湖南省邵阳市绥宁县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份湖南省邵阳市绥宁县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题答案，共35页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上；等内容，欢迎下载使用。

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上；
3.考试时间120分钟．
卷I（选择题）
一、 选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1. 反比例函数图象经过点，则下列各点中，在该函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出函数的解析式，再把各点代入解析式逐一验证即可.
【详解】解：设反比例函数的解析式为,
把点代入，得，
∴反比例函数的解析式为,
A、∵，∴点不函数图象上；
B、∵，∴点在函数图象上；
C、∵，∴点不在函数图象上；
D、∵，∴点不在函数图象上；
故选：B.
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求解的方法是关键.
2. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用反比例函数系数的正负和随的增大而变化的关系判断大小即可．
【详解】中系数，得到 或 时随的增大而减小，得到，得．
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数得图形与性质中的增减性注意区分正负，熟悉反比例函数得图形与性质及整式中平方的非负性是解题的关键．
3. 已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么它和函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正比例函数的增减性判断出k0,再由函数的性质即可判定图形所过象限.
【详解】解：∵y=kx中，y随x的增大而减小，
∴k0,
∴的图像经过二四象限,的图像经过二四象限,
故选D.
【点睛】本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数增减性与系数的关系是解题关键.
4. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A．不是整式方程，故本选项不合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．方程整理得−x＋2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先通过一元二次方程根的情况确定乘积，然后根据乘积逐项排除即可．
【详解】∵关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，则有：，
、根据图象可知：，，则，此选项不符合题意，排除；
、根据图象可知：，，则，此选项不符合题意，排除；
、根据图象可知：，，则，此选项符合题意；
、根据图象可知：，，则，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题考查了根的判别式和一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象性质及其应用．
6. 用配方法将方程变形为则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
所以．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
7. 已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 点（2，6）在该函数图象上
C. 当时，y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴；
∴图象位于第二、四象限；故A错误；
点（2，6）不在该函数图象上；故B错误；
当时，y随x的增大而增大，故C正确；
当时，或；故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
8. 已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可．
【详解】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2．
则由得，
，即．
解得k＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
．
9. 某市为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2020年植树造林2000亩，计划2022年植树造林2880亩．者设植树造林面积的年平均增长率为x，则依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）2=2880．
故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1-x）2=b（a＞b）．
10. 已知一元二次方程中，其中真命题有( )
①若a+b+c=0，则；②若方程两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
【答案】C
【解析】
【详解】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2-4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，，整理得：2a+c=0，正确；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-ac＞0，可知b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有三个，
故选C．
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
11. 如图，已知A点是反比例函数（k≠0）的图象上一点，AB⊥y轴于B，且ABO的面积为3，则k的值为_____．
【答案】6
【解析】
【详解】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S=|k|，
从而由△ABO的面积为3，
得S△ABO=|k|=3．
∵反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
∴k=6．
故答案为∶6．
12. 若反比例函数的图象与一次函数的图象的交点的横坐标为和，则关于的方程的解是________．
【答案】
【解析】
【分析】两个函数交点的横坐标即为所对应方程的根，据此解答即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象的交点的横坐标为和，
∴关于的方程的解是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的交点与其对应的方程的关系，明确两个函数交点的横坐标即为所对应方程的根是解题关键.
13. 关于的一元二次方程的一次项系数与常数项的和是________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断出方程的一次项系数与常数项，再求和即可.
【详解】解：一元二次方程的一次项系数与常数项分别是，
所以；
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程中，分别是二次项系数、一次项系数、常数项，熟知概念是关键.
14. 请写出一个无实数根的一元二次方程_________
【答案】x2﹣x+3=0
【解析】
【详解】试题分析：写出一个元二次方程，然后确定根的判别式的值小于0即可．
如：对于方程x2-x+3=0，因为△=12-4×1×3=-12＜0，所以x2-x+3=0无实数根．
考点：一元二次方程与根的判别式
15. 已知菱形的面积是10，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为_____．
【答案】y=
【解析】
【详解】由题意可得：，
∴，
∴.
故答案为.
点睛：菱形的面积=两条对角线乘积的一半.
16. 关于x两个方程与有一个解相同，则m=_______．
【答案】﹣8．
【解析】
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出m的值．
【详解】解：解方程得：x=﹣2或3；
把x=﹣2或3分别代入方程，当x=﹣2时，得到，解得m=﹣8．
故答案为﹣8．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；本题注意分式方程中分母不为0．
17. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【解析】
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18. 如果函数y=(m+1)x表示反比例函数，且这个函数的图象与直线y=－x有两个交点，则m的值为_________.
【答案】－2
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义，求出m的两个值，再根据函数的图象与直线y=－x有两个交点，判断m的取值范围，进而得到正确值.
【详解】∵函数y=(m+1)表示反比例函数，
∴，
解得m＝1或m＝﹣2.
因为函数y＝﹣x的图像过二，四象限，且反比例函数与直线有两个交点，所以反比例函数在二，四象限.
则m+1＜0，
m＜﹣1
∴m＝﹣2.
故答案为﹣2.
【点睛】判断正比函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
当k1，k2同号时，正比函数y＝k1x和反比例函数y＝的图象有两个交点；
当k1，k2异号时，正比函数y＝k1x和反比例函数y＝的图象没有交点.
三、解答题（本题共计8小题，共计66分）
19. 解下列方程：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分解因式法解答即可；
（2）原方程整理成一般形式后，再利用分解因式法求解．
【小问1详解】
原方程即为，
∴或，
∴；
【小问2详解】
原方程整理得，
即为，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握分解因式法解方程的方法是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象都经过点、．
（1）求一次函数的表达式；
（2）不等式的解集是_________．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将，代入得m、n的值，即可得到两点的坐标，再代入一次函数中即可得到k、b的值；
（2）画出大致函数图象，通过数形结合，即可找到的解集．
【小问1详解】
将，代入，
可得，，
解得m＝－2，n＝2，
∴，，
将，代入y＝kx＋b，
得：，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x－5；
【小问2详解】
图象大致如图：
根据图象可得，不等式的解集是x≥3或0＜x≤2．
故答案为：x≥3或0＜x≤2．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合内容，通过待定系数法解出函数解析式．在求不等式的解集时通过数形结合的方法，灵活利用函数图像就可以很快的求解．
21. 关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分别为x1、x2，且x1+x2=-6，求方程的两根．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，即可求出k的值，代入方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由知，
所以，
则原方程即为：
则方程的两根为：
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根； ．
22. 反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：
【答案】
【解析】
【分析】先由反比例和一次函数图像确定a和b的取值范围，把化为，利用再根据范围去绝对值号完成化简即可．
【详解】解：由图像可得：，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键．
23. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】(1) 4800元；(2) 降价60元
【解析】
【分析】（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元），
即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设每件商品应降价x元，
由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，
解得x1＝8，x2＝60，
要更有利于减少库存，则x＝60，
即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
24. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
(1)分别求出图中所对应函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】(1)y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；(2)等待2分钟．
【解析】
分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点C和点B的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【详解】(1)停止加热时，设，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
(2)把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，解题时注意根据图象确定对应函数的取值范围．
25. 阅读下面的材料：
解方程x4–7x2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，则x4=y2．
∴原方程可化为y2–7y+12=0．
∴a=1，b=–7，c=12．
∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1．
∴y═=–．
解得y1=3，y2=4．
当y=3时，x2=3，x=±．
当y=4时，x2=4，x=±2．
∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2．
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，试求a2+b2的值．
【答案】（1）x1=，x2=，x3=，x4=；）；（2）a2+b2=5．
【解析】
【分析】（1）设y=x2+x，则由已知方程得到：y2-5y+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）设x=a2+b2，则由已知方程得到：x2-3x-10=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程即可．
【详解】（1）设y=x2+x，则y2–5y+4=0，
整理，得（y–1）（y–4）=0，解得y1=1，y2=4，
当x2+x=1即x2+x–1=0时，解得x=；
当x2+x=4即x2+x–4=0时，解得x=；
综上所述，原方程的解为：x1=，x2=，x3=，x4=；
（2）设x=a2+b2，则x2–3x–10=0，
整理，得（x–5）（x+2）=0，
解得x1=5，x2=–2（舍去），
故a2+b2=5．
【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
26. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴ ，即的最小值是 试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知，求的最小值．
（2）比较代数式与的大小，并说明理由．
（3）如图，在中，，点在边上以/的速度从点向移动，点在边上以/的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．

【答案】（1）3 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目给的方法将原式配方成，即可判断；
（2）利用作差法结合配方法解答即可；
（3）由题意得：，可得，进而可用含t的式子表示出四边形的面积，再利用配方法求解即可．
【小问1详解】
，
∵，
∴的最小值是3，即y的最小值是3；
【小问2详解】
∵
，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
由题意得：，
∴，
∴四边形的面积
；
∴四边形的面积的最小值是．
【点睛】本题考查了配方法的应用，正确变形、掌握解答的方法是解题的关键．