新高考物理一轮复习讲义第2章 相互作用 力 实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系 (含解析)

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考点一 教材原型实验
作图处理数据的规则
(1)要在坐标轴上标明代表的物理量符号、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图像尽可能占满整个坐标图纸。若弹簧原长较长，则横坐标的起点可以不从零开始。
(2)作图线时，尽可能使直线通过较多的点，不在直线上的点也要尽可能均匀分布在直线的两侧(若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去)。
(3)要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图像的斜率、截距的意义。
例1 (2022·湖南卷，11)小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图1(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下：
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g；
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表：
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线；
图1
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为________ cm；
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为________ g(计算结果保留3位有效数字)。
答案 (3)见解析图 (4)15.35 (5)128
解析 (3)根据表格数据描点连线如图。
(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数为l＝15.35 cm。
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l0，则
n1mg＝k(l1－l0)，n2mg＝k(l2－l0)
则橡皮筋的劲度系数为k＝eq \f(（n2－n1）mg,l2－l1)
从作出的l－n图线读取数据则可得
k＝eq \f(（n2－n1）mg,l2－l1)＝eq \f(10,3)mg (N/cm)
l0＝eq \f(n2l1－n1l2,n2－n1)＝9.00 cm
设冰墩墩的质量为m1，
则有m1g＝k(l－l0)
可得m1＝eq \f(10,3)×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g。
跟踪训练
1.(2023·江苏苏州模拟)某同学用图2(a)所示装置探究两根相同弹簧甲、乙串联后总的劲度系数与弹簧甲劲度系数的关系。他先测出不挂钩码时弹簧甲的长度和两弹簧的总长度，再将钩码逐个挂在弹簧的下端，记录数据填在下面的表格中。
(a)
(1)关于本实验操作，下列说法正确的是______。
A.悬挂钩码后立即读数
B.钩码的数量可以任意增减
C.安装刻度尺时，必须使刻度尺保持竖直状态
(2)已作出钩码重力F与弹簧总长度L2的关系图像，如图(b)中实线所示，由图像可知两根弹簧串联后总的劲度系数k为________N/cm。
(b)
图2
(3)在图(b)的坐标纸上描点作出钩码重力F与弹簧甲的长度L1的关系图像。
(4)根据F－L1图像可求出一根弹簧的劲度系数k′，k和k′的定量关系为________。
(5)本实验中，弹簧的自重对所测得的劲度系数________(选填“有”或“无”)影响。
答案 (1)C (2)1.00 (3)见解析图 (4)k′＝2k (5)无
解析 (1)悬挂钩码后应等示数稳定后再读数，A错误；因为所挂钩码重力不能超过弹簧弹性限度，即钩码的数量不可以任意增减，B错误；安装刻度尺时，必须使刻度尺保持竖直状态，C正确。
(2)因为F－L图像的斜率为劲度系数，
故k＝eq \f(ΔF,ΔL)＝1.00 N/cm。
(3)图像如图所示。
(4)根据F－L1图像可求出一根弹簧的劲度系数为k′＝2.00 N/cm，故k和k′的定量关系为k′＝2k。
(5)因为本实验中，用图像斜率求得弹簧劲度系数，故弹簧的自重对所测得的劲度系数无影响。
考点二 创新拓展实验
创新角度：实验装置的改进
例2 (2021·广东卷，11)某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数。缓冲装置如图3所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g 的钢球(直径略小于玻璃管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数Ln，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
图3
(1)利用ΔLi＝Li＋3－Li(i＝1，2，3)计算弹簧的压缩量：ΔL1＝6.03 cm，ΔL2＝6.08 cm，ΔL3＝________cm，压缩量的平均值eq \(ΔL,\s\up6(－))＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝________cm；
(2)上述eq \(ΔL,\s\up6(－))是管中增加________个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为________N/m(结果保留3位有效数字)。
答案 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6
解析 (1)ΔL3＝L6－L3＝18.09 cm－12.05 cm＝6.04 cm，压缩量的平均值
eq \(ΔL,\s\up6(－))＝eq \f(ΔL1＋ΔL2＋ΔL3,3)＝6.05 cm。
(2)根据(1)问可知，eq \(ΔL,\s\up6(－))为增加3个钢球时产生的平均压缩量。
(3)根据胡克定律的推论可知，3mgsin θ＝keq \(ΔL,\s\up6(－))，代入数值解得k＝48.6 N/m。
跟踪训练
2.(2022·广东珠海模拟)用如图4甲所示的装置来探究胡克定律，轻质弹簧的左端与固定在墙上的拉力传感器连接，在右端水平拉力F的作用下从原长开始沿水平方向缓慢伸长，弹簧与水平面不接触，通过刻度尺可以读出弹簧的伸长量x，通过拉力传感器可以读出F，多次测量F、x作出F－x图像如图乙所示，回答下列问题：
甲
乙
图4
(1)伸长量达到某个点后图像变弯曲，原因可能是__________________________________________________________________。
(2)弹簧的劲度系数为________。
(3)弹簧的伸长量分别为x2和x1时，拉力传感器的示数之差为________。
答案 (1)弹簧超过了最大弹性限度 (2)eq \f(F2,x2) (3)eq \f(F2（x2－x1）,x2)
解析 (1)当弹力增大，图像变弯曲，原因是弹簧超过了最大弹性限度。
(2)F－x图像的斜率表示弹簧的劲度系数，则k＝eq \f(F2,x2)。
(3)弹簧的伸长量为x1时，设拉力传感器的示数为F1，
由k＝eq \f(F1,x1)，结合k＝eq \f(F2,x2)，
可得F1＝eq \f(F2x1,x2)
则有F2－F1＝eq \f(F2（x2－x1）,x2)。
1.弹簧是大家在生活中比较常见的机械零件，弹簧在外力作用下发生形变，撤去外力后，弹簧就能恢复原状。很多工具和设备都是利用弹簧这一性质来工作的。实验室中有五根一模一样的弹簧，小明想测量这批弹簧的劲度系数，将弹簧等间距悬挂在水平铁架台上，如图1甲所示，1号弹簧不挂钩码，2号挂1个钩码，3号挂2个钩码，依此类推，钩码均相同。计算结果均保留3位有效数字。
(1)为了更直观地呈现出弹力大小F与伸长量Δx的关系，小明以1号弹簧末端指针所指的位置为原点，作出竖直的y轴及水平的x轴，其中y轴代表________，x轴代表________(均选填“F”或“Δx”)。
图1
(2)为测量弹簧的伸长量，小明取来一把米尺，竖直放置在地上，米尺的100 cm刻度刚好与1号弹簧末端指针在同一水平线上，测量2号弹簧末端指针位置时，示数如图乙所示，则此时弹簧伸长量为________cm。
(3)小明依次测量3号、4号、5号弹簧的实验数据，根据测量的数据作出图像，如图丙，已知图中数据的单位均取国际单位制单位，则这些弹簧的劲度系数为________N/m。
答案 (1)Δx F (2)4.00 (3)50
解析 (1)由题图甲知，y轴代表弹簧的伸长量Δx，x轴代表弹力大小F。
(2)由题图乙知，2号弹簧末端指针位置对应的刻度为96.00 cm，故弹簧伸长量
Δx＝100 cm－96.00 cm＝4.00 cm。
(3)由题图丙得k＝eq \f(F,Δx)＝eq \f(4,0.08) N/m＝50 N/m。
2.(2023·湖南长沙模拟)某同学想测量两根材料不同、粗细不同、长度不同的轻弹簧的劲度系数，他设计了如图2(a)所示的实验装置。实验操作步骤如下：
图2
①将一根粗细均匀的杆竖直固定在水平面上，在其表面涂上光滑材料；
②将轻弹簧A套在竖直杆上，将轻弹簧B套在弹簧A外面，弹簧A与杆之间以及弹簧B与弹簧A之间均有一定间隙；
③将刻度尺竖直固定在弹簧左侧，读出此时弹簧A、B的长度；
④将金属圆环套在竖直杆上并轻轻放在弹簧上，待圆环平衡后从刻度尺上读出弹簧A、B的长度；
⑤逐渐增加金属圆环(与此前所加的金属圆环完全相同)个数，重复步骤④；
⑥根据实验数据得出弹簧上方所加金属圆环的个数n及弹簧A对应的形变量x，通过计算机拟合出如图(b)所示的x－n图像；
⑦用天平测量出一个金属圆环的质量为100 g，实验过程中未超过弹簧的弹性限度，重力加速度g取9.80 m/s2。
回答下列问题：
(1)弹簧A、B的劲度系数分别为kA＝________N/m，kB＝________N/m。
(2)若把弹簧A、B串接在一起，将一端固定在天花板上，另一端悬挂一重力为G的物块，则物块静止时两弹簧的伸长量之和Δl＝________(用kA、kB、G表示)。
答案 (1)156.8 235.2 (2)Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,kA)＋\f(1,kB)))
解析 (1)由题可知，圆环数为4个时，恰好压在弹簧B上，且不受到B的弹力，此前，圆环仅受弹簧A的弹力，此后受到A、B两个弹簧的弹力，n＝4时
4mg＝kAx1
解得kA＝156.8 N/m
n＝8时8mg＝kAx2＋kB(x2－x1)
解得kB＝235.2 N/m。
(2)串联时，两个弹簧的拉力相等，
则lA＝eq \f(G,kA)，lB＝eq \f(G,kB)
可得Δl＝lA＋lB＝G(eq \f(1,kA)＋eq \f(1,kB))。
3.某同学探究如图3甲中台秤的工作原理。他将台秤拆解后发现内部简易结构如图乙所示，托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C固定连在一起，齿轮D可无摩擦转动，与齿条C完全啮合，在齿轮上固定指示示数的轻质指针E，两根完全相同的弹簧将横杆H吊在秤的外壳I上。他想根据指针偏转角度测量弹簧的劲度系数，经过调校，托盘中不放物品时，指针E恰好指在竖直向上的位置。若放上质量为m的物体指针偏转了θ弧度(θ<2π)，齿轮D的直径为d，重力加速度为g。
(1)指针偏转了θ弧度的过程，弹簧变长了________(用题干中所给的参量表示)。
(2)每根弹簧的劲度系数表达式为________(用题干所给的参量表示)。
(3)该同学进一步改进实验，引入了角度传感器测量指针偏转角度，先后做了六次实验，得到数据并在坐标纸上作出图丙，可得到每根弹簧的劲度系数为________N/m(d＝5.00 cm，g＝9.8 m/s2，结果保留3位有效数字)。
丙
图3
答案 (1)eq \f(θ,2)d (2)k＝eq \f(mg,θd) (3)154(151～159)
解析 (1)由题图乙可知，弹簧的形变量等于齿条C下降的距离，由于齿轮D与齿条C啮合，所以齿条C下降的距离等于齿轮D转过的弧长，根据数学知识可得s＝θ·eq \f(d,2)，即弹簧的伸长量Δx＝s＝θ·eq \f(d,2)。
(2)对托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C和重物整体研究，根据平衡条件得mg＝2F
由胡克定律得F＝kΔx，联立解得k＝eq \f(mg,θd)。
(3)根据k＝eq \f(mg,θd)，可得θ＝eq \f(g,kd)·m，所以θ－m图像是一条过原点的倾斜直线，其斜率k′＝eq \f(g,kd)，由题图丙可得k′＝eq \f(Δθ,Δm)＝eq \f(0.76,0.6) rad/kg≈1.27 rad/kg，将d＝5.00 cm，
g＝9.8 m/s2，代入k′，解得k≈154 N/m。
4.某同学利用图4(a)的装置测量轻弹簧的劲度系数。图中，光滑细杆和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与水平细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂砝码(实验中，每个砝码的质量均为m＝
50.0 g)，弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出，实验步骤如下：
图4
①在绳下端挂上一个砝码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细线水平且弹簧与细杆没有接触；
②系统静止后，记录砝码的个数及指针的位置；
③逐次增加砝码个数，并重复步骤②(保持弹簧在弹性限度内)；
④用n表示砝码的个数，l表示相应的指针位置，将获得的数据记录在表格内。
回答下列问题：
(1)根据下表的实验数据在图(b)中描点并作出n－l图像。
(2)弹簧的劲度系数k可用砝码质量m、重力加速度大小g及n－l图线的斜率a表示，表达式为k＝________；若g取9.80 m/s2，则本实验中k＝________N/m(该计算结果保留3位有效数字)。
答案 (1)见解析图 (2)amg 98.0(96.0～100)
解析 (1)根据表中实验数据在坐标系内描出对应点，让尽可能多的点过直线，不能过直线的点对称分布在直线两侧，根据坐标系内描出的点作出图像如图
所示。
(2)n－l图线的斜率
a＝eq \f(Δn,Δl)＝eq \f(6,（13.0－10.0）×10－2)＝200个/m
由胡克定律，弹簧弹力F＝k(l－l0)
由题意可知，弹簧弹力F＝nmg
已知每个砝码的质量均为
m＝50.0 g＝0.0500 kg
则弹簧的劲度系数表达式k＝amg
代入数据解得，弹簧的劲度系数k＝98.0 N/m。原理装置图
操作要求
注意事项
平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等
1.将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度l0，即原长。
2.如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1，得出弹簧的伸长量x1，将这些数据填入自己设计的表格中。
3.改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5，并得出每次弹簧的伸长量x2、x3、x4、x5。
1.操作：弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度。
2.作图：坐标轴标度要适中，单位要标注，连线时要使各数据点均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去。
3.适量：弹簧下端所挂钩码不要太多以免伸长量超出弹性限度。
4.多测：要使用轻质弹簧尽可能多测几组数据。
5.统一：弹力及伸长量对应关系及单位应统一。
数据
处理
1.列表法：将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值不变。
2.图像法：根据测量数据，在建好直角坐标系的坐标纸上描点。以弹簧的弹力F为纵轴，弹簧的伸长量x为横轴，根据描点的情况，作出一条经过原点的直线。
序号
1
2
3
4
5
硬币数量n/枚
5
10
15
20
25
长度l/cm
10.51
12.02
13.54
15.05
16.56
序号
1
2
3
4
5
6
钩码重力F/N
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
弹簧甲的长度L1/cm
1.95
2.20
2.45
2.70
2.95
3.20
两弹簧总长度L2/cm
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
装置时代化
求解智能化
1.弹力的获得：弹簧竖直悬挂，重物的重力作为弹簧的拉力，存在弹簧自重的影响→弹簧水平使用，重物的重力作为弹簧的拉力，消除了弹簧自重的影响
2.图像的获得：由坐标纸作图得F－x图像→由传感器和计算机输入数据直接得F－x图像
n
1
2
3
4
5
6
Ln/cm
8.04
10.03
12.05
14.07
16.11
18.09
n
1
2
3
4
5
l/cm
10.48
10.96
11.45
11.95
12.40