新高考物理一轮复习讲义第2章 相互作用 力 第4讲 受力分析 共点力的平衡 (含解析)

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eq \a\vs4\al(1.,,,,)
eq \a\vs4\al(2.,,,,)
1.思考判断
(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上。(√)
(2)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用。(×)
(3)物体的速度为零即处于平衡状态。(×)
(4)物体处于平衡状态时，其加速度一定为零。(√)
(5)物体受两个力作用处于平衡状态，这两个力必定等大反向。(√)
(6)物体处于平衡状态时，其所受的作用力必定为共点力。(×)
(7)物体受三个力F1、F2、F3作用处于平衡状态，若将F2转动90°，则三个力的合力大小为eq \r(2)F2。(√)
2.如图1，三米跳板跳水运动员在跳板的外端静止站立时，受到力的个数是( )
图1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
考点一 受力分析
受力分析的四种方法
例1 (多选)(2023·山东青岛质量检测)如图2所示，固定在地面上的带凹槽的长直杆与水平面成α＝30°角，轻质环a套在杆上，置于凹槽内质量为m的小球b通过一条细绳跨过定滑轮与环a连接。a、b静止时，拉b的细绳与杆间的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是( )
图2
A.a受到3个力的作用
B.b受到3个力的作用
C.细杆对b的作用力大小为eq \f(1,2)mg
D.细绳对a的拉力大小为eq \f(\r(3),3)mg
答案 BD
解析 轻质环a套在杆上，不计摩擦，则a静止时细绳的拉力与杆对a的弹力平衡，故拉a的细绳与杆垂直，a受到两个力作用，故A错误；对b球受力分析可知，b受到重力、绳子的拉力和杆对b球的弹力，3个力的作用，故B正确；以b为研究对象，受力分析如图所示，根据几何关系可得β＝θ＝30°，则细杆对b的作用力大小FN等于细绳对b的拉力大小FT，则2FNcs 30°＝mg，可得FN＝
eq \f(\r(3),3)mg，故C错误；细绳对b的拉力FT＝FN＝eq \f(\r(3),3)mg，则细绳对a的拉力大小为FT′＝eq \f(\r(3),3)mg，故D正确。
跟踪训练
1.(2023·山东临沂月考)如图3所示，两个等大、反向的水平力F1和F2分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体的受力个数分别为( )
图3
A.3个、4个 B.4个、4个
C.4个、5个 D.4个、6个
答案 C
解析 先对物体A、B整体进行受力分析，水平方向上，两个等大、反向的力F1和F2正好平衡，所以物体B不受地面的摩擦力。对A物体进行受力分析，物体A受到重力、拉力F1、B给的支持力和摩擦力，所以A受到4个力作用；对B物体进行受力分析，物体B受到重力、拉力F2、地面的支持力、A给的摩擦力和压力，所以物体B受5个力的作用，故C正确，A、B、D错误。
考点二 共点力的平衡条件及应用
求解共点力平衡问题的常用方法
(1)合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
(2)正交分解法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡。
角度 合成法
例2 (2022·广东深圳模拟)如图4所示，ab绳一端固定在竖直墙上，另一端系在竖直固定的直杆上，质量为m的重物用细线系于ab绳上的c点，ac段水平，a点到杆的距离为ac段长度的2倍，bc段绳长度是ac段长度的eq \r(3)倍，重力加速度为g，将绳b端沿杆缓慢下移，当移到与a点等高的位置d时，ac段和bc段绳上的张力F1、F2大小分别为( )
图4
A.F1＝eq \f(\r(3),2)mg，F2＝eq \f(1,2)mg
B.F1＝eq \f(1,2)mg，F2＝eq \f(\r(3),2)mg
C.F1＝eq \f(\r(3),3)mg，F2＝eq \f(2\r(3),3)mg
D.F1＝eq \f(2\r(3),3)mg，F2＝eq \f(\r(3),3)mg
答案 A
解析 设ac＝x，则cd＝x，bc＝eq \r(3)x，当b点下移时，c点将以a点为圆心，
以x为半径转动，当b点到达d点时，结点c转到e点，因ad＝2x，ae＝x，
de＝eq \r(3)x，可知三角形aed为直角三角形，且∠ade＝30°，则由合成知识可得
F1＝mgcs 30°＝eq \f(\r(3),2)mg，F2＝mgsin 30°＝eq \f(1,2)mg，故A正确。
跟踪训练
2.如图5所示，在天花板的某点处竖直固定一根轻杆a，杆的下端有一个不计大小的轻质定滑轮O。一根跨过滑轮O的细线下端系一个重为G的物体，在细线A端施加拉力F使物体保持静止，OA与竖直方向的夹角为θ＝60°。不计一切摩擦。下列说法中正确的是( )
图5
A.细线弹力大小为2G
B.a杆对滑轮的作用力大小为eq \r(3)G
C.a杆对滑轮的作用力方向沿着杆竖直向上
D.a杆对滑轮的作用力大小为G
答案 B
解析 对物体分析可知，细线弹力与其重力平衡，所以细线弹力大小为G，故A错误；由于滑轮两侧细线中弹力大小相等，所以两侧细线弹力的合力F方向位于两侧细线夹角的平分线上(如图所示)，根据对称性可知两侧细线弹力的合力大小为F＝2Gcs 30°＝eq \r(3)G，方向与竖直方向夹角为30°斜向左下。对滑轮根据平衡条件可知，a杆对滑轮的作用力与F平衡，其大小也为eq \r(3)G，方向与竖直方向夹角为30°斜向右上，故B正确，C、D错误。
角度 正交分解法
例3 (2022·浙江1月选考，5)如图6所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为μ。工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( )
图6
A.轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ)
B.轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)
C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小
答案 B
解析 对石礅受力分析如图所示，设两根轻绳的合力为F，根据平衡条件有
Fcs θ＝Ff，Fsin θ＋FN＝mg，且Ff＝μFN，联立可得F＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)，选项A错误，B正确；上式变形得F＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2)sin（θ＋α）)，其中tan α＝eq \f(1,μ)，根据三角函数特点，由于θ的初始值不知道，因此减小θ，轻绳的合拉力F并不一定减小，选项C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力Ff＝Fcs θ＝eq \f(μmgcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,1＋μtan θ)，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石礅的摩擦力不是最小的，选项D错误。
跟踪训练
3.(2023·安徽十八校联考)如图7所示，质量m＝2 kg的三角形木楔置于倾角θ＝37°的固定粗糙斜面上，三角形木楔的AB边和AC边相等，∠BAC＝74°，它与斜面间的动摩擦因数为0.5，水平向右的推力F垂直作用在AB边上，在力F的推动下，木楔沿斜面向上匀速运动，ABC与斜面在同一竖直平面内，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，则木楔匀速运动过程中受到的摩擦力大小为( )
图7
A.20.0 N B.12.8 N C.12.0 N D.8.0 N
答案 A
解析 因AB边和AC边长度相等，∠BAC＝74°，由几何知识可知∠ABC＝53°，由于斜面倾角θ＝37°，故AB边竖直，推力F水平向右，对木楔的受力分析如图所示，根据平衡条件可得Fcs θ＝Ff＋mgsin θ，FN＝Fsin θ＋mgcs θ，摩擦力Ff＝μFN，联立解得Ff＝20 N，故A正确。
考点三 整体法和隔离法解决多物体平衡
多物体通常由两个或两个以上的研究对象，通过直接接触或通过绳、杆等媒介连接组合，如叠加体、连接体等，处理方法通常是整体法和隔离法交替使用。
例4 (2023·湖南岳阳模拟)如图8所示，质量为2M的物块A静置于水平台面上，质量为M的半球体C静置于水平地面上，质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上，P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点。系统在图示位置处于静止状态，P点位于半球体球心的正上方，PO竖直，PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°。已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则( )
图8
A.绳OP的拉力大小为eq \f(1,4)mg
B.C受到的摩擦力大小为eq \f(\r(3),4)mg
C.A受到的摩擦力大小为eq \f(1,4)mg
D.地面对C的支持力大小为(M＋m)g
答案 B
解析 对小球B受力分析如图，PB的拉力大小F＝mgcs θ＝eq \f(\r(3),2)mg，对P点受力分析可知，OP受到的拉力大小FT＝Fcs θ＝eq \f(3,4)mg，A错误；对物块A受力分析可知，物块A所受摩擦力大小等于PA绳子的拉力，则Ff＝Fsin θ＝eq \f(\r(3),4)mg，C错误；对整体受力分析可知，半球C受到的摩擦力大小等于A所受摩擦力，即FfC＝Ff＝eq \f(\r(3),4)mg，B正确；对整体受力分析可知，地面对半球C的支持力大小为(M＋m)g－FT＝Mg＋eq \f(1,4)mg，D错误。
(1)合理选择研究对象：在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进行分析，在使用时有时需要先整体再隔离，有时需要先隔离再整体，有时也需要整体与隔离多次交替使用。
(2)转移研究对象：用隔离法直接分析一个物体的受力情况不方便时，可转移研究对象，先隔离分析相互作用的另一个物体的受力情况，再根据牛顿第三定律分析该物体的受力情况。
跟踪训练
4.(2023·山东临沂模拟)如图9所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则以下说法正确的是( )
图9
A.绳子的拉力可能小于墙壁的支持力
B.墙壁的支持力一定小于两球的重力
C.3tan α＝tan(α＋β)
D.3tan α＝2tan(α＋β)
答案 C
解析 对两球整体受力分析，如图甲所示，受到绳子的拉力FT，墙壁的支持力FN和总重力3mg，根据平衡条件可得FTsin α＝FN＝3mgtan α，可知绳子的拉力一定大于墙壁的支持力，墙壁的支持力可能大于、小于或等于两球的重力，故A、B错误；对小球受力分析，如图乙所示，根据平衡条件有FN＝mgtan θ，由几何知识可得θ＝α＋β，联立可得3tan α＝tan(α＋β)，故C正确，D错误。

甲 乙
A级 基础对点练
对点练1 受力分析
1.(2023·河北邯郸高三期末)如图1所示，有P、N两块质量相同的物块，在物块P上施加一沿水平方向的外力F，使它们叠放在竖直面上且处于静止状态，下列说法正确的是( )
图1
A.物块P一定受到4个力的作用
B.物块P一定受到3个力的作用
C.物块N一定受到4个力的作用
D.物块N可能受到6个力的作用
答案 A
解析 如果P、N之间没有摩擦力，则物块P不能平衡，所以N对P有向左下的压力和沿着接触面向左上的摩擦力，此外P还受到重力和外力F，所以物块P一定受到4个力的作用，故A正确，B错误；整体分析可知，墙对N有向上的摩擦力，大小等于两者的重力之和。对物块N受力分析，受到重力、墙对N的支持力、墙对N的摩擦力、P对N的支持力、P对N的摩擦力，所以物块N一定受到5个力的作用，故C、D错误。
2.(2023·重庆南开中学模拟)如图2所示，物体A、B叠放在斜面体C上，三个物体在拉力F的作用下，一起向右匀速运动，不计空气阻力。则运动过程中物体B所受力的个数为( )
图2
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 根据平衡条件知，A、B之间没有摩擦力，则物体B受到重力、斜面的支持力、沿斜面向上的摩擦力、A的压力，共4个力的作用，故C正确。
对点练2 共点力平衡的条件及应用
3.(2022·广东普宁二中模拟)如图3，一直梯靠竖直墙壁放置，人站在梯子上，处于静止状态，忽略梯子与墙壁间的摩擦力，则下列说法正确的是( )
图3
A.人越重，梯子所受合外力越大
B.地面对梯子支持力的大小与人所站的高度无关
C.墙壁对梯子的弹力方向垂直于梯子所在平面斜向上
D.地面对梯子的摩擦力大于墙壁对梯子的弹力
答案 B
解析 梯子处于平衡状态，所受合外力总为零，选项A错误；地面对梯子支持力的大小等于人与梯子的重力之和，与人所站的高度无关，选项B正确；墙壁对梯子的弹力方向垂直于墙壁沿水平方向，选项C错误；水平方向受力平衡，则地面对梯子的摩擦力等于墙壁对梯子的弹力，选项D错误。
4.(2023·北京东城区高三综合)某幼儿园要做一个儿童滑梯，如图4所示，设计时根据场地大小确定滑梯的水平跨度为L，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使儿童在滑梯中能沿滑板滑下，则滑梯高度至少为( )
图4
A.μL B.μ2L C.eq \f(L,μ) D.eq \f(L,μ2)
答案 A
解析 根据题意，为使儿童在滑梯中能沿滑板滑下，则至少应该让儿童恰好能匀速下滑，有mgsin θ＝μmgcs θ，即μ＝tan θ，由几何关系可得tan θ＝eq \f(H,L)，解得H＝μL，故A正确。
5.(2023·甘肃武威质检)图5甲为家庭常用的燃气灶实物图，灶面上有一个支架，共有五个均匀分布的支撑面，对放在上面的厨具起到支撑作用。现把一个蒸锅放在支架上，并抽象成示意图乙，已知支架的每个支撑面与水平方向成α角。蒸锅和里面的食物总重计为G，则每个支撑面给蒸锅的支持力为(忽略蒸锅和支撑面之间的摩擦力)( )
图5
A.eq \f(G,5) B.eq \f(G,5cs α) C.eq \f(G,5sin α) D.eq \f(G,5tan α)
答案 B
解析 五个支撑面对蒸锅的支持力的合力与蒸锅包括食物的重力相等，设其中一个支撑面对蒸锅的支持力为FN，则其方向与竖直方向夹角为α，由竖直方向受力平衡得5FNcs α＝G，解得FN＝eq \f(G,5cs α)，B正确。
6.(多选)(2023·广东汕头市模拟)如图6，氢气球的质量m＝0.1 kg，无风时在轻绳的牵引下静止在空中，此时轻绳的拉力为8 N。当有水平风吹来时，气球受到大小为6 N的水平风力作用，轻绳倾斜一定角度后气球仍静止在空中，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图6
A.气球所受浮力大小为9 N
B.有风时，气球所受合力方向竖直向下
C.有风时，气球所受合力大小为eq \r(37) N
D.有风时，轻绳的拉力大小为10 N
答案 AD
解析 无风时，对气球受力分析得F浮＝mg＋FT＝9 N，故A正确；有风时，气球保持静止，故合力为零，故B、C错误；有风时，设绳与竖直方向的夹角为θ，对气球受力分析得F风＝FT′sin θ，F浮＝mg＋FT′cs θ，联立解得FT′＝10 N，故D正确。
对点练3 整体法和隔离法处理多物体平衡
7.(多选)(2022·河北邯郸模拟)如图7所示，用三条完全相同的轻质细绳1、2、3将A、B两个质量分别为m、3m的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，轻绳1与竖直方向的夹角为45°，轻绳3水平。下列说法正确的是( )
图7
A.轻绳1的拉力大小为6mg
B.轻绳2的拉力大小为5mg
C.轻绳3的拉力大小为4mg
D.轻绳2与竖直方向的夹角为53°
答案 BCD
解析 设三条绳上的拉力大小分别为FT1、FT2、FT3，把A、B两个小球视为整体，以整体为研究对象进行受力分析，如图甲所示，根据物体的平衡条件可得4mg＝FT1cs 45°，FT3＝FT1sin 45°，解得FT1＝4eq \r(2)mg，FT3＝4mg，选项A错误，C正确；隔离球B为研究对象，受力分析如图乙所示，则有FT2＝eq \r(（3mg）2＋Feq \\al(2,T3))＝5mg，设轻绳2与竖直方向的夹角为α，则有cs α＝eq \f(3mg,5mg)＝eq \f(3,5)，解得α＝53°，选项B、D正确。
8.(2022·山东烟台模拟)如图8所示，山坡上两相邻高压线塔之间架有粗细均匀的导线，静止时导线呈曲线形下垂，最低点在C处。左塔A处对导线拉力的方向与竖直方向的夹角为30°，右塔B处对导线拉力的方向与竖直方向的夹角为60°，则导线AC部分与BC部分的质量之比为( )
图8
A.2∶1 B.3∶1 C.4∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶1
答案 B
解析 整体分析，根据水平方向平衡有FACsin 30°＝FBCsin 60°，单独分析左、右两部分，竖直方向有FBCcs 60°＝mBCg，FACcs 30°＝mACg，解得导线AC部分与BC部分的质量之比为mAC∶mBC＝3∶1，故B正确。
B级 综合提升练
9.(2023·广东中山高三期末)如图9所示为一种简易“千斤顶”。一竖直放置的轻杆，由于限制套管P的作用，只能在竖直方向上运动。若轻杆上端放一质量为m的重物，轻杆的下端通过一与杆固定连接的小轮放在倾角为θ、质量为M的斜面体上，并将斜面放在水平地面上。为了能顶起重物，沿水平方向对斜面体施加推力的最小值为F。小轮、水平面等摩擦和小轮质量不计，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
图9
A.最小值F＝(m＋M)gsin θ
B.若重物质量为2m，推力的最小值仍为F
C.地面对斜面体的支持力大于(m＋M)g
D.小轮对斜面的压力大于F
答案 D
解析 当以最小值F推斜面时，设小轮受到斜面的支持力大小为FN，则对小轮在竖直方向根据平衡条件有FNcs θ＝mg，解得FN＝eq \f(mg,cs θ)，易知小轮对斜面的压力大小也为FN，且垂直于斜面向下，则对斜面在水平方向根据平衡条件有F＝FNsin θ＝mgtan θ，由上式可知，若重物质量为2m，推力的最小值将变为2F，且FN＞F，故A、B错误，D正确；对重物、小轮、斜面和轻杆组成的整体分析可知，地面对斜面体的支持力大小等于(m＋M)g，故C错误。
10.(2023·湖湘名校联考)如图10所示，倾角为30°、质量为2 kg的斜面体A放在水平桌面上，质量为0.5 kg的木块B放在斜面上恰好与A处于相对静止。现用一根水平轻质细绳绕过光滑定滑轮一端系在A的左侧，另一端悬挂一质量为1 kg的重物C，C拉着A、B一起向左匀速运动，g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则下列说法正确的是( )
图10
A.斜面体A受5个力的作用
B.木块B受到斜面体A的摩擦力方向平行于斜面向下
C.斜面体A与木块B间的动摩擦因数为eq \r(3)
D.斜面体A与桌面间的动摩擦因数为0.4
答案 D
解析 隔离A为研究对象，对A进行受力分析，因A做匀速运动，处于平衡状态，根据平衡条件可知，A的受力情况如图甲所示，所以A受到6个力的作用，选项A错误；隔离B为研究对象并进行受力分析，B受重力、A的支持力、A的摩擦力，因B做匀速运动，处于平衡状态，根据平衡条件可知，木块B受到斜面体A的摩擦力方向平行于斜面向上，如图乙所示，选项B错误；根据题意可知，A、B之间的静摩擦力刚好达到最大，对B由平衡条件得mBgsin 30°＝μABmBgcs 30°，解得A、B间动摩擦因数为μAB＝eq \f(\r(3),3)，选项C错误；对A、B整体由平衡条件得FT＝μ(mA＋mB)g，对C由平衡条件得FT＝mCg，联立解得斜面体A与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.4，选项D正确。
11.(2023·安徽合肥质检)如图11甲为挂在架子上的双层晾衣篮。上、下篮子完全相同且保持水平，每个篮子由两个质地均匀的圆形钢圈穿进网布构成，两篮通过四根等长的轻绳与钢圈的四等分点相连，上篮钢圈用另外四根等长轻绳系在挂钩上。晾衣篮的有关尺寸如图乙所示，则图甲中上、下各一根绳中的张力大小之比为( )
图11
A.1∶1 B.2∶1 C.5∶2 D.5∶4
答案 C
解析 设一个篮子的质量为m，连接下篮的绳子的拉力为T2，对下篮根据平衡条件得4T2＝mg，解得T2＝eq \f(mg,4)；设连接上篮的绳子的拉力为T1，绳子与竖直方向夹角为θ，结合题意对两个篮子整体进行受力分析可知，两篮在4根绳子对其的拉力与重力作用下处于平衡状态，由平衡条件得4T1cs θ＝2mg，结合图乙中的数据由几何关系可得sin θ＝eq \f(24,40)＝0.6，联立解得T1＝eq \f(5,8)mg，则上、下各一根绳中的张力大小之比为eq \f(T1,T2)＝eq \f(5,2)，C正确。
12.(2023·山东潍坊高三期末)如图12所示，“V”形槽两侧面的夹角为60°，槽的两侧面与水平面的夹角相同。质量为m的圆柱形工件放在“V”形槽中，当槽的棱与水平面的夹角为37°时，工件恰好能匀速下滑，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，则( )
图12
A.工件对槽每个侧面的压力均为mg
B.工件对槽每个侧面的压力均为eq \f(2,5)mg
C.工件与槽间的动摩擦因数为eq \f(3,10)
D.工件与槽间的动摩擦因数为eq \f(3,8)
答案 D
解析 工件匀速下滑，在任意方向上合力都为零，将工件的重力分解到沿斜面向下和垂直斜面向下，做出工件受力侧视平面图如图甲，根据平衡条件知Ff＝
mgsin 37°，FN＝mgcs 37°，做出垂直于“V”形槽方向的受力平面图如图乙，“V”形槽两侧面的夹角为60°，所以两侧面对工件的弹力夹角为120°，则合力FN＝F1＝mgcs 37°＝eq \f(4,5)mg，故A、B错误；“V”形槽两侧面对工件的摩擦力Ff1方向相同，大小都为μF1，则2Ff1＝2μF1＝Ff，代入可解得μ＝eq \f(3,8)，故C错误，D正确。

甲 乙假设法
在未知某力是否存在时，先对其做出不存在的假设，然后根据该力不存在对物体运动和受力状态的影响来判断该力是否存在
整体法
将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法
将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
动力学
分析法
对加速运动的物体进行受力分析时，应用牛顿运动定律进行分析求解的方法