技能比赛，其中一项比赛为选用合适的电学元件设计合理的电路，并能较准确的测量同一电池组的电动势及其内阻。提供的器材如下：
A.电流表G(满偏电流10 mA，内阻10 Ω)
B.电流表A(0～0.6 A～3 A，内阻未知)
C.电压表V(0～5 V～10 V，内阻未知)
D.滑动变阻器R(0～100 Ω，1 A)
E.定值电阻R0(阻值990 Ω)
F.开关与导线若干
(1)图2(a)是小宇同学根据选用的仪器设计测量该电池组电动势和内阻的电路图。根据该实验电路测出的数据绘制的I1－I2图线如图(b)所示(I1为电流表G的示数，I2为电流表A的示数)，则由图线可以得到被测电池组的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω(结果均保留2位有效数字)。
(2)另一位小张同学则设计了图(c)所示的实验电路对电池组进行测量，记录了单刀双掷开关S2分别接1、2对应电压表的示数U和电流表的示数I；根据实验记录的数据绘制U－I图线如图(d)中所示的A、B两条图线。
图2
可以判断图线A是利用单刀双掷开关S2接________(选填“1”或“2”)中的实验数据描出的；分析A、B两条图线可知，此电池组的电动势为E＝________，内阻r＝________(用图中EA、EB、IA、IB表示)。
答案 (1)7.5 5.0 (2)1 EA eq \f(EA,IB)
解析 (1)电流表G和定值电阻串联，其可看成一个电压表，则有
E＝I1(RG＋R0)＋(I1＋I2)r
整理可得I1＝－eq \f(r,RG＋R0＋r)I2＋eq \f(E,RG＋R0＋r)
根据图像可知，
eq \f(E,RG＋R0＋r)＝7.5×10－3 A
－eq \f(r,RG＋R0＋r)＝eq \f(（5－7）×10－3,0.5－0.1)
可得E＝7.5 V，r＝5.0 Ω。
(2)若单刀双掷开关接1，则电流表相对于电源内接，则因电流表分压作用，会导致E真＝E测，I短真>I短测，若单刀双掷开关接2，则电流表相对于电源外接，因电压表分流作用，会导致E真>E测，I短真＝I短测，结合所给图像，可以判断出A图线是利用单刀双掷开关S2接1得出的，同样也可以判断出E＝EA，I短真＝IB，则内阻为r＝eq \f(E,I短真)＝eq \f(EA,IB)。
3.(2023·广东深圳高三月考)现要测量某电源的电动势和内阻。可利用的器材有：电流表A，内阻很小；5个阻值均为R的定值电阻R1、R2、R3、R4、R5；开关S；一端连有鳄鱼夹P的导线1，其他导线若干。某同学设计的测量电路如图3甲
所示。
图3
(1)按图甲在实物图乙中画出连线。
(2)测量时，改变鳄鱼夹P所夹的位置，使R1、R2、R3、R4、R5依次串入电路，记录对应的电流表的示数I和连入电路中的电阻数目n，则电流I与电阻数目n的关系为eq \f(1,I)＝________(用题中所给字母R、n、E、r表示)。
(3)以电流I的倒数eq \f(1,I)为纵轴，电阻数目n为横轴画出eq \f(1,I)－n图线，若图线的斜率为k，纵截距为b，则电源的电动势E＝________，内阻r＝________(用题中所给字母k、b、R表示)。
(4)由于电流表内阻的影响在本题中没有考虑，导致E测______E真，r测_______r真(以上两空均选填“>”“＝”或“<”)。
答案 (1)见解析图 (2)eq \f(R,E)·n＋eq \f(r,E) (3)eq \f(R,k) eq \f(bR,k) (4)＝ >
解析 (1)根据题图甲，实物连线如图所示。
(2)根据闭合电路欧姆定律有E＝I(nR＋r)
整理得eq \f(1,I)＝eq \f(R,E)·n＋eq \f(r,E)。
(3)由(2)问，结合题意有k＝eq \f(R,E)，b＝eq \f(r,E)
联立解得E＝eq \f(R,k)，r＝eq \f(bR,k)。
(4)若考虑电流表内阻的影响，则有
E＝I(nR＋r＋RA)
即eq \f(1,I)＝eq \f(R,E)·n＋eq \f(r＋RA,E)
由此可知E测＝E真，r测>r真。实验原理
实验操作
注意事项
1.电路图和实物图(如图甲、乙所示)

2.原理：改变滑动变阻器的电阻，测多组U、I值，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir计算E、r。
1.选量程、连线路：按原理图连接电路，注意电压表、电流表的量程和正、负接线柱。
2.滑动变阻器滑片移到阻值最大一端。
3.测量：闭合开关，改变滑动变阻器阻值，测多组U、I值。
4.求解：利用公式法或图像法求E、r。
1.为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池。
2.电流不要过大，应小于
0.5 A，读数
要快。
3.要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些。
数据处理
方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小。
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(U1＝E－I1r,U4＝E－I4r))；(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(U2＝E－I2r,U5＝E－I5r))；(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(U3＝E－I3r,U6＝E－I6r))
根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。
方法二：用作图法处理数据，如图1所示。
图1
(1)图线与纵轴交点为E。
(2)图线的斜率的绝对值表示r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(ΔU,ΔI)))。
误差分析

1.由于读数不准和电表线性不良引起误差。
2.用图像法求E和r时，由于作图不准确造成误差。
3.实验时通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。
4.若采用图2甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差值越大。其U－I图像如图丙所示。结论：E测＜E真，r测＜r真。
图2
5.若采用图2乙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流值越大，电流表的分压越多，对应的U真与U测的差值越大。其U－I图像如图丁所示。结论：E测＝E真，r测＞r真。